為什麼 0 的 0 次方沒有意義？

01-26

為什麼0的0次方被說成沒有意義？

定義冪函數 $x^y$ ,考慮如下形式

$f(x,y)=e^{ylnx}$

當然這裡僅考慮了x&>0的情形，當x&<0時可類似考察。

那麼我們的問題：0的0次方是什麼東西就轉化成了這個二元函數在原點（0,0）的連續性問題，如果我們取點P趨向於原點，該函數的極限存在，即意味著我們可以做連續性延拓，得到0的0次方的值。

遺憾的是此函數在原點的極限不存在，原因是x，y兩變數我們可以選擇任意趨於0的方式，而不同的方式會得到不同的值，導致極限不存在，也就無法定義0的0次方。

函數 $z=left| x^{y} ight|$ 的三維圖像，以表示通過不同的函數趨近(0,0)點能得到不同的值。

參考來源
圖片ファイル:X^y.png

quora上有這個問題

http://www.quora.com/What-is-0-0-the-zeroth-power-of-zero

簡而言之，此處無極限，不解析，定義成什麼值都會有爭議，只是定義為1好處更多，因為涉及到冪指數的一些問題無須專門處理這個特殊情況，比如級數 $sum_{n=0}^{infty}{x^n} =frac1{1-x}$ ， $(0+a)^n$ ， $frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ ，

映射 $f:S o T$ 的個數 $|T|^{|S|}$

0^0=1 當然是有意義的: 如果把 0 看成空集 o 的勢 (cardinal number), 那麼 o^o=Map(o,o) 是只有一個元素的集合, 所以勢為 1, 所以定義 0^0=1 是非常合理的.

這裡背後的原因是空集 o 是集合範疇里的 initial object.

某數0次冪的含義，是它的n次冪除以n次冪，這時n與n相減，才得到指數0。

那麼0∧n除以0∧n的結果，就是0∧0的值。

也就是說0除以0等於幾？換句話說，幾個0相加等於0？答案是：隨便。

但是，基於其他數的0次冪都為1這個考慮，為了統一起見，就人為規定0∧0＝1。

要知道，0作為除數時，只有在被除數非0時，才視作沒有意義，因為無論多少個0相加都不會得到那個非0的被除數。

！但是當被除數與除數都為0時，這個除法是有意義的，而且商可以是任何數。

大家學習不但要知其然，還要知其所以然，尤其是用最基礎的定義來理解看似難以斷定的現象，不然無論怎麼玩兒文字遊戲或炫概念外延，都是胡扯。

比方咱定義一個二元函數f(x, y)＝x^y，這個函數在原點不存在極限，因為橫著逼近得1，豎著逼近一邊得0。

$0^0$ 等於 $1$ ，並不是沒有定義。這是根據實數的指數的定義，不需要極限的概念。

定義. （實數的自然數次冪）設 $x$ 是一個實數， $n$ 是一個自然數，遞歸地定義 $x^0:=1$ ， $x^{n+1}:=x^n imes x$ 。這裡並沒有排除 $x eq 0$ 的情形，這是一個很好的定義，可以避免很多不必要的討論。但在定義實數的整數次冪時，我們要求 $x eq 0$ ，因此除以 $0$ 是沒有定義的。

定義.（實數的整數次冪）設 $x$ 是不為 $0$ 的實數，對任意的負整數 $-n$ ，我們定義 $extstyle x^{-n}:=frac{1}{x^n}$

比如設 $A$ 和 $B$ 是集合，用 $|A|$ 表示 $A$ 的基數， $A^B$ 所有從 $B$ 到 $A$ 的函數的集合，，我們知道當 $A$ ， $B$ 是有限集合時，

$|A^B|=|A|^{|B|}$

將 $0^0$ 定義為 $1$ ，這個公式在 $|A|=0$ ， $|B|=0$ 的情形也成立。從空集到空集的函數有一個，就是空函數。

ps.實數的指數運算

首先從自然數開始

定義1. (實數的自然數次冪) 設 $x$ 實數，為使 $x$ 升到 $0$ 次冪，我們定義 $x^0:=1$ ，現遞歸地假設若 $x^n$ 對於某自然數 $n$ 已定義，則我們定義 $x^{n+1}:=x^n imes x$

由定義可知，對於任何實數 $x$ 有 $x^0=1$

定義2. (實數的整數次冪) 設 $x$ 是不為零的實數，那麼對於任何的負整數 $-n$ ，我們定義 $x^{-n}:=frac{1}{x^n}$ 現在我們考慮非整數次冪運算，我們從 $n$ 次根的概念開始

定義3. 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $ngeq1$ 是正的整數，我們定義 $x^{frac{1}{n} }$ ，叫做 $x$ 的 $n$ 次根為 $x^{frac{1}{n}}:=sup$ { $yin mathbf{R}:ygeq 0 ext{且} y^nleq x$ }

我們常把 $x^{frac{1}{2} }$ 記作 $sqrt{x}$ 注意，我們沒有定義零的 $n$ 次根，也沒有定義負數的 $n$ 次根，我們就此止步。在我們定義複數之後，就可以定義這些根了。

$n$ 次根是存在的，並且還有下面性質

設 $x,y>0$ 是正的實數，並設 $ngeq 1$ 是正的整數

如果 $y=x^{frac{1}{n}}$ ，那麼 $y^n=x$
反之，如果 $y^n=x$ ，那麼 $y=x^{frac{1}{n} }$
$x^{frac{1}{n}}$ 是正的實數

現在我們來定義如何把一個正數升到比例數 $q$ 次冪

定義4. 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $q$ 是比例數，為定義 $x^q$ ，我們把 $q$ 寫成某整數 $a$ 與某正整數 $b$ 的比， $extstyle q=frac{a}{b}$ ，並定義

$x^q:=(x^{frac{1}{b}})^a$

注意，每個比例數不管是正的，負的，還是零，都可以寫成 $extstyle frac{a}{b}$ 的形狀，其中是 $a$ 整數，是 $b$ 正整數

最後我們來定義實指數的指數運算

定義5. (實指數的指數運算) 設 $x>0$ 是實數，並設 $alpha$ 是實數，我們定義 $x^alpha$ 為 $(x^{q_n})_{n=1}^{infty}$ 的極限，其中 $(q_n)_{n=1}^{infty}$ 是任何收斂到 $alpha$ 的比例數序列，即

$x^alpha :=lim_{n ightarrow infty}{x^{q_n}}$

這一定義是定義良好的(well-defined)，實指數的指數運算有如下性質

設 $x>0$ 是正的實數，設 $q,r$ 是實數

$x^q$ 是正的實數
$x^{q+r}=x^qx^r$ ，並且 $(x^q)^r=x^{qr}$

$x^{-q}=frac{1}{x^q}$

0的任何次方都等於0，故 lim(x-&>0) 0^x =0

任何非零實數的0次方都等於1，故lim(x-&>0) x^0=1

故交換求極限順序會改變極限 lim(x-&>0,y-&>0)x^y 的值

故lim(x-&>0,y-&>0)x^y不存在

故0^0無意義

答案已經確定是1，權威性應該沒問題，GTM第一本

令 $f(x)=x^x$ ，在0處，右極限為1，左極限不存在。

即： $lim_{x ightarrow 0+}f(x)=1$ 。

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你們吵吧。。。

0^0好萌啊。

摺疊就摺疊╮(╯_╰)╭

從現在通用的指數運算規則出發，構造0∧0必然涉及指數減法，即0∧(a－a)，就是以0∧a為除數，這是沒有意義的。

所以0∧0以指數形式存在卻不能參與指數運算，不能運算的數學概念是沒意義的。

反對部分答案。首先要說兩點：

第一，「0^0沒有意義」和「0不能做分母」並不是一回事。0不能做分母是因為，如果它做分母的話會破壞原有的代數結構。而0^0，說它沒有意義只是（高中階段的）一種人為約定而已，把它規定為1也沒有問題。

第二，很多人混淆了兩個概念。甚至可以這樣斷言，這個問題下凡是用「不定式」來解釋的答案都是有失偏頗的。數學分析中所說的「0^0型不定式」指的是：設f,g是兩個以0為極限的函數（同理，以0為極限的兩個數列），則f^g是0^0型的不定式。而自然數的運算，0^0，與這是兩碼事。類似地，數學分析中也有「0乘無窮型不定式」，但這不妨礙實分析中規定「0乘無窮等於0」。

下面開始正式答題。

集合論中，定義自然數的乘方運算有兩種不同的方式：序數（Ordinal Number)和基數(Cardinal Number)。

一、序數

首先，寫一下自然數的定義：

定義0為空集。假設我們已經定義了n，則定義它的後繼（皮亞諾公理體系保證了其存在性）n"為n並{n}。

也就是說，非零自然數n定義為集合

{0,1,2,…,n-1}。

下面假設我們已經定義了自然數的加法和乘法運算，乘方運算是這樣定義的：

1、a^0=1；

2、假設已經定義了a^n，定義a^{n+1}為a^n*a。

從上述定義中可以看出0^0=1。當然，如果想要迴避這一點，也可以人為補充規定0^0是沒有意義的。但在看不出任何好處的情況下，這樣做完全是畫蛇添足。下圖為書上的定義：

二、基數

定義a^b為由基數為b的集合到基數為a的集合的映射全體所構成的集合的基數。下圖為書上原文：

下面我們要證明a^0=1。為此，先要給出映射的定義。

稱f是從X到Y的映射，如果它滿足：

1、f是X與Y笛卡爾積的子集；

2、對任意x屬於X，存在唯一的y屬於Y，使得(x,y)屬於f。

這裡(x,y)屬於f，也就是我們通常說的y=f(x)。下面我們來考慮a^0的問題，也就是說，由空集到某個基數為a的集合A的映射有多少個。這裡有些同學可能有個誤解，認為由空集到A的映射應該一個也沒有。然而事實上，答案是，恰好有一個，那就是空映射（空集）。為什麼這個時候空集能成為映射呢？我們回來看定義。首先空集滿足第1條。空集也滿足第2條，因為命題「若p則q」在p為假的時候恆真。同樣由定義，我們知道由空集到A的映射是唯一的。這樣就證明了a^0=1。

注意，上述過程中，我們完全沒有用到a的性質。當a=0的時候，這一證明仍然成立，即0^0=1。

結語：

我們分別從序數和基數的角度說明了0^0=1。這裡再多說兩句。在自然數的範圍內，無論按照序數定義的加法、乘法、乘方運算還是按照基數定義的運算，計算的結果都是相同的。然而，涉及超限數運算的時候，兩者會有差異。

因為手機不好打希臘字母，下面用N表示自然數集的基數aleph_0，用w表示希臘字母omega（即對應自然數集的序數）。

從基數的角度來考慮，N，N+1，1+N都是一樣的。然而，從序數的角度上來講，1+w=w，然而w+1與它們並不相等。

以上

參考文獻：

[1]Thomas Jech, Set Theory, Springer.

m^n指的是m個中取n個的組合。那C(0,0)呢，不用想從0個中取0個的組合只能有一種。所以0^0=1。

一年後的編輯：

看了一年前的答案真是感慨萬千啊。話說知乎上居然有這麼多人認為0^0不定的。

來個靠譜的回答吧：

b^x=(0+b)^x=sum k=0 to infinity ((x,k)*0^k*b^(x-k)=(x,0)*0^0*b^x+(x,1)*0^1*b^(x-1)+....=(x,0)*0^0*b^x=0^0*b^x

可以看出0^0等於1，(x,k)是二項式係數。(x,0)=1。如果要二項式定理正確則必須定義0^0=1。順便@Ivony

數值不存在應該可以肯定，不過這個極限還是可以研究一下的

如果按照普通人的常識，把這兩個零姑且當作相同的東西，即等價無窮小的話， $frac{0}{0}=1$ ，那麼：

$0^{0}$ 就可以當作 $lim_{x ightarrow 0}{x^{x}}$ 這個極限

$x^{x}=e^{xcdot ln x}$

由於 $e^{x}$ 的定義域是整個實數集，所以先來研究 $lim_{x ightarrow 0+}{xcdot ln x}$ 這個 $0cdotinfty$ 不定式的極限

$lim_{x ightarrow 0+}{xcdot ln x} =lim_{x ightarrow 0+}{ frac{ln x}{frac{1}{x}} } =lim_{x ightarrow 0+}{ frac{frac{1}{x}}{-frac{1}{x^{2} }}}=lim_{x ightarrow 0+}{-x}=0$

所以： $lim_{x ightarrow 0+}{e^{xcdot ln x}} =e^{0}=1$

如果這倆零不等價，即 $x^{y}=e^{ycdot ln x}$

$ycdot ln x$ 可能是0、任何實數，或者無窮大

所以 $0^{0}$ 就可能是任何數值

高數扔了很多年了，憑記憶作答

補充了一些內容

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