有哪些只利用平面幾何難以證明，但是藉助一些立體幾何知識卻變得容易奏效的有趣的平面幾何命題？

眾所周知，數學中有許多著名的命題，都是從一些較為基礎的分支當中提出的，且形式較為簡單，初中水平就能看懂。譬如：費馬大定理、代數基本定理等。但是，許多命題的證明花費了幾代數學家的努力，並且都應用了較為高級的數學分支，甚至其中一些知識只有大學數學系的本科生或者是研究生才會學到。

譬如，代數基本定理，雖然它是從代數中引入的，但是它的證明或多或少都會牽涉到一些數學分析甚至是複變函數的內容。該命題目前已經有幾百種證法，但沒有一種是「純代數」的證明。甚至一些人猜想，它純粹是一個「披著代數學外衣的分析學命題」。

此外，高中階段，藉助三角函數、向量證明代數命題、藉助向量證明關於實數的不等式的案例也有許多。一些只用初等數學方法難以求解的中學題目，藉助一些高等數學知識可能會變得較為容易。

類似地，是否也有一些只利用平面幾何難以證明，但是藉助一些立體幾何知識卻變得較為容易的有趣的平面幾何命題？（圓錐曲線與一般平面曲線除外）

畢竟現行高中課本用向量、解析幾何、「數形結合」證明平面幾何的案例非常多，但是用立體幾何證明平面幾何的思路則非常鮮見。

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PS. 此問題靈感源於知乎答案《杜嘟嘟：學校是如何扼殺我們的創造力的？》，部分內容如下：

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結果上初中的時候，又一個傻逼數學老師，還是國家重點中學的老師，剛畢業。

他出題，準備自己帥一把用兩種方法解題。

結果第一種方法用八步，第二種方法六步，做完了還強制全班同學鼓掌。

正在嘚瑟中，我舉手說老師我會個五步的。

他不信，說那你上來做做？

結果我用高中立體幾何的思路五步做出來了。

此人惱羞成怒，他可能當時沒辦法理解為毛初一的小孩會用高二的輔助線解題。這個題一般的思路是代數來解，幾何太奔逸了太出乎意料了。

遂嘲諷我說：就你比別人能，是吧？誰讓你用立體幾何做的？會點歪門邪道特了不起是唄？到門口站著去！

……

謝邀。

有一個很好的例子就是射影幾何的笛沙格(Desargues)定理。內容如下：

平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交於一點(或者平行，此時交於無窮遠點)，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線(或者平行，也就是交於無窮遠點)。

此定理是純粹的射影幾何定理，只涉及點和線的結合(incidence)關係。所以一般的用梅涅勞斯等度量幾何的定理去證明的話，有邏輯上的問題。

此時有一個三維上的證明法，假設剛才的兩個三角形是空間三角形，那麼很容易得到對應邊交點的連線的交點必定在兩個三角形所在面的交線上，從而共線。然後把整個三維圖形投影到二維上就能得到二維的笛沙格定理。

其他的例子有

1) 如果三個圓。他們之間的兩兩公切線的三交點共線。假定是空間三個球，那麼三個交點必在公切面的交線上。

2) 梅涅勞斯定理。假設三角形是空間的，那麼做相應點到過割線平面的距離，用比例就很容易證明。

注意：這裡的笛沙格的三維證明法其實有點兒問題。因為從高維射影幾何的角度，笛沙格在高於三維必然成立。然而在二維要成立的話，必須假設其為公理才行，因為存在笛沙格定理不成立的二維射影平面。此時，可以假設Pappus定理成立，來推導出笛沙格定理成立。Pappus定理定價於坐標的表示符合數域(field)的公理，也就是幾何的坐標只能用實數或者複數來表示(四元數，八元數肯定不行了)。這也是最常用的情況。當然，對於歐式幾何來說，連平行公理都有了，笛沙格定理是必然成立的。