矩陣的整數冪是不是也滿足歐拉定理？

有一個方陣T，是不是有一個整數n使得T^(n+m-1)=T^n (mod m)，這裡mod是指將矩陣中每一個元素均mod m，其中m為質數，T不為全0方陣

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這條性質對方陣的性質要求很嚴.

最簡單的,只要考察一下跡就知道沒那麼容易了.

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如果T的行列式要求跟m互質的話應該是可以的，因為GL(n, Z/mZ)是有限群，一定存在一個整數r(比如r就是這個群的階)使得這個群任意元素的r次方都是identity.

考慮一般矩陣的話有點難，nilpotent感覺是個問題。

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建議先試著算算。

不過矩陣里有大量的冪零元。

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不是。NOI2013矩陣遊戲只是一個特例。

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簡單地說就是 當且僅當， 只要構造一個矩陣特徵值不在里就行了

不能對角化的矩陣也是反例，LZ可以自己試一下

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首先矩陣如果各元素非整數就顯然不科學，即使把問題限制在環上的矩陣也不一定對。

歐拉定理是指的單位群的lagrange定理，所以我們對於元素與m不互素的矩陣也不考慮。

問題規範如下：

對於n階整數方陣，其各元素均與m互素，是否有T^(phi(m))I(mod m）?

反例如下：

考慮，為元素均為1的n階方陣，則

所以,根本做不到與E同餘，而且它的各元素表現性質相同，不像I主對角線是1，其餘均為0。

如果要合理的推廣，可以考慮將

矩陣乘法改為Hadmard積，即,其滿足結合律，交換律，等等

E改為

（不過我覺得題主可能不會喜歡這個平凡的推廣）

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不行，例如冪零元A=

(0 1 0 ... 0)

(0 0 1 ... 0)

...

(0 0 0 ... 1)

(0 0 0 ... 0)

就不行。

對於一般的有限環 ，其中任意一個可逆元,存在 滿足 ，

而對於一般的 , 存在 使得 ,即

但是 不一定能取

現在所有有限域 上 階可逆矩陣全體構成的環 是有限環，滿足我們所說的情形

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原來歐拉定理是要求a在p的縮系裡面的,這裡T都不是整數......肯定是不行的,反例樓上已經說了.

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