如果你是只緊貼在甜甜圈上的智慧臭蟲，你能用哪些數學或物理方法斷言自己所處的曲面不是球面？
這是一道開放題。請各位用自己所知道的數學知識儘可能多地提供數學或物理方案。這裡「緊貼」是指不能離開曲面也不可以抬頭看(數學上即指只能用內蘊的觀點)。
補充一下：我們假設蟲子可以走遍整個曲面。
我補充一下 @運算元 的答案：測量不同半徑的圓的周長就可以。取曲面上一點 p , 以p 為圓心半徑為r 的曲面上的圓周周長測為 C(r). 這個讓蟲子把繩子一端固定走一圈就測出來了。根據 Bertrand–Diquet–Puiseux 定理， p 點的高斯曲率為
然後再用Gauss-Bonnet 定理，將曲面上所有點的高斯曲率積分積在一起就得到了曲面的虧格，也就是有多少個洞。
問題已更新。原文題無「螞蟻可以走遍全宇宙」這一設定。此答案基本上基於原問題。【反正都是開腦洞，每一種前設下給出來的答案都有意思。
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已修改第三部分。謝謝@宋詩晗耐心的指正。不過，這個先驗假設實在是太強了。其實和整個的文風有點不搭。-----最後一種情況有些問題。單有復結構似乎也是不夠的。等我想清楚了怎麼夠再來改。好奇的觀眾可以先看看評論，專業的觀眾請在留言中指正我更多的錯誤。（已修正。）------以及，正文中對locally這個詞用得不太嚴格。有時候指「一個點的任意足夠小開鄰域都有的性質」。有時候指「一個點的某個開鄰域可能有的性質」。也待抽時間修正。------以下正文------
能不能分得清，取決於曲面上先驗地假定了什麼結構。
假定我們只能探索拓撲量（也就是說，topologically isomorphic的曲面視為無法區分），那麼，如果螞蟻只能探索所處位置周圍的一片區域，亦即，它只能知道local的信息，那就根本分不出來--球面和其它閉曲面locally是同胚的。要是允許探測global信息，倒是有好多種做法，基於同倫群同調群什麼的。然而這些做法從描述上都可能會有一種超現實感。比如說「假如螞蟻探測出了一條loop，它不能連續地收縮到一個點，那麼螞蟻就會知道這不是個球面。」這說法從數學上來講是不錯，但是，螞蟻怎麼知道自己沒法找到一個可收縮的同倫等價，是因為真的沒有呢，還是自己走得不夠遠？比如說，某種習居於赤道上的生物無法越過南北回歸線（不然就會凍死），他們自然找不到赤道大圓的可縮等價；但能因此作結論說地球是個甜甜圈么？……好像不行的吧？
類似地，如果我們假定這個曲面是個微分曲面，甚至一個帶度量的曲面，都會遇到同上所述的二分。在帶度量的情況，我們可以用一個bump function把某個局部的度量修正得和一個典型的球面的局部一樣一樣的；要常曲率常曲率，要各向同性各向同性，怎樣開心怎樣來……而不影響到整體。這時候一隻謹慎的螞蟻會表示：許許多多的跡象表明我們生活的世界擁有太多球面的特質；然而我們還不能下結論說這世界就是個球面。我們沒有發現例外，也許只因為我們走得不夠遠。只能不完全歸納不能完全歸納的人類科學也有一樣的局限性。
然而，如果我們的先驗假設是，這個曲面自帶一個全局的常曲率度量，那麼根據Gauss-Bonnet定理，正曲率的情形對應著球面；零曲率的情形對應著甜甜圈--這件事有些反直覺，因為三維歐式空間里的甜甜圈（和更多洞的各種點心,Pretzel什麼的）的曲率是正/負/零三種情形皆具有的，負曲率的情形則對應著更多洞的點心。這樣，前兩種情況只看局部就可以分開了。最後面這一堆則依舊單看曲率分不清。但是，運氣好的話，能找到足夠多條在-1曲率測度下的閉測地線的長度，似乎可以確定虧格？（依據: Selberg"s Trace Formula的一個推論，閉測地線譜決定Laplacian譜，亦順便決定了虧格。）
當然，我以一個完全的物理外行的身份胡說兩句：觀測到的度量就是全局唯一的常曲率度量什麼的，這先驗假設有點太美好了。先不說局部的常曲率度量不一定能夠擴到整體，就算運氣好撞到了一個可以看起來不停的擴擴擴的常曲率度量，丁儀前輩還有話說，「希望宇宙是一盤沒動過的菜？……想太多啦騷年……"謝邀。
在曲面上畫一個圈，最好畫大一點，然後站在圈的一側。如果你發現你可以從圈的一側不跨過圈而走到圈的另一側，說明你肯定不是在球面上面。上述方法是一種比較簡略地找非零調曲線（不是任何區域的邊界的曲線）的一種方法。他只能保證：你如果找到一條同調非平凡的閉曲線，那肯定說明拓撲不是球面；但是你做不到遍歷所有曲線，所以你如果是在球面上面，上述做法就行不通了。
PS:我不太喜歡測曲率的方法，因為這張曲面未必是光滑的，如果上面有黑洞、curvature blow-up的話，那就比較麻煩。。更喜歡純拓撲的方法，比如三角化測歐拉示性數之類的。簡便一點的方法就是找非平凡的閉曲線了，能不能找到當然看運氣。既然可以走遍整個曲面……那就畫三角網格，整個曲面劃分完之後算Euler示性數就好(簡單起見，可以畫的時候盡量弄成6度點，最後把度不是6的頂點匯總起來即可)
找一根足夠長足夠光滑的繩子，把一端固定在地上，然後銜著另一端去環遊世界。
一直爬啊爬，直到爬回到起點。然後開始收繩子。如果繩子收啊收，突然收不動了，那就說明我在一個有洞的曲面上。如果繩子收啊收，收沒了，那就再爬一次。如果爬了n多次，每次繩子都能收完，那就有理由相信我在一個沒洞的曲面上。好吧，我知道上面這個方法不太完美。
還有另一個方法。找一塊彈性足夠好的橡皮膜，找n多個小臭蟲跟我從同一個地點開始，銜著橡皮膜的邊緣開始往不同方向爬。事先約定好，地上已經鋪了橡皮膜的地方不能爬。最後，如果所有小臭蟲都能跟我相遇於同一點，那我們的世界就是沒洞的；如果有幾隻小臭蟲我不管怎麼走都遇不到，那就說明我們的世界是有洞的。
生一窩小臭蟲。
讓小臭蟲儘可能的遠離彼此。相互位置穩定之後再讓每隻小臭蟲環顧四周。報出周圍距離最近臭蟲的數量。
因為球面的euler characteristic為2， 所以在球面上，很多小臭蟲周圍會有6隻臭蟲，但總有一些小臭蟲的周圍有5隻或者7隻臭蟲。甜甜圈的euler characteristic為0，可以做到每個臭蟲周圍都有6隻臭蟲。
思路來源：Thomson problem：Thomson problem
實驗：http://weitzlab.seas.harvard.edu/files/weitzlab/files/2003_science_bausch.pdf單身臭蟲可能完了測量不同半徑的圓的周長
測量三角形內角和：取三個點，用最短的線把三個點連成三角形。
測量三角形的三個內角，內角和為180度則為平面，否則為曲面。內角和與空間曲率以及三角形的大小有關。同樣曲率下，三角形越大，偏離180度越遠。
把這個三角形平移一段距離（保持邊長不變），再測一次內角和。假如每個地方測得內角和都一致，那麼可以認為是個球面。這個方法不僅適用於在二維空間測量是否是球面，也適用於我們所在的三維空間（測量是否為超球面）。如上面答主所說，如果考慮的拓撲同胚的話那對於這一隻臭蟲而已要否定腳下這塊甜甜圈不是球面可能相當困難，甚至說根本沒有完美的辦法，因為可能這個甜甜圈可能是一個很大的球再黏上一個非常非常微小的環柄。就像這樣
甜甜圈內圈上是負曲率。球面的曲率是正的。
甜甜圈上的圓不一定能縮成一個點，球面的可以。任意選取三個「方向」，比較沿該方向的曲率，球面的話曲率應該是一樣的，甜甜圈最多兩個方向一樣（？未嚴格證明）
分情況來看：
*假定曲面上不存在摩擦力等阻礙運動的因素*
*假定二維蟲子已經知道自己所在的曲面是環面和球面中的一種**假定曲面上不存在除了二維蟲子以外的物體，但可以存在判斷實驗中所需要的物體**此處的環面（torus）和球面（sphere）的定義是幾何上的，不考慮拓撲同胚。否則會出現一些幾乎無法判斷的極端情況，比如球面「接上」一個極小的環面。*1）如果不存在更高維的空間，使得曲面嵌入其中：那麼二維蟲子可以向不同方向以相同初速率發射二維小球，並計時。如果二維小球返回起點所需的時間不相等，那麼可以知道不是球面，反之則是。2）如果不確定是否存在外部的更高維空間：那麼可以任選一點為起點，然後任選兩個互相垂直的方向拉繩子，直到繩子另一頭回到起點為止，於是得到一個繩圈。接著站在起點逐漸收縮繩圈。如果在所選的兩個互相垂直的方向上，繩子都可以收縮為一點，那麼這可以確定是球面，反之則不是。也可以任選一點為起點，分別沿著兩個相互垂直的方向移動，並持續測量高斯曲率（Gaussian curvature），如果高斯曲率出現負數，那麼可以斷定不是球面。問題是對蟲子來說它是怎麼知道這裡是一個曲面的？試著從蟲子而不是上帝-上帝指的是擁有超越這個維度的知識的存在，的角度看這個問題。蟲子可以幹什麼呢？它貌似可以決定自己在這個面上的移動，那麼，它有時一股腦的往前走，有時他只往右走，或者往左。蟲子在走的時候都在身後留下它自己吐的絲線，有時候，走了一段後，蟲子就走到了開始的位置，因為蟲子看見了絲線的頭。而這些絲線有種特性，過了一段時間就會自己收縮，會盡量收縮到最小。蟲子發現，有時候絲線會收縮為一個點，而有時候只能收縮為一個首尾相連的線。然後蟲子就想像出了一個甜甜圈宇宙。
這個～題主可以學習一下代數拓撲，尤其是同調群和同倫群的構造方法。一百多年前龐加萊在研究這類的問題的時候就已經給出了斷言：拓撲結構的存在是內蘊的，不依賴於嵌入的高維空間。另外，與甜甜圈上的螞蟻類似，人們已經知道，宇宙的結構不是平凡的歐式空間，而是一個三維球殼，像個肥皂泡。人們知道這一點並不依賴於宇宙嵌入了一個至少有四個空間維度的空間。
為了破解這個蜜汁拓撲。
我會咬一口甜甜圈。如果一口還不夠。那就咬兩口。如果兩口還不夠。那就咬4口。一直咬到1024口。哦，你說不能破壞甜甜圈，只能用物理或數學？
既然題目設定了我是一隻充滿智慧的臭蟲，我爬到了一個完美的甜甜圈上面，讓我不咬甜甜圈，除非我傻。
ps,答主在強行賣萌這個事情，大家就人艱不拆啦，我本來只想回答一個字，「咬」，覺得有點污才特意鋪展長文的。既然可以遍歷就巨簡單了，球面能往「上」走么？