如何通過兩點經緯度計算出兩點間大圓的距離？

01-25

飛機航程距離

其實就是用解三角形的方法。

如圖，設A1緯度 $heta_{1}$ ，A2緯度 $heta_{2}$ （可設北緯為正，南緯為負），兩點經度差為 $varphi$ ，地球半徑為R，求A1A2間大圓的距離。

解：設角A1OA2= $heta$ ，圓O1、圓O2分別為A1、A2點的緯度圓，則：

A1A2大圓距離= $R heta$ （1）

由三角形A1A2O：

$A_{1} A_{2}^{2}=A_{1} O^{2}+A_{2} O^{2}-2A_{1} Ocdot A_{2} Ocdot cos heta =2R^{2}left( 1-cos heta ight)$ （2）

作矩形O1O2A2B，由三角形A1BO1： $A_{1} B^{2}=O_{1} B^{2}+A_{1}O_{1} ^{2}-2O_{1} Bcdot A_{1}O_{1}cdot cosvarphi =R_{1}^{2} +R_{2}^{2} -2R_{1}R_{2} cosvarphi$ （3）

由三角形A1A2B：

$A_{1} A_{2}^{2}=A_{1} B^{2}+A_{2} B^{2}=R_{1}^{2} +R_{2}^{2} -2R_{1}R_{2} cosvarphi+R^{2}left( sin heta _{1} -sin heta_{2} ight) ^{2}$ （4）

由（2）、（4）及 $R_{1}=Rcos heta _{1}$ 、 $R_{2}=Rcos heta _{2}$ 可得：

$R^{2}cos heta _{1}^{2} +R^{2}cos heta _{2}^{2} -2R^{2}cos heta _{1}cos heta _{2}cosvarphi+R^{2}left( sin heta _{1} -sin heta_{2} ight) ^{2} =2R^{2}left( 1-cos heta ight)$

解之得：

$heta =arccos(cos heta _{1}cos heta _{2}cosvarphi+sin heta _{1}sin heta _{2})$

帶入（1），

A1A2大圓距離= $Rcdot arccos(cos heta _{1}cos heta _{2}cosvarphi+sin heta _{1}sin heta _{2})$

不知道計算上有沒有什麼錯誤