對於物理的學習，如何權衡好數學與物理之間思考方式的異同？

01-25

在看我的回答之前，我非常推薦樓下的嵇叔夜的回答。

http://www.zhihu.com/question/20619679/answer/15665553

他的批評非常的對。關於數學的抽象化的事情我確實在這裡沒有談，倒不是我沒有意識到這個事情的重要，我自己在學習數學的時候第一次發自內心真的覺得有意思反而是學習代數的時候，學習代數比學習分析更重要的區別就是在於代數的抽象性更高。因為抽象性這一點我是特地迴避掉這個的，因為這樣類似的問題我在知乎上見到過許多，而關於數學裡面的抽象化的問題，並不是因為我覺得這個不重要，而是因為我很擔心我在這裡討論抽象化的問題，會變得很空洞，變成經常在問答中所見到的「數學是為了抽象地描述物理世界」這樣的感覺，我很討厭這樣的感覺，總覺得要說得更清楚一些，又不想把這個問題停留在仍然很初步的程度（比如我可以說「力的合成」抽象到數學當中是「向量空間」；量子力學裡面的「態」是Hilbert空間中的向量……）但是總是覺得到這個層次還不如不談這個問題，一是這個解釋還是很容易讓人造成誤會，並且完全沒有把這其中數學的精華說出來，要把這方面這種抽象化的妙處又不是簡單兩句話就能說清楚的，必須要親自學過些東西才好說，我實在不想寫得太細了。

我想盡量避免在知乎從這樣的角度這樣回答問題，而僅僅是從一個初學者的角度來講這個事情（我希望我的回答是面向低年級的學生，當然我的那種「斷言」顯然是很不嚴肅的，這是我的錯），我想一個基礎很好的人也不太會在這裡提出這樣的問題，而早就應該對這些東西有了自己的理解。我想，對一個初學者來說——無疑數學和物理的區別直觀上來看應該首先是數學比物理嚴密很多，而一旦談到抽象，物理和數學實際上都有抽象的成分存在，怎樣跟一個初學者談好數學中的「抽象」（如某種代數結構的建構）和物理中的「抽象」（如從物理現象提出抽象的數學模型）這二者的區別和層次我還很缺乏經驗。在這方面我非常謝謝你的批評。並且也很贊同你的觀點，要想學好這些東西，還是真的要靠自己，不能靠知乎。

下面是我的回答：

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學習數學，從初學者的角度來看，重要是先要有嚴密的邏輯結構。

（1）數學裡面非常重要的是定義，你首先要講清楚你討論的是什麼。然後基於這些定義，從一些基本的假設出發，非常嚴密的導出所有的結論，這樣的體系是非常漂亮的，也是只學過一些初等的偏應用方面的數學，沒有涉及到數學系的課程的人所無法體會的。

（2）在學習數學的時候，當你要來求解一個問題，你首先要討論的是：解在某一個集合內的存在性、唯一性，當證明了存在且唯一，數學家心中已經有了無限的喜悅。但物理學家會很困惑的表示——「你說的解，究竟是個什麼東西嘛……」這裡體現的就是思維模式上的一個區別。此外，在討論一些計算方法（或者近似方法）的時候，數學家會非常仔細地討論這些近似的階數、收斂性，注意到一些看似常理的推斷下的一些病態的反例，這些思想都是平時物理學家所忽略的事情，物理學家跟數學家比起來，更實用主義，不在意某些細節上的嚴謹性。

（3）數學家對於許多概念的準確性有非常多的關注，例如討論收斂性，數學家會說收斂、強收斂、弱收斂、弱*收斂、絕對收斂、條件收斂、依概率收斂、幾乎處處收斂……這些東西或許對外行來說是非常不直觀的，甚至會覺得這種繁瑣沒有必要。這是很無知的表現，更重要的是，數學家們在長期的訓練中甚至可以對這些概念有了敏感，這種敏感對物理學的學習也是有幫助的，有時間也可以加強一些這方面的計算。

學習物理，重要的是對實際物理體系的把握和對基本物理概念的理解。

（1）物理學習同樣需要邏輯性。當你學過一些數學課程之後，把這種嚴密的思維引入到物理學的學習中，會有很大的幫助，只有這樣清晰的邏輯才能幫助你準確的切入問題，而不是盲目地進行無謂的嘗試。我時常會舉我的導師在面試學生的時候問的一個問題：

一個與外界隔絕的箱子被隔板分成兩半，左邊是氣體，右邊是真空，抽掉隔板，系統熵怎麼變？為什麼？
（a）學過物理的學生通常會回答——當然是增加。因為系統變得更無序了。
（b）這樣的回答很好，但是這樣的回答背後表現出的是對物理概念的某種理解，但缺乏了嚴謹性。考試面試的時候，如果老師繼續刁難一下，問「為什麼變得更無序，為什麼狀態數增加」，這樣就會讓這樣的學生啞口無言。因此在純粹的物理直觀之外，還需要有某些東西。他所設想的標準答案應該是——是增加，因為抽掉隔板後的過程是一個自發的過程。

（2）但是物理學習的過程往往也可以是不那麼邏輯的。物理學家有很多自己的tricks，有自己的直觀和猜想，會用量綱分析法，會採用一些類比，會討論幾種極端情況下的解的性質作為參照……這些在數學家眼中看起來是非常不嚴謹的，但是物理學家仍然這樣堅持著在用，幸運的是我們的世界在很多時候還是挺規則的，這些估算並不至於讓物理學家一直栽跟頭。在物理學習的過程中，要學好嚴謹的推理，也要學會物理學家常用的tricks，這些需要做一些好的習題來不斷鞏固。

（3）最後是所面對的世界。物理學家面對的是真實的世界，而數學家並不在乎這些。當建立起一個物理模型，模型中有許多的參數，物理學家會根據實驗的測量，代入自己的模型，檢驗自己的結論。數學家並不會這樣，數學家會討論參數空間中的各種取值，討論出各種情況下解的性質。在物理學家看來，這裡面解出來的大部分都是非物理的——可是，事實上很多時候反而數學家的這些討論在事後看起來也並不是那麼非物理，一些曾經看起來是非物理的參數，隨著實驗技術的進步往往也可以用人工的方法調控和設計出來，這時候數學家的預言就顯得那麼重要。

最後，物理學家也有很不同的風格，有的像Dirac，有的像Fermi，數學家也有很不同的風格，有的如Hilbert，有的如Poincare。每個研究者應有自己的風格，培養自己的興趣和風格，同時吸取一些好的方法，這是最重要的事情。

我覺得只要是在學習物理，在思維上沒有什麼矛盾之處需要「權衡」。需要搞清楚的是學習的對象是什麼。

做研究也一樣，只需要要搞清楚你關心的問題是什麼。這個問題屬於物理問題還是數學問題，是後來你假如有興趣的話才去區分的，而且很多問題就處於中間地帶。怎麼區分這個問題，不妨礙你研究它。它需要怎麼樣去研究，往往輪不到你選擇用哪種思維。你有辦法，就有；沒辦法，就沒有。

初中的時候喜歡數學，大學卻進了物理系。我比較喜歡數學的思考方式，一道難題思考了很久然後做出來的感覺很好。上了大學，感覺數學成了物理的工具。數學重在思維和演算，而物理重在理解其概念背後所揭示的真理。數學家會因為他得出的公式完美漂亮而興奮，而物理學家會深刻思考式子背後揭示了什麼宇宙真理。

幾乎所有的家長和學生都會認為，數學和物理是一個類型的學科，學習方法相通，思路相近，數學學得好，物理也應該好，反之亦然，甚至很多學校的老師也這麼認為，但客觀上不盡然，至少老葉我作為無比典型的理科學神不這麼認為！當然，這不是說他們就不好，而應該是被傳統教育思想禁錮，不去思考人云亦云所致。我更希望我的學生孩子們能更加開放和發散，站在理性思考的基礎上對任何事物進行客觀分析和判斷，做到這一點，理科學習才能立於不敗之地。

究其異同當然從知識結構和解題思路著手。

就數學來看，大多知識板塊的知識點相對單一，但其解題思路和複雜程度千變萬化；而物理，大多知識板塊的知識點繁多，但其解題思路相對單一簡單。

數學需要我們由點擴展到面，發散性要求高，一題多解，每種解法還不一樣的思路和知識就是典型代表，對知識點不是想明白了再用，而對於大多數學生而言是用多了才能理解融會貫通；物理則需要我們把知識點理解透徹，經過分析梳理後形成的解題思路一般單一簡單，由公式為主線簡單串聯而成。

故我認為，數學學習著眼于思路發散、靈活應變，由簡入繁，物理學習著眼于歸納整理，由繁入簡，兩者完全互補，需要的能力各不相同。數學學得好，思路開闊思維活躍，物理學得好，條理清晰歸納明確，兩者都好——那就是老葉這樣的了。數學和物理沒有必然的相關性。

歡迎各界人士吐槽交流。

數學系的老師給物理系的學生上《數學物理方法》這門課時，我深深的感悟到兩者的差別。

我高中物理特別好，基本卷面分數只扣個2、3分，數學穩定在140左右。我想說，高中階段物理和數學聯繫並不緊密，是分開的，數學在於做題，物理在於歸納總結並且運算簡單。

大學後物理和數學結合起來了。

對於物理學家，很多實驗已經在頭腦總驗證過了，他們可以憑藉直覺給出實驗結論和公式，剩下的事情，就是數學家的了。

沒必要搞那麼嚴謹。愛因斯坦曾經鬱悶自己是孤獨的，找不到組織。是因為搞物理的說他是數學家，搞數學的說他是物理學家。

物理、數學看似理科，但真的是不一樣的思維。

我原來物理學得不錯，數學卻是一般。我覺得物理有個情景，是應用學科。

而數學是個工具，為了輔助物理、生物、化學的。沒必要分的很清楚，也沒人思考過怎麼分清語文、歷史。因為都是相互交叉的學科。SO,學什麼就想什麼。。

當我是高中生時，我可以很明晰地說找到用到的物理理論，列出數學方程組，然後解方程。當我是大學生時，我會說數學建模，看有什麼未知數，目的是什麼，用什麼模型。現在我是研究生，我有一個理論信仰，但是我不知道如何把它轉化成物理理論：不知道從哪裡下手，不知道用哪種物理模型，不知道用哪些物理量和它們的關係，不知道用什麼數學模型，總而言之，我看到了遠方的目的地，眼前卻是一片混沌的迷霧。

扯遠了。。。本來是回答問題的，結果變成吐槽了。。。如上所述，思考方式取決於你所要解答的「題目」：從毫無原創性到部分原創性到完全原創性。餓了，先吃飯去。。。