為什麼只有邊數為費馬素數的多邊形才能用尺規作圖？

01-26

？

確切地說是邊數為 2的冪與費馬素數之積的正多邊形可用尺規作圖

首先, 作正n邊形等同於在複平面上作n次單位根

使用圓規和直尺相當於分別在平面上構造二次方程和一次方程，反覆使用尺規即在平面反覆嵌套和這兩種方程並求解的過程，因此可以用尺規作圖的數是最高次數為2的冪且在Q中不可分解的多項式的根

且對任意可構造的數構成的域K， $[K:Q]=2^m$ ，即K作為Q上的線性空間維度為2的冪

由n次單位根的定義易知其在Q上的維度是 $phi(n)$ , 事實上它們是 $x^{phi(n)}+....+1=0$ 的根

而 $phi(n)=2^m$ 的數是 2的冪與費馬素數之積

朴正歡的答案言簡意賅。在初等數學的範疇內，鄙人通過證明正17邊形可尺規作圖的思路說明一下（原始出處：奇蹟！正十七邊形的尺規作圖 16樓）。

證明：

設正17邊形的一條邊對應的中心角為a, 則17a = 2pi, 即16a = 2pi - a.

故sin(16a) = -sin(a)

而sin(16a) = 2sin(8a)cos(8a) = 4sin(4a)cos(4a)cos(8a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a),

故 -sin(a) = 16sin(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a).

因 sin(a) 不為0,

故16cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a) = -1

用餘弦函數積化和差公式進行迭代,有:

2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1

令

x = cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a)

y = cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a)

則:

x + y = -1/2

xy = (cos(a) + cos(2a) + cos(4a) + cos(8a))(cos(3a) + cos(5a) + cos(6a) + cos(7a))

對xy進行展開, 積化和差, 再利用周期性合併同類項, 有:

xy = (1/2)(4cos(a) + 4cos(2a) + ... + 4cos(8a) )

即

xy = -1

聯立方程組, 得:

x = (-1 + 根號17) / 4

y = (-1 - 根號17) / 4

再設

x1 = cos(a) + cos(4a), x2 = cos(2a) + cos(8a)

y1 = cos(3a) + cos(5a), y2 = cos(6a) + cos(7a)

積化和差, 再利用 2(cos(a) + cos(2a) + ... + cos(8a)) = -1 有:

x1x2 = -1/4

y1y2 = -1/4

故同法可解x1, x2, y1, y2:

x1 = (-1 + 根號17 + 根號2 * 根號(17 - 根號17)) / 8

x2 = (-1 + 根號17 - 根號2 * 根號(17 - 根號17)) / 8

y1 = (-1 - 根號17 + 根號2 * 根號(17 + 根號17)) / 8

y2 = (-1 - 根號17 - 根號2 * 根號(17 + 根號17)) / 8

最後, 由

cos(a) + cos(4a) = x1

2cos(a)cos(4a) = y1

可求cos(a)之表達式:

它是由整數經過加、減、乘、除、開平方構成的.

故正17邊形可用尺規作出.

letex寫的漂亮式子見17 - 作業部落 Cmd Markdown 編輯閱讀器

結論：通過直觀觀察，我們可以看出，邊數為費馬素數的多邊形，套用上述演算法才有效，才能得出「由整數經過加、減、乘、除、開平方構成的」三角函數值。

這種問題不應該直接查文獻么