設多項式f(x)∈Z[x],若它在Q上可約，為什麼在Z上也是一定可約的？

01-24

這個高斯引理在書上看得不過癮，不通俗。

通俗地說，就是如果一個整係數多項式可以分解為兩個有理係數多項式的乘積，從可以把有理係數分子分母的公因子提出來，寫成兩個整係數多項式相乘再乘以一個有理數的形式。

然後利用整數的唯一分解性，這個有理係數就是個整數。

因為Z是唯一因式分解環，所以可以對Z[X]使用高斯引理

設f∈Z[X]，f=gh,g、h∈Q[X]

兩端同乘g和h所有係數的最小公倍數，等式變成af=bg"h" ，a,b∈Z

如果f是本原的，那麼這個分解是不存在的，也就是說矛盾。

所以Z上的不可約多項式在Q上不可約

假若一個多項式的係數的最高公因子等於一，我們就叫這個多項式做一個本原多項式。

有了這個定義後，就可以證明高斯的預備定理了。

預備定理Ⅰ 兩個本原多項式的乘積仍然是一個本原多項式。

證明略

預備定理Ⅱ 如果整係數多項式f（x）在有理數域內可約，那麼它就能分解成為兩個較低次的整係數多項式的乘積。

證明因為f（x）在有理數域內可約，所以可以把f（x）寫成下式：

f（x）=φ（x）ψ（x），

式中的φ（x）和ψ（x）都是以有理數為係數的多項式，並且次數低於f（x）。

如果多項式φ（x）和ψ（x）的所有係數都是整數，則定理已經成立。因此設φ（x）和ψ（x）有分數係數。我們以m1表示多項式φ（x）的係數的公分母而以m2表示ψ（x）的係數的公分母。於是有

φ（x）=φ1（x），ψ（x）=ψ1（x），

這裡φ1（x）與ψ1（x）已經是整數係數多項式了。再，以d1表示φ1（x）的係數的最大公因子並且以d2表示ψ1（x）的係數的最大公因子，提出這些最高公因子後可以寫

φ（x）=φ1（x）=g（x），ψ（x）=ψ1（x）=h（x），

式中的g（x）和h（x）都代表本原多項式。由上述，f（x）就可以寫成：

f（x）=g（x）h（x）。

現在我們證明是整數。首先，可令=，r和q代表互質的整數。因為f（x）的係數是整數，所以對於乘積g（x）h（x）的任意一個係數ei，eiq必須被r整除。r和q既然互質，ei必須被r整除，這就是說r是g（x）h（x）的係數的公因子。根據預備定理Ⅰ，g（x）h（x）是本原多項式，於是r=±1，換句話說，我們證明了等於整數±q。

綜上所述，就證明了預備定理Ⅱ：f（x）可以分解成具有整數係數的多項式g1（x）=±qg（x）和h（x）的乘積。

由於預備定理Ⅱ，關於有理數域上多項式的可約性問題，可以限制於討論整係數多項式對整係數因式的分解式。

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