關於x的x次方在0到1上定積分？

01-24

$t=xln x$ 不是單調的，換元不成立

用換元法積分的時候，一個隱含的要求是換的元在積分區間上要是單調的。不然定積分就很容易出錯。

比如 $int_{-1}^1 x^2dx$ 。如果你取 $t=x^2$ 。那麼 $frac{dt}{dx}=2x,dx=frac{1}{2x}dt$ 。如果不小心的話，可以把原積分拆成在 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$ 上兩個積分：

$int_{-1}^1 x^2dx= int_0^1 x^2dx+int_{-1}^0 x^2dx =int_0^1 t cdotfrac{1}{2x}dt +int_1^0 tcdot frac{1}{2x}dt=0$

這個結果顯然是錯的。

題主你犯的就是一個類似的錯誤。 $t=xln x$ 在 $xin[0,1]$ 上不是單調的。那麼為什麼會出現這樣的問題？本質在於拆開的兩個積分里的 $x$ 並不是一樣的。所以兩個積分看起來雖然一樣，但是其實卻不同。

還是用上面的例子。在 $[-1,0]$ 和 $[0,1]$ 上分別討論 $t=x^2$ :

$x=egin{cases} -sqrt{t} quad ext{when } xin [-1,0]\ sqrt{t} quad ext{when } xin [0,1]end{cases}$

所以原積分就應該拆為：

$egin{align*}int_{-1}^1 x^2dx= int_0^1 x^2dx+int_{-1}^0 x^2dx =int_0^1 t cdotfrac{1}{2x}dt +int_1^0 tcdot frac{1}{2x}dt \=int_0^1 t cdotfrac{1}{2cdot sqrt{t}}dt +int_1^0 tcdot frac{1}{2cdot(-sqrt{t})}dt \=int_0^1 t cdotfrac{1}{2sqrt{t}}dt +int_0^1 tcdot frac{1}{2cdot sqrt{t}}dt \=2int_0^1 t cdotfrac{1}{2sqrt{t}}dt end{align*}$

更嚴格的說，如果對一個積分 $int_{a}^{b} f(x)dx$ 一個替換 $t=varphi(x)$ 使得一致的有 $f(x)=g(t)$ 。並且假設 $t=varphi(x)$ 在 $xin[a=a_0,a_1],[a_1,a_2],cdots,[a_{n-1},a_n=b]$ 分別單調。那麼我們要在各個區間里分別求反函數：

$x=phi_i(t), ext{ when } xin[a_{i-1},a_{i}]$

那麼原積分

$egin{align*}int_{a}^bf(x)dx =sum_{i=1}^n int_{a_{i-1}}^{a_n} f(x)dx =sum_{i=1}^n int_{varphi(a_{i-1})}^{varphi(a_n)} g(t)cdot frac{1}{varphi$

所以這個拆分和對應單調區間上的反函數 $x=phi_i(t)$ 有直接的關係。

恰巧碰到。

很明顯樓上冰哥說得已經很清楚了。。如果不單調，新的x取不同的值的時候，可能對應於原x的同一個值，這樣你的積分就面臨區間上的重複，自然不對。。