為什麼 0 的 0 次方沒有意義？

01-26

沒有意義是說，怎麼定義都可以導出與公理矛盾。所以沒法定義。

要是能定義。早就定義出來了。

0^0 = 0^(1 - 1) = 0^1×0^-1 = (0/1)^1×(0/1)^-1 = (0/1)^1×(1/0)^1 = 0/0 = Nullity

來自 Google

討論0的0次方有沒有意義是完全沒有意義的！！

數學中定義：

1、零的任何次方為0；

2、任何數的零次方為1。

但是在0的0次方時候產生相悖的結論。

用不同的數學方法可以證明出這個問題不同的結論，難道這個問題必須要有對的答案？？

各種數學方法的證明都必須從基礎的定義開始，而定義大多是從符合實際的某種默契而達成的共識，定義完全是種假設。定義1與定義2是從兩種不同的角度進行的定義，或者說是不同的定義體系。

數學不是現實！數學只是經常被用作是描述現實的一種工具，也就是說數學完全可以脫離現實的去做各種假設然後得到一些推論！但是為了能讓數學產生促進現實研究的生產力，所以數學的定義都盡量去符合現實。我們在使用數學中某些方法的前提，都必須是數學中的定義以及推導的邏輯與所研究問題性質相符。

所以說這個問題只是數學中缺少的一部分定義。為什麼沒有？只是這個定義還沒有找到需要它的意義。如果非要讓它產生研究價值，那就要從研究的角度以及具體研究的問題對它進行定義。

為什麼0的0次方沒意義？因為0^0 = 0^1 / 0^1，0不能作除數，所以沒意義；

為什麼0的0次方有意義？因為0^0 = 0個0相乘，所以有意義。

為什麼0的1次方有意義？因為0^1 = 1個0相乘，所以有意義；

為什麼0的1次方沒意義？因為0^0 = 0^2 / 0^1，0不能作除數，所以沒意義。

What"s all(wocao)?!

有圖有真相！

類比 0*log(0)=0 的定義 (實際應用如資訊理論)，定義0^0=1在實際應用中好處多多，很多級數/物理公式不用再單獨討論t=0的情況。

Q: What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school teachers disagree?

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AA%E5%AE%9A%E5%BC%8F

...

n^3=n*n*n

n^2=n*n

n^1=n

n^0=n/n=1

n^-1=1/n

n^-2=1/n/n

...

所以，0^0=0/0 無意義！

沒有思想的顛覆還談何創新

重新定義指數

我們在小時候學習指數的時候經常會誤解指數的定義，很多人認為，指數就是重複連乘，這對於特殊的情況來說（指數是非零整數時），是一個不錯的解釋，小學生也能夠很快理解這個概念。

但是隨著時間的推移，你見到的事物更多了，你就會在這個過程中懷疑這種連乘的方法是否是失效了，因為你看到2^1.5之類的東西，甚至是更奇怪的，例如0^0，而且是0^0其結果居然是1，我記得高中時老師對於這個概念一筆帶過，就說這是它的「定義」，但對我來說我是很難接受這個奇怪的定義的。後來想起這些問題，感覺這些概念有必要隨著自己見識的增長與時俱進了。

我們最先接觸到的基本數學運算是加減乘除，「加減」與「乘除」分別屬於數學中的第一級和第二級運算，詳情見《對數可以延長人類壽命？》。我們想想在很小的時候，當我們學習剛開始算術的時候，老師會教我們通過數指頭的方法來完成加法的計算（例如5+6=11），以及通過重複加法來實現乘法計算例如（2×3=2+2+2=6）（當然有的老師只會教乘法表…）。不過不管怎麼說，這一切看起來似乎都挺自然的。

但上述方法當然也是針對簡單或者說特殊的情況，當包含有負數或者無理數的時候呢，這種方法似乎就行不通了。加減乘除本身並沒有問題，問題在於我們對演算法的理解上出現了偏差，我們對這些演算法的理解是片面的是部分成立的，而不具有普適性。

為了使演算法的描述具有普適性，不應單純地用計數來實現加法，而是將其看做是在一條直線上點的位置變化。這種位置可以是負的（如-1），可以是在某些數之間（例如無理數），或者是在其他的維度上（例如虛數i，詳情請見《虛數不「虛」》）。

那麼，更加完備的演算法思想應當是：加法是一種「滑移」，例如：+3就是向右滑移3個單位。乘法就是縮放，例如：×3就是擴展到原來的3倍。

那麼指數呢?

演算法老思想新思想

加法重複計數滑移

乘法重複相加尺度縮放

指數法 重複相乘隨時間的增長

舉一個具體的例子，對於指數3^2，可以用以下的步驟進行分析（這可能是個笨辦法，但對於理解問題有益）：

設定初始值為1個單位量（指數前面的因子，指數3^2前面的因子為1，指初始值為1個單位數量，即1·3^2，因為乘以1不影響結果，所以省略不寫了，但是要知道它的存在）(original)

設定每增長1個單位時間，量就增長到1個單位時間前的3倍（即指數的底數）(growth)

設定增長時間2個單位時間（即指數的冪）(duration)

對於以上過程，在數學上可以給出通式：

或者

就拿上面的3^2的例子來說，底數growth=3指的是單位時間數量增長的倍數（或稱為增長倍率）；而冪duration=2指的是數量增長的時間；original=1為初始數量。

對指數的這種「增長」的理解不同於乘法的尺度縮放，乘法會給你一個非常明確的尺度因子，你一眼就可以看出其會將初始數量縮放到一個什麼樣的尺度上去。但是對於指數，就沒有一個這樣明顯的縮放因子，因為它代表的是一種「增長」，相比於乘法（直接縮放得到結果），指數更強調「過程」。這個思想很重要，因為自然界中大多數事物都處在一種「無意識的增長」當中！

例如，細菌並不會計劃著自己一天分裂一次，它只會以其自己的方式進食並增長、分裂，而且初值的細菌數量越多，其總量的增長速度也就越快，初始數量就體現在上式的「original」中，初始值對最終結果的影響表現為尺度上的縮放，即乘法的演算法思想。

為了得到它們增長的最終結果，我們需要知道它們當前的增長倍率以及增長的時間。所以指數操作就可以用簡單一句話概括：「以某個初始數量(original)為起點，以一定的增長倍率(growth)開始增長，等到了設定的時間(duration)看看增長到了多少(new)」。

分數冪的解釋

就前面提到的分數冪問題，可以用新的演算法思想進行解釋。例如2^1.5，既然2^1表示初始值為1，單位時間增長率為2，增長1個單位時間後的值；2^2表示初始值為1，單位時間增長率為2，增長2個單位時間後的值。

那麼，2^1.5當然就可以理解為初始值為1，單位時間增長率為2，增長1.5個單位時間後的值了。如果能將這個概念告訴斯蒂菲爾(Michael Stifel)，或許他將會成為發現對數的第一人吧，因為他正是因為那個時代的人們還無法理解分數冪的概念而放棄了對「對數概念」的進一步探究。

指數相乘計算

現在考慮一種情況，就是如果兩次增長率相同的增長「無縫連接」，即一次增長緊接著上一次增長，例如，以單位數量為初始值，以一定的倍率增長，先增長2個單位時間，再在此基礎上增長3個單位時間，問題就可以用下式表示：

實際上和以單位數量為初始值，以一定的倍率增長，一共增長5個單位時間所得到結果是等價的。寫成通式就是：

這就底數相同（即增長率相同）的指數的乘法法則，即同底指數相乘等於底數不變，冪相加。

指數的開根計算

假設現在初始值為1個單位數量，增長率為a，那麼增長3個單位時間後的結果為：a^3。

那麼，對於上面的情況，其中間時刻（1.5個單位時間時）的數量是a^1.5。

如果重複兩次1.5個單位時間的增長，並運用上面說過的指數相乘運算方法，會發現：

用一句話描述就是「半個周期的增長結果乘以半個周期的增長結果等於全周期的增長結果」。這也意味著半個周期的增長結果是全周期增長結果的平方根。即，增長時間減半相當於開平方操作。

那麼，如果將時間等分為3份，並讓3次增長接連發生，得到的將是：

顯然，得到結論是1/3個周期的增長結果是全周期增長結果的3次方根。可以想像得到，如果將增長時間等分為n等份，那麼1/n個周期的增長結果將是全周期增長結果的n次方根。

負指數

如果將冪視作時間，那麼負的時間直觀上其實就可以理解為「時光倒流」。如果正常情況是以一定增長倍率增大，那麼「時光倒流」就指的是以一定的倍率縮小。

上式指的就是：「一個單位時間前的數量是當前數量的(1/2)」。其實，在指數函數2x的圖像中中任意間隔單位時間的兩個點都滿足上面的比例關係。

（圖片來源：betterexplained）

0次冪

那麼，當冪為0代表什麼？先舉個例子，例如3^0的意義。它可以解釋為：初始量為1個單位數量，增長倍率為3，增長了0個單位時間。也就是說，沒有給其增長的機會（時間），數量當然保持著原樣，即為1個單位數量或直接寫成1。其他情況（除了底數為0的特殊情況，下面單獨討論）都可以用這樣的方法解釋。

解釋0^x(其中，x≠0)

即指數的底數為零的情況。表示的是初始量為1個單位數量，增長倍率為0，增長了x個單位時間。可以理解為一旦給其時間增長，就會變成0。如果無法一下理解就先假設x=1，即0^1，表示的是1個單位時間後會變為0。那麼現在將1個單位時間分為n個等份，其中n→∞，那麼0^1/n為01的n次方根，當然也為0，所以，無論冪1/n多麼小或者說無論增長時間多麼短，只要冪不為零，底數為零的指數都為零！

最後看看0^0

0的0次方，這個現在終於可以解釋了。表示的是初始量為1個單位數量，增長倍率為0，增長了0個單位時間。雖然上面說了只要給其增長的時間，它就為零，但是現在的情況是：並沒有給初始值發生這種增長的機會！所以，不管以多少倍率增長其實都無所謂，任何形式的增長都沒有發生，最終結果就是初始值1個單位數量或直接寫為1，即0^0=1。

Reference

[1] Michael Stifel, https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel

[2]Understanding Exponents (Why does 0^0 = 1?) https://betterexplained.com/articles/understanding-exponents-why-does-00-1/

(Sample picture source：http://betterexplained.com)

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0的0次冪當然是1 而且意義非常簡單！

a的b次冪的定義是 1×a×a.........×a。一共b個×a

0的b次冪意思是 1×0×0×0×0×0。一共b個×0 那麼結果是0

a的2次冪意思是 1×a×a，一共2個×a。那麼結果是a方

a的1次冪意思是 1×a，一共1個×a。那麼結果是a

a的0次冪意思是 1，一共0個×a。那麼結果是 1

0的0次冪意思是 1，一共0個×0。那麼結果是 1

a的-1次冪意思是 1/a，因為除法是乘法的逆運算，所以-1個×a是/a。

乘法的起點是1 加法的起點是0

所謂的a的b次冪的定義是 a×a×a×a 一共b個a，這個定義當然是錯的。後面的a前面都帶個×號，就第一個a不帶，你不覺得這規律不對第一個a搞特殊化嗎？

a的b次冪的定義當然是應該是某個數×a×a×a×a。一共b個×a。並且a的1次冪等於這個數×a等於a。那麼這個數就是1。

使用最近新得到的德州儀器計算器模擬器實測……除了TI-92顯示1，其他一律錯誤……

0 次方是除法過來的。

0的0次方意味著0的某次方在分母上，所以沒意義

racket@&> (expt 0 0)

就我的感覺，一般是定義一個值讓公式也能適應它，以此顯得優美。。不同場合定義的值可能就不一樣，比如組合數學和微積分里可能就不太一樣。。

形如x^y

取y=x，當x→0+極限是1,

取y=ln(1+1/lnx),當x→0+極限是e.

取y=(@_@) ,

極限是＼(◎o◎)／

結論有問題

當底數和指數同階極限為1

底數比指數低階極限為1

底數比指數高階極限不確定

龔議程證明過了

0^0 的含義的爭論首先是一個概念上的出發點問題。邏輯上強調概念的同一律。事實上，

算術0表達個數，表達沒有；因此0做分母無意義，算術中也不會出現0^0的問題。在變數數學

中，由於此時0往往被看成變數的極限（無窮小），因此才根據邏輯合理性及現實需要兩點，

在一定條件下，規定式子1/0的意義是無限大，0^0=1.

據說0的0次方以某些定義為1，其實這好像還是個爭論

等於多少都不會和別人衝突，於是就沒意義了

$0^{0} =frac{0^{a} }{0^{a}}=1 (a e 0)$

0^0=1

這是個規定，沒有那麼多道理可講。

0!=1

這個也是規定，也沒有那麼多道理可講。

數學就是任性，怎麼方便怎麼來。

不知道我的證法對不對希望大家幫我看看