下一次數學突破會在哪裡？

01-25

無理數的出現使人類可以精確研究靜態世界的性質。
微積分的出現使人類可以研究動態世界的性質，流體，熱、電磁，相對論等等
複數據說是量子力學的基礎。
但好像200多年過去了，雖然有無數細分和小成就，但是類似上述這種顛覆性的突破好像沒有了。
世界的巨變在等待下一次數學突破么？

如果真會有，會在什麼地方呢？

如果這個問題在 MathOverflow 問，答案很可能會是 Langlands 綱領。

如果說理論物理的終極目標之一是 Theory of everything，那麼數學在近幾十年來的對應物就是 Langlands program：對於 Galois 表示與自守表示的非常廣泛，令人驚訝的聯繫。

著名的 Fermat 大定理的證明不過是這個宏偉圖景的小小一角，而 Witten 等物理學家更希望將它的幾何化版本轉化為弦論中的對偶，宛如造出一個統一物理與數學的超級萬有理論。

事實上，它竟然對於 1 維（abelian class field theory）和 2 維（Taniyama-Shimura）情形成立，已經令人感到很不可思議。粗淺地看來，模形式和橢圓曲線的定義頗有相似之處嘛，橢圓曲線與自己的 Jacobian 的等價很好，模曲線的許多性質都很好啊，Eichler-Shimira 不是也不難嘛。但這些完全不足以解決問題。T-S 目前的證明頗為暴力（關鍵的一步靠的是 3/5 trick。簡單說就是不可能往 3 維再走），對於不可解群我們的大量方法一籌莫展。其實目前 2 維也沒有完全解決，Serre 猜想是也解決了，但 Maass form 的情形就還有不少距離。

跡公式（Trace formula）是目前比較有希望的攻堅方法之一。吳寶珠對其中基本引理（Fundamental Lemma）的證明就理所當然地拿了菲爾茲，在往後的道路中至少還能再有 3 個菲爾茲給其中的主要參與者。

那麼，為什麼正常人類都不會有聽說過它呢？因為單單是把 Langlands 綱領的陳述真正說清楚，已經需要太多太多的知識準備。。。比黎曼猜想 Poincare 猜想等等要解釋多上十倍的篇幅，對於正常人類基本上是天書。

對了，我最近也在寫一個數學教程：【數學中的具體計算】包括一些幾何、表示論、數論內容，當然也有 Langlands 的更多細節（需要一定的數學基礎）。歡迎閱讀和提意見建議（有哪裡看不明白，也可以在那邊留言給我）。

Pierre Deligne 在2013年獲得Abel Prize後訪談中提到過對未來數學發展的期望，有點類似題主的這個問題，這裡摘錄下。

Raussen and Skau: When you look at the development
of algebraic geometry, number theory, and
the fields that are close to your heart, are there
any problems or areas where you would like to see
progress soon? What would be particularly significant,
in your opinion?

Deligne: Whether or not it』s within reach in ten
years, I have absolutely no idea; as it should be…
But I would very much like to see progress in our
understanding of motives. Which path to take and
what are the correct questions, is very much in the
air. Grothendieck』s program relied on proving the
existence of algebraic cycles with some properties.
To me this looks hopeless, but I may be wrong.
The other kind of question for which I would really
like to see some progress is connected with the
Langlands program, but that is a very long story…
In yet another direction, physicists regularly
come up with unexpected conjectures, most often
using completely illegal tools. But, so far, whenever
they have made a prediction, for instance a
numerical prediction on the number of curves with
certain properties on some surface—and these
are big numbers, in the millions perhaps—they
were right! Sometimes previous computations by
mathematicians were not in accordance with what
the physicists were predicting, but the physicists
were right. They have put their fingers on something
really interesting, but we are, so far, unable
to capture their intuition. Sometimes they make a
prediction, and we work out a very clumsy proof
without real understanding. That is not how it
should be. In one of the seminar programs that
we had with the physicists at IAS, my wish was
not to have to rely on Ed Witten but instead to be
able to make conjectures myself. I failed! I did not
understand enough of their picture to be able to
do that, so I still have to rely on Witten to tell me
what should be interesting.

Raussen and Skau: What about the Hodge
conjecture?

Deligne: For me, this is a part of the story of
motives, and it is not crucial whether it is true or
false. If it is true, that』s very good, and it solves a
large part of the problem of constructing motives
in a reasonable way. If one can find another purely
algebraic notion of cycles for which the analogue
of the Hodge conjecture holds, and there are a
number of candidates, this will serve the same
purpose, and I would be as happy as if the Hodge
conjecture were proved. For me it is motives, not
Hodge, that is crucial.

大意就是Langlands Program和Motives.

ref: http://www.ams.org/notices/201402/rnoti-p177.pdf

一個能看得到的，正在發生的突破是，辛幾何上的leading experts逐漸意識到，辛幾何不是孤立的，至少有三個平行的世界：具體的幾何，非交換幾何，以及微局部分析。為了簡單起見，假設這裡考慮的辛流形都滿足canonical bundle trivial。

具體的幾何主要是Lagrangian Floer theory和Fukaya category，以及一些衍生的不變數。這裡的不變數都是通過非線性微分方程的解來構造的，涉及到模空間上的一些相交理論。Seidel在這個方向引入了一些代數上的技巧，基本上是把關於derived category的理論推廣到chain level，即 $A_infty$ -category上，這使我們能在一些特殊情形計算這些不變數。但是總體來說，非常subtle，通過定義很難做具體的計算。

非交換幾何主要指Ginzburg和Etingof等人的工作。Ginzburg考慮了Calabi-Yau流形的non-commutative analogue，定義了所謂的Calabi-Yau代數。許多Calabi-Yau代數都有很具體的模型，即可以通過quiver with potential定義。Calabi-Yau代數的first Hochschild cohomology類比於流形上的vector field，稱為non-commutative vector field，而second Hochschild cohomology則給出non-commutative deformation。

微局部分析主要是Kashiwara和Schapira的工作。在研究微局部分析時，他們引入了sheaf的microlocal support。在cotangent bundle 上，這給出了一個real Lagrangian subvariety。進一步地，Nadler和Zaslow證明了 $T^ast M$ 的Fukaya category quasi-isomorphic to dg category of $mathbb{R}$ -constructible sheaves on $M$ ，成為這個方向的開始。理解一般辛流形的Fukaya category就轉化成一些perverse sheaf的gluing問題。

最近辛幾何的發展很大程度上依賴於人們對於這三個平行世界的等價性的信仰。比如在非交換幾何上存在的結果，就應該有相應的關於Fukaya category的statement。因為Calabi-Yau流形的Fukaya category應該quasi-isomorphic to Calabi-Yau algebra。但是通過具體的幾何很難證明這些結果，於是人們就考慮用constructible sheaf來代替Lagrangian submanifold，從而找到Fukaya category的替代品：microlocal category（https://arxiv.org/pdf/1511.08961.pdf）。這樣，對於具體的計算和操作就方便多了，於是人們得以在微局部分析領域利用以前Kashiwara-Schapira的重要結果，從而證明所需要的結論。最後，再回到具體的辛幾何上，把結論翻譯成具體的幾何定理。

概括地說，非交換幾何只涉及一些代數，而代數是數學裡相對比較簡單的部分，具體的幾何是最困難的，而微局部分析可以視為兩者之間的過渡。上述圖景讓我們可以從最簡單的代數出發，通過一條可行的途徑證明複雜的幾何定理。

這方面還有不少文獻，這裡不再贅述。但是大多數辛幾何學家還跟不上這個潮流。我個人認為，這個大的圖景將辛幾何、表示論和微局部分析聯繫在一起，其激動人心的程度絕不亞於Langlands綱領，只是在這方面做研究的人還太少。如果能讓更多人相信，沿著這條路走是有希望的，取得驚人的突破是遲早的事。其實，現在已經有一些很重要的猜想是沿著這條路線證明的，比如Shende證明了conormal torus是complete knot invariant: https://arxiv.org/pdf/1604.03520.pdf。

數學界從來不缺天才，數學界從來不缺重大的突破。事實上，現代社會從事科研的人數比以前多了不知多少倍，所以現代科學（包括數學）的發展和突破的速度超越了以往任何一個時代（即《三體》里大劉所說的「技術爆炸」）。

只不過，相對於無理數、複數、微積分這樣受過正常理工科教育的人都能理解的簡單知識而言，現代數學的突破是大多數人看不懂的了。我說的「看不懂」是真的看不懂——即數學圈外的人、甚至數學圈內不是一個方向的研究者，連這個「突破」的成果是啥意思都看不明白，更別提理解這個成果是怎麼得到的了。

所以，圈外人會有一種「科學發展停滯了」的錯覺，雖然他們每天用著的手機、電腦等由幾十年前的「舊數學成果」奠基的工業產品在日新月異地更新換代。

「整數與小數之間的映射關係」、「離散和連續的關係」、「拓展數的概念」，都是很初等的東西，距離現代數學差得太遠了。當然，我理解你為什麼會提出這樣的東西。如果你沒有做過數學、物理等前沿學科的博士，你是完全無法想像現代前沿科學是什麼樣的。其抽象程度、推導的複雜程度、需要的知識儲備是大大超出一般圈外人的想像的。

舉一些20世紀以後數學重大突破的實例：

G?del"s incompleteness theorem（哥德爾不完全性定理）：由Kurt G?del證明，它使得人們一直以來尋求「完美的數學公理系統」的希望破滅——你永遠不可能找到一個完美的數學公理系統，使得所有的數學命題都可以被證明或證偽。一個著名的例子就是連續統假設（CH）——以前數學家們孜孜以求的連續統假設的答案，是它和現代數學所採用的ZFC公理系統獨立，即ZFC+CH不會有矛盾，ZFC+?CH也不會有矛盾。

Category theory（範疇論）：一個不同於集合論的、可以作為現代數學基礎的理論基石。由Samuel Eilenberg和Saunders Mac Lane創立，另外F. William Lawvere、Alexander Grothendieck等數學家都為之做出了巨大貢獻。大家知道集合論的基本概念是「元素」，而範疇論不再關心元素，而關心不同對象之間的聯繫，這更能抓住很多抽象數學機構的本質特徵。例如，一個經典的例子是Gelfand representation，交換C*代數構成的範疇和緊Hausdorff空間構成的範疇是等價的。範疇論不僅是代數幾何等前沿數學分支的理論基礎，還為理論計算機和物理的發展提供了強大的範疇論工具。

Poincaré conjecture（龐加萊猜想）：1961年Steven Smale證明了五維以上的情形，1981年Michael Freedman證明了四維情形，2003年Grigori Perelman證明了三維情形，從而徹底解決。三人都因其對龐加萊猜想的貢獻各自獲得菲爾茲獎。關於它的意義我無法用初等語言來描述（事實上我自己也不是很明白——我不是做幾何的），微分幾何與現代物理的深刻聯繫需要許多預備知識才能理解。事實上，現代數學最難且最熱門的分支就是幾何（包括微分幾何、代數幾何等），它是與現代物理關係最緊密的數學分支，也是聚集了最多數學天才的分支，最近幾十年里這方面的突破性進展數不勝數，只是我資質愚鈍表示都看不懂~~

之所以你覺得這兩百年來突破少了，其實是因為這兩百年來數學的發展已經超越了你能理解的範圍了

而且提主你的問題里什麼靜態動態，量子力學亂七八糟的，題主這是民科嗎？

怎麼沒有人提到 ABC 猜想咩？參見果殼網的介紹：證明ABC猜想：意義重大，卻無人能識。

文中的兩段話對這個猜想的重要性做了生動描述：

實際上，除了尚未解決的涉及多個數學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，與 ABC 猜想的影響力相比，其他數論中的猜想，諸如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想，以及已經解決的費馬最後定理，都只能算是戰鬥力只有5的渣滓。
因為從直覺上來講，ABC 猜想如果被證明正確，對於數論的影響之巨大，無異於相對論和量子物理之於現代物理學。有些人認為，要是ABC猜想被證明，世界就太美好了，彷彿身處幻境。

另外引用兩位數學家對這個猜想的評價。Ivars Peterson 說：

Astonishingly, a proof of the ABC conjecture would provide a way of establishing Fermat"s last theorem in less than a page of mathematical reasoning. Indeed, many famous conjectures and theorems in number theory would follow immediately from the ABC conjecture, sometimes in just a few lines.

Andrew J. Granville：

Nowadays, if you"re working on a problem in number theory, you often think about whether the problem follows from the ABC conjecture

日本數學家望月新一宣布他證明了這個猜想。要評斷此人的證明正確與否，數學界還要花上相當長的一段時間。所以 ABC 猜想的證明很可能是數學界「下一個」重大突破。

Tropical Geometry ! (我把它囫圇翻譯為熱帶幾何）

去年10月末去耶魯大學開一個數學會議，耶魯的數學系主任 Yair Minsky 給我說去年他們招了差不多10個以內的碩博連讀生，只有1個選擇了其他方向做研究，其餘都去研究熱帶幾何了。

不可否認，對於數學這種很大很基礎的超級學科，很多人覺得想要做出快速突破，拿到phd就要去做那些比較新，但已有些鋪墊，需要更多發展的新分支，而熱帶幾何正好是符合這個條件的新分支之一。

它差不多是在90年代後期，才開始有了些基本定義。它和分段線性代數幾何很接近。可能很多數學系的小盆友都學過些可以類比的運演算法則，比如一個集里的加，可以理解為另一個集里的取最小值；一個集里的求積，可以理解為另一個集的加（tropical semiring) （這都是抽象代數和代數幾何的範疇）。而熱帶幾何學，就是建立在這些基礎的定義和思想上。這種分段式的線性代數問題可以被應用在金融和某些優化問題方面。

（我上學期和一個教授在做dynamics 方面的研究時，有用到代數里的這種可以互相類比轉換的運算，教授也提及了熱帶幾何學，但沒有深入研究。我的理解很可能有偏差，請原諒）。

謝謝邀請。@申力立基本上已經是很好的回答了。本來想默默點個贊就走掉。。。不過我幫忙寫個補充吧。

首先呢，

「整數與小數之間的映射關係？

離散和連續的關係？

拓展數的概念，使除0得以可能？」

三個問題全部都是已經解決的問題，最後一個甚至在工科使用的某些高等數學教材的開頭都應該已經提到過。。

而這個原因也造成你第二個誤解，那就是數學沒有突破性的發展，實際上是有的，比如上面提到的龐加萊猜想的證明，以及範疇論。

我只能說題主只是網上看了些科普文章就開始喜歡數學的吧。。。

關於數學的一些突破，@申力立寫了一些20世紀開始的成果。那麼我就舉例補充一些目前有人在做的一些東西（不一定都是些重大成果，有些也是些好玩的東西。有些已經實現，有些還沒有）

一，Hodge conjecture

Hodge conjecture

內容：在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合

進展：

1，對於(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。於H^2成立。

2，如果霍奇猜想對於度數p的霍奇類成立，其中p&二，最小數獨問題。

內容：明了數獨至少需要 17 個初始數字才有唯一解。

進展：已經解決。數學家給所有的不可避免集都設定一個狀態，分為「被擊中」或「未被擊中」兩種。初始時九宮格 81 個方格內都沒有填入數字，所有不可避免集的初始狀態均為「未被擊中」。之後開始每次選擇一個最小的未被擊中的不可避免集，枚舉其中的每個格子。即每次選擇不可避免集中的一個格子填充初始數字，直至試完不可避免集中的所有空格。同時將這個不可避免集標記為「被擊中」狀態，每次枚舉都有 4 種可能。

科普文：700萬小時搞定最小數獨問題

（PS，有人問這個東西的突破在哪裡？很簡單，暴力演算法，以及數學與計算機的結合讓以這個問題開始，變得「有名分」，而不是和當年一樣，聽到計算機證明，數學家就開始炸毛。）

三，P/NP問題。

P versus NP problem

內容（簡寫下）：P就是在多項式時間測出來的，NP是在多項式時間猜出來的，或者說在多項式時間可驗證的。

1、如果P=NP，那麼一大片經典問題就都得到了多項式時間的演算法，這一點可以說是計算機科學研究的飛躍。

2、如果P!=NP，我們也得到了計算機科學事實上的界限，擴展了我們的認知領域。

進展：沒什麼人做，更沒什麼進展。

轉個彙報論文：科學網—TTU論文《A non-canonical example to support that P≠NP》刊出

一點個人愚見：關聯信息密集而複雜是NPC為什麼這麼困難的根本原因，解決此點是解決NP問題的根本途徑，而任何打算繞過此點，試圖通過倒騰「複雜概念理論」來解決問題的嘗試，絕對是徒勞的。

四，範疇論的一些最新成果。

範疇論所最大的意義在於開始真正去探討「類」而不是元素。對於目前的前沿數學來說，是完全的哲學性工具。

Interactions between autoequivalences, stability conditions, and moduli problems

The Categorified Heisenberg Algebra I A Combinatorial Representation

The radius of a subcategory of modules

Representations of multicategories of planar diagrams and tensor categories

Glueing silting objects

四，費馬大定理。

內容：Fermat"s Last Theorem

當整數n &>2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解

進展：已經證明。

過程：任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的「虧格」大於或等於2時，最多只有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0．（莫德爾猜想）——有理數域上的橢圓曲線都是模曲線（谷山—志村猜想）——對有理數域上的一大類橢圓曲線，「谷山—志村猜想」成立（安德魯懷爾斯的最終證明）

至於為什麼提到這個呢，為了和龐加萊猜想對應而已。。。

沒人提到黎曼猜想么？

這個是目前數學最核心的問題沒有之一了。

數學最原始最古老最優美的研究對象就是自然數的相關規律。即所謂數論。現在很多數論方面的命題都是在假設黎曼猜想正確的情況下得到的。黎曼猜想對就相當於確證了這一批命題正確。黎曼猜想已經不簡單是一個命題了，而是一個分水嶺一個關於自然數規律的大貌了。這還只是表面的說。

不過你想像的那種巨變可能不會出現……現代科學高度，不太可能出現什麼跟「微積分」「力學」「相對論」一樣重要的貢獻，這句不是說現在人比以前的科學家笨。能整出黎曼猜想十分之一就吊炸天了！

19世紀末到20世紀，數學迎來了數理邏輯這個新的分支，由此產生了電子計算機和IT行業。

題主連這個都能漏掉……

隨便講講吧，知道的不多。Jacob Lurie的Higher category那一套理論算是Grothendieck思想的延續，能有多大作用不清楚，不過關注度很高就是了，或許還要時間發展吧，有可能會改變代數幾何的面貌，別的方向不熟。

我希望是場論，整個現代物理學能像原來的微積分、微分方程那樣有堅實的數學基礎。

統計力學的數學嚴格化。現在這麼多人在做，相信在不久的將來我們可以把如何從微觀模型得到宏觀模型的過程完全搞清楚

會是集合論么？

圖片來自《宇宙極問》。這張圖很有概括性的說明截止二十一世紀初，數學發展的水平。

轉一張圖。

覺得沒有進展是因為題主還是個普通人。

我猜是引入一種極其抽象的概念使得微分方程變得幾乎全部可以求解析解，比如重構函數概念。

要想嚴格的分析這個問題，那就要仔細的定義什麼叫突破。

今年的張的素數稠密的結論算是突破嗎？如果說把他理解成一個非常有趣命題的驗證，那麼自然是一個巨大突破（從學界的反響來說也能看出）。但是從另一個角度來講，可能暫時還算不上突破，因為其除了一個重要結論，還沒有對我們的生活產生什麼影響。

記得看過一篇文章，是前蘇聯的數學家批評當時的很多數學家不了解物理。原來內容很長，但是我斗膽總結一下，那就是數學的發展應該著眼於應用。

數學可以是智力的遊戲，讓人從思維的奧妙中感受到美。但是我覺得更重要的是他是其他領域所必須的工具。

大量的流傳青史的數學結論是擁有堅實的應用背景的。那時的數學家往往同時是物理學家和工程師。現在就我所在的機器學習的領域來說，很少利用到近幾年產生的數學結論。相鄰的一些領域用到的也有限（compress sensing?）。所以從這個角度上來講，突破確實越來越少。

個人期望下一步的突破是在和新一代計算機體系結合的方向（量子計算機等等）產生。這會改變一切。

一個「美好」的暢想，計算能力提升---》真正的人工智慧---》人工智慧接手research---&>&>改善人工智慧無限循環。。

不是數學物理沒突破，是工科跟不上了。

另外，大眾教育這方面根本沒法深入到前沿水平，聽都沒聽說過或者僅僅聽說過是不足以讓你感到重大突破的。

手機屏幕像素密度翻十倍才是大眾認可的大突破

作為統計出身的經濟研究生，希望下一次突破出現在隨機性、模糊集等有助於構建描述高度複雜客觀對象的數學領域~

沒有人提到 Voevodsky的homotopy type theory么？

前幾天看Voevodsky的主頁，他講了為什麼要做這個東西，感興趣的可以搜搜

在美國

數學已經走向複雜化了，就算有很大突破，一般人也無法理解。現在還有很多經典問題沒有解決完善，以後幾百年仍將是主旋律。隨其發展，我個人覺得數學會出現新的分支為真正的人工智慧打理論基礎。