所謂「物理直覺」指的究竟是什麼？它在數學研究中能起到什麼作用？
比如丘成桐對物理直覺很是推崇，認為物理學家往往能「猜到」一些本質的數學結果，那這種直覺能力到底指的是什麼？是否是數學家很難擁有的？能否舉出實例？謝謝！
很多答案說物理直覺是大局觀，是視野，是對物理圖像的把握。我覺得這只是區分物理專業的學生和非物理專業的學生的一條線，也能夠回答題主的問題了。但我想說在物理專業學生之中，物理直覺雖然也是"先於數學推導『猜到』物理圖像的本質"，但這種直覺需要更多的解釋。
物理是個和現實打交道的學科。在真正做物理科研（尤其實驗物理）的時候，我們面對的不是簡單的「數學性地嚴謹推導」或是「物理直覺性地感知」的二分，我們往往面臨著一個嚴峻的問題：
每個實驗都能產生大量的有趣的數據，每個有趣的、和理論預期結果不一樣的數據都可以進而產生各種各樣的研究方向；這些方向每個都可能對應著一個不同的物理圖像，每一個都可能很有趣。這時候我們到底要往哪個方向走？這些方向太多，世界太大，如果肆意而為那可能就是一個random walk,太難到達你想到的地方。
我自己做第一個科研時對上面這個問題根本沒有概念，所以每看到一點有意思的東西就按照自己所謂的「物理直覺」走下去了。然後每次我滿懷激情地拿著自己的「科研成果」和我老闆彙報的時候，他有百分之八十的時間都會說「That"s interesting, but we are not interested in it.」 那時候我總會心裡一沉，然後默默吐槽「誰說美國人注重培養學生的創新能力，老子在這組裡不就是按照老闆的意思做實驗的工具嘛！」
隨著科研經歷的不斷積累，我開始意識到上面黑體字的那個問題。物理科研是一個不斷提出問題然後解決問題的過程。在面對龐雜的實驗數據時，我會提出一個新的問題然後嘗試去設計新的實驗來解決它；我的教授也會提出一個新的問題然後讓我去設計實驗解決它。但在無數次的討論與交鋒後我發現，教授提出的問題總比我更有可能切中複雜的實驗現象中的物理本質——雖然這些問題在被回答之前我們都不能確定到底誰的更好，但最後教授問題的質量總是神奇的超出我好幾個身位。
這時我開始認識到，每個人都可以有自己的「物理圖像」和「物理直覺」，但是好的物理直覺是在面對複雜的物理現象時能提出一個好的問題直指最核心的物理本質。我曾經和我的大學同學@毛毛討論過相關的問題，他說「問一個好問題的能力讓我感覺像是這麼一種能力：如果我們把現象語言化成命題後我們得到一系列層次不同但又相互相關的命題。這些命題多半都既包括正確（或更可靠）的信息又包含不牢靠的假設，而一個好的發問者能把這些命題中更可靠的信息串聯起來同時指向一個新的方向。我感覺這是一種很難解構的直覺，也許唯一提高的辦法就是多問？」
題主還問「[這種物理直覺]是否是數學家很難擁有的？」所以我也就從我現在的理解上來說說這種物理直覺到底是怎麼培養的。但因為我自己也才是大四，做科研的經歷有限，所以偏頗之處還期待各位更專業的學長學姐指正。
（1）直覺這種東西說的太玄，好像某種天賦一樣。但我覺得要問出好的問題首先一定要有很紮實的專業基本功：你要對你從事的方向，以及你實驗設計的每個細節背後的物理都十分熟知。只有如此，你才知道你的實驗數據到底能告訴你什麼，你才對每個「不牢靠的假設」都了如指掌，你才能構建一個更可靠地物理圖像。
（2）你要有問問題的意識。我碰到的幾個帶我的教授腦子裡都會有幾個他們想要搞清楚的big question. 比如我一個教授就想知道"how is information stored in physical system?" 然後我做的項目是研究某種特定的memory phenomenon,那個教授腦子裡也總會問"is the memory locally stored or not?" 這些問題在具體的實驗中可能並不會直接顯現出來，但是他們在實驗每次面臨分叉路口時會具有指導性的意義。所以我覺得那些很據創新性的發現絕對不是天才性地不可解釋的直覺產生的，而是要很conscious 自己要回答的那些大大小小的問題，並且保持提出新問題的敏銳性。
（3）說這種東西是「物理直覺」，那也證明這肯定不是什麼通過系統的學習就能簡單學會的東西。我的一個物理教授說Ph.D.的學習訓練是一種學徒制（apprenticeship），我覺得是很有道理的。你需要在五年的日復一日的和更有經驗的科學工作者（也就是你的老闆。。）的手把手教學中學到那種更精細的對物理和對科研的「感覺」。這種old fashion的學徒制所帶來的效果絕不是標準化的、批量化的、快速地教育所能帶來的。
最後，回到題主的問題「[這種物理直覺]是否是數學家很難擁有的？」。我個人認為要是做到上面說的第一條相對不是很難，但也至少應該具有相關領域Ph.D.水平的知識積累。然而要做到後面兩點的話恐怕不易，要習得這兩點需要太長時間在物理科研中的浸潤。但同樣，我非常同意現在排名第一的匿名用戶的說法「其實，這世上也有個叫做『數學直覺』的東西，不是物理才有直覺的。」 我也覺得我上面列出的訓練直覺的三條對很多學科也都適用。
至於題主問的「[物理直覺]對數學研究有什麼用」，很遺憾我因為不是數學專業也沒做過數學研究，所以無法回答。物理學的特性其實決定了其所研究的數學量具備的物理意義。所具備物理意義就必須和我們熟悉的模型聯繫起來：比如，能量守恆，空間對稱性決定的動量守恆，空間周期性決定的動量離散化，布里淵區摺疊。電磁學當中的l-c類比，吸收實過程、虛過程，偶極子等效，互補原則，位移電流，共振引起的lorentian峰，駐波引起的共振，天線，鏡像效果，傳輸線，阻抗定理，阻抗匹配，散射，角譜展開，實空間的傅立葉變換（abel）。經典力學中的參數放大，協振模型。熱力學中的熵。量子力學中的測不準，自旋，自發輻射，purcell效應。固體物理中的等效粒子，角動量守恆，場論中的產生和湮滅，自發對稱破缺（對應一個無質量的粒子）。等等等等（再更高級的物理我舉不出來了。。）
能夠利用一個或多個已知模型中的結論、性質給出一個複雜實驗中的定性解釋和關於機制的猜想，就是「物理直覺」。許多複雜的物理公式，推倒，所得到的簡單結論，都能夠從物理直覺中，聯繫人類已知的物理性質，給出定性的解釋。這時候物理直覺的力量就體現出來了。
寫一點不成器的想法（1）這學期在學PDE，PDE中有意思的方程，除了幾何中的極小曲面那幾個外，基本都是從物理中來的，在講橢圓方程的時候，我們老師說到了對於方程的解的先驗估計，其中有一項叫「能量估計」，我想光看名字你就能猜到這東西從哪兒來的，隨便一個初中生都知道，動能和速度的平方相關，所以假如給一個方程
lz的整個問題我不知道該怎麼回答，不過我可以說說我理解的丘先生所說的物理直覺大概長什麼樣子
丘先生寫過一本科普書叫做《大宇之形》(The Shape of Inner Space)，裡面有一章講到了鏡對稱(mirror symmetry)，這是一個物理概念（弦論裡面的概念），一開始沒有嚴謹的數學表述，但通過這個東西，數學家發現所謂的Calabi-Yau流形（這是個數學概念）是成對出現的；後來數學家們為鏡對稱找到了數學表述，有兩種，一種叫做SYZ mirror symmetry, 一種叫做同調鏡對稱，這兩種表述都是數學的，不需要藉助弦論的語言
也就是說，物理學家發現了一些模糊的、但是有物理意義的東西，數學家看不懂物理，但數學家發現這些物理現象能夠產生新的數學（不論是新的定理還是新的數學思想），發現這些不嚴格的玩意還是挺有用的，就是說，通過物理直覺，人們能夠觀察到新的數學
個人學識有限，要看原始的表述還是看看《大宇之形》這本書吧，寫得確實很不錯，通俗但也不失嚴謹專業我來答一下吧，上面有些人乾脆是答偏了，這裡問的是「物理直覺」對數學研究有什麼意義，有些人整篇都在談純物理。
回答兩部分，第一個部分給大家講小學生課程，第二部分講理論。不喜歡小學生，就直接到第二部分去吧。。。
一，我們就拿個「小學生」題目來談「物理直覺對於數學證明有什麼幫助」，我們再來過渡到「物理直覺對於數學研究有什麼幫助」我覺得是可行的。其實很簡單，我們拿一個很簡單的幾何題目來說明。（註解【1】，例子引用自Matrix67）命題1：任意給定一個凸多邊形和它內部的一個點，證明把這個點投影到該凸多邊形的每條邊所在直線上，至少會有一個投影點恰好落在邊里。換句話說，過凸多邊形內一點向每條邊的所在直線作垂線，則總會有一個垂足恰好就在對應的邊上
這個題本身是個很簡單的證明，但是要證明起來很煩，因為限制條件非常少。
那麼我們用「小學生物理」的方式來看這道「小學生數學」，這麼看，先模擬以下過程：- 把凸多邊形看作一個由密度不均勻物體，體現基本物質性質。
- 假設：定點恰好就是物體的重心。
- 設定情景：物體放置在有一定高度的平面上。
- 如果：重心在底邊上的投影不在邊內，那麼重力和支持力就不在同一直線上，此物體不會處於平衡狀態，必然會往一側翻滾
- 物體不可能在沒有任何施加外力的情況下無止盡地做翻滾運動。因此最後處於靜止態的時候，重心與所在原平面的投影就在底邊里。
那麼以上物理現象的模擬了「重心不斷下降、重力勢能不斷轉化為動能。當重心下降到極限時候，物體靜止」
但說明了什麼了？他給我們了一個「研究對象」——「底邊」。
那麼整個數學問題轉換成了：定點最近邊滿足投影點在邊上。
假設：紅色虛線設為定點到任意邊的垂線段中最短，垂足在邊外。
則由於灰色直角三角形中斜邊大於直角邊，藍色垂線段更短，由反證法得出矛盾。原命題得證。
當然，這只是個小學生問題，還遠沒有把「物理直覺」的效果發揮出來，我們把它一般化到三維空間去。命題2：對於給定凸多面體和它內部的一點，總能找到其中一個面使得，給定點在這個面上的投影恰好就落在這個面上。
我們再用「投影點」的物理性質來考量：
定凸邊形及內部定點O，若某邊e上一點P滿足OP垂直於e，即平衡點。凸多邊形至少有一個。
假設定點O點是密度均勻凸多邊形的重心，可以存在兩個平衡點，（因為某面等腰梯形）那麼問題就轉換成了：一個密度均勻的凸多邊形最少也有兩個平衡點。
要證明很簡單，首先需要一個引理A：重心重合且面積相同的兩個凸多邊形至少有4個交點。
證明：兩個凸圖形的交點個數只可能是偶數個。假設兩個凸多邊形X和Y只有兩個交點，公共部份記作Z。令X"，Y『分別為各剩餘面積。Sx=Sy；Sx』=Sy"，設面積比為1:r。那麼X的重心就應該在Z的重心與X"的重心的連線上的1:r處，Y同理。但X,Y重心重合，由此推出X"和Y"的重心也應該是重合的。
因為X"和Y"位於一條直線的兩側，發生矛盾。然後我們繼續證明命題2：
以O為圓心，r半徑，使圓的面積與凸多邊形的面積相同。則圓與凸多邊形有至少4個交點。那麼，在圓內至少會產生兩組折線段。每一組折線段上的點到O點的距離都會存在一個極小值，極小點則是穩定平衡點和不穩定平衡點的集合。這就是典型物理直覺在小學生題目裡面的
二，理論上來說。
說到底物理的直覺是一種非理性的「判斷，而不是一種物理方法。。。上面很多人把」物理方法「給引進來論述，我覺得根本是搞偏了，」物理直覺「更多的來自於兩個東西，那就是」物理現象「和」物理感覺「，
1，其作用在上面那個例子也說明了，就是把」形式現象「給」具象化「，在具象化的思維裡面，通過實際歸納」經驗「來佐證判斷。2，物理直覺」這個方法，用哲學方法論的觀點來看，其大前提就在於「物理現象在數理邏輯內是完備的」，「物理經驗和現象的集合在認識之下是完備的」，但是這兩個前提都是值得商榷的。簡而言之，就是一種經驗主義的「判斷」，這個判斷依據的是「歸納事實」，繞開了「推理」，通過「演繹和模擬」的方法，尋求一些矛盾或者啟發。
而這種「物理直覺」其實更具體地體現在物理本身裡面：
比如Landau和Feynman的例子，說的是Landau在有關相變的研究中以極強的物理直覺「洞察」到有關規律的存在並表達出來，而Feynman就可以將其嚴格推導。這個例子實際上很多《力學》基礎課上都有提到。如果具象化給這種直覺下個定義的話，就是」脫離描述語言本身對現象的直接把握「。而所謂的」描述語言「就是」數學「，數學對物理的指導意義卻是有，但是最大的作用就是作為一門」語言「存在。。比如：Bethe給出的重整化Lamb shift計算，Anderson對Kondo問題的Poorman"s scaling都是在QED和重整化群理論尚未建立時完成時。這就是一種」物理圖景「。1，而物理圖景的意義就是在實證分析尚未跟上，能夠只指到問題實質的一種分析能力，而這種能力的培養方式就在於，平日中大量有趣的物理現象分析，物理實驗數據，以及數據圖像的一種經驗化積累。2，而這個東西就是一種「用問題去類比問題」的解決方法。對於問題的提出和問題的歸納是其實質。3，這種方式不能量化，具有顯性，沒有系統性，但具有集中性。而這種圖景被經驗化以後轉換到數學來，也就是用現象反饋做一個參考靈感。就實際作用來看，和我們拿計算機演算法模擬一些東西，尋求突破沒有什麼不同。」物理圖景「對於數學的首要意義就在於「模擬」
比如我們把上面那個例子給擴展一下：命題3：三維空間裡面存在一個只有「單個平衡點」（可能穩定，可能非穩定）的多面體。。我們用這種思路來模擬一下就是：在三維空間中，存在只有一個平衡點的密度均勻的凸圖形。想像一個兩頭都被斜著削了一刀的圓柱體，把它放在桌面上，它顯然只有一個（穩定的）平衡位置。如果用面數足夠多的凸多面體去逼近這個圖形，我們就可以得到一個只有一個平衡點的多面體。然後，通過這種方式，我們可以得出一個」沒有嚴密體系邏輯和自洽「的」猜想」或「假設」，這隻能作為「啟發」和「佐證」，但是做不了「結論」，「直覺」在數學體系下是沒有「結論」的。。。
邱道長提到這個問題的原因在於：
1，他說的是一種角度，並非讓我們「把物理直覺」作為一種「方法」引進來，而是現代數學在好幾個大方向，都沒有大命題出現，而且突破非常緩慢，其重要原因在於「沒有啟發」。科研這個東西，最重要的除了「理解問題」和「解決問題」，更重要的是「提出問題」。而且「提出問題」，實際上有時候是解決問題的一種方式，而丘道長把這個寄托在了「物理直覺」上。2，而「物理直覺」就如同上面那個例子一樣，「在龐大，複雜，沒有限制的命題當中，給你一個確定的角度。」簡而言之，就是一個精準度的問題，形式化國語龐大，那麼就具象化，這樣便於理解和轉換。
這些就是邱道長開始宣揚這個事情的緣由。
[1]例子和圖轉自Matrix67的博客，記不到鏈接了，特此說明
簡單地講，如果你用一個方程描述一個物理現象。
那麼由於這個物理現象是真實的，你的方程的解必然是存在唯一的。
諸如此類。
不過，有時數學的推演與物理的直覺並不一致，必要的時候要修正。
比如，早期有光的粒子說與波動說之爭，後來有人計算說按照波動說圓盤背面會出現亮斑，違反直覺，所以認為波動說是錯的。
但是，有人一做實驗，發現確實如此，結果反而成了波動說的證據。
綜上，直覺是有用的，但可能是錯的。這個問題太深奧了，超出了我的知識範疇。
我勉強做個類比吧我有個學法學的哥們，他是個律師，他曾經給我這樣說：
很多人認為學法律就是背和記，實際上不是，法律是講原則和邏輯的。但是他還說，很多大學的老教授研究了很多年法理卻講不清楚法律，根本原因在於，法律本質上是為了規範社會生活中人與人之間的關係而存在的，他們講不清楚法律是因為他們在學術中沉浸的太深而離生活太遠。外行人一個很不靠譜的類比，見笑了。費曼說，物理直覺就是你在解方程之前就能猜到解的性質
我不同意「數學能力是演繹和推理，物理直覺是歸納和類比。」
「直覺」是不經過理性推理得出結論的能力。這個能力一般來自對領域的熟悉程度，來自經驗。
如匿名用戶所說，數學也有「直覺」。不止數學和物理，對於科學研究，直覺經常成為第一步。數學也要歸納和類比。事實上，我認為數學抽象是最高層次的歸納和類比。並非一定要有圖，一定沒有公式，才能叫「歸納類比」。我再引一次 BanachA mathematician is a person who can find analogies between theorems;
習數學者見類比於定理之間。a better mathematician is one who can see analogies between proofs 小成者見類比於證明之間。and the best mathematician can notice analogies between theories. 大成者見類比於理論之間。One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.可想而知，得道高人見類比於類比之間。
如果在最前面加上「習物理者見類比於圖像之間」，哪個願意承認？
好了，不拉仇恨了。
我認為物理直覺，來自物理學家在自己領域裡的豐富研究經驗，這包括物理圖像和數學推導經驗。遇到與物理相關的領域（比如微分幾何），他們就可以憑藉這些經驗，繞過推理，得出一些結論。但這個能力在學術研究中普遍存在，並非物理學獨有。且物理直覺與數學直覺有重合，並非對立。而由於學科性質的不同，數學直覺有一個鮮明的特點：它叫「猜想」，不叫「理論」。
數學家的直覺不會在正式場合以「理論」的形式提出。如果不成熟，那多數情況下只會私下交流。思考之後沒有結果的，就以「猜想」或「問題」的形式提出。就算感覺上非常顯然，只要沒有經過理性推理的東西，數學家永遠不會下結論。但不能因為數學文獻里沒有體現歸納和類比，就認為數學只有演繹和推理。對於第二個問題：我認為任何直覺，不論是來自數學物理生物，還是來自日常生活，都可以在數學研究中起作用。這作用通常是一項研究的動機，一個證明的「靈感」。但是最後成型的數學結果中，不會體現。老丘感興趣的那部分的數學（微分幾何什麼的）是和物理密切相關的，一個硬幣的兩面？物理學家看一面，數學家看一面，恰好互補。他之所以推崇物理直覺，是因為他自己缺少這種能力。
我打個不恰當的比方：……（已刪除）。幾乎所有的比方都是不恰當的，尤其是科學和非科學之間的比方。
==============================================================感覺排名第一的答案跑題了：題主問的是物理直覺對數學研究的影響，他談的是物理研究。其實，這世上也有個叫做「數學直覺」的東西，不是物理才有直覺的。覺得量綱分析就是一種典型的物理直覺。
你問題分為兩部分，什麼是物理直覺，物理直覺對數學研究的作用。
第二個問，Yuhang Liu的回答是個很好地例子。acel rovsion的答案中也有一個好例子（但acel rovsion後面的回答似乎把物理直覺等同於從物理現象中得到的數學類比，這不完整）。積分最開始是沒有嚴格數學定義的，通過面積來類比的，這相當於一個物理上的直覺吧。
第一個問題，除了上面兩個答案的例子（acel rovsion所說的基於物理現象而得到的直覺）。還有一類是基於哲學而得到的直覺並將其應用於物理。例如，物理學最基本的一些假設，時間對稱等。又比如，超距作用，即一個粒子的狀態變化不會瞬間影響到另一個粒子。再比如conter definiteness （cf 維基百科）。（EPR實驗指出後兩個直覺之間有矛盾）這些都是從日常的常理出發的直覺。更複雜的物理直覺我就不清楚是什麼樣子了。
我懂的物理有限。但概率直覺可以舉個例子。比如某個積分，其性質人們開始不明朗，但把它歸結為某個事件的概率之後，它的很多性質就清楚了。
總之直覺就是基於常見現象、常見道理通過類比或直接用於相關的學科就是相關學科的直覺。
發現你這個問題不管怎麼回答，總是有點偏離自己原本的意思……補充一點。
很多數學問題和物理是有關係的。但是很多問題和物理是沒有關係。或者說，很大一部分數學和物理沒有關係。
還有很多數學和物理的兒子，孫子們，比如資訊理論，計算科學，生物學，有關係。但是你總不能生拉硬扯說這和物理有關係。只能說丘成桐關心的那一部分數學和物理關係很密切。
物理學和數學分工不同，既有聯繫，也有區別。誰也不比誰高一頭。 不過有些個物理學家覺得離開了物理數學就什麼都不是，這種想法很二很不好，請回家反省。開研討會的時候看到演講人被大牛問的一愣一愣的，而且大牛都問在了點子上，覺得自己花了很大功夫，大牛似乎沒怎麼在這個問題上花功夫怎麼就那麼厲害呢？於是，覺得這是大牛的物理直覺很好。其實，我個人是這樣理解的。大牛在演講會上老是能打到演講者的痛點，其實是因為大牛很可能早就從各個方面思考過演講者所研究的問題，但是由於沒有得出值得發表的結論（大牛當然對自己的發表也有比較高的要求），所以沒有在這個問題上發聲，但是演講者所說的那個方面很可能就是大牛撞過牆的地方，所以他能迅速打到痛點。所謂直覺，其實真的是無數經驗與汗水的結晶而已。
搞物理有兩樣能力總是經常被人津津樂道：數學能力和物理直覺。
數學能力是演繹和推理，例如拉格朗日之於理論力學：我的整本力學書不需要畫一張圖！
物理直覺是歸納和類比，例如費曼之於量子場論：沒圖你說個XX！ （拉格朗日在牛頓力學的基礎上成功建立分析力學，將本來很是需要一定技巧和直覺的受力分析變成了模式化的代數運算。而費曼同學為量子場論貢獻了費曼圖，將本來鬼都不知道是什麼意思的代數運算賦予了清晰的物理意義）如果把搞物理比作爬山，數學能力是身體素質，是體力值，是血槽。決定你爬山的時候是否輕鬆是否迅速，是否別人爬萎了的時候你依然堅挺。物理直覺是大局觀，是方向感，是視野。決定你是否有能力在雜草叢生的山脊上找到不明顯的路，或者在明顯的路上找到意想不到的近路。
（順手回答：為什麼數學家很少擁有物理直覺？因為數學家很愛乾淨，他們走過的路要纖塵不染）相比之下，數學能力更實在些，但完全沒有物理直覺肯定不行。
又好比是習武，打不打得贏主要還是看塊頭大不大，但是如果完全沒有技巧，你就是個掄大鎚的。直覺就是想像力。為啥聽大師講課就是不一樣？就是因為大師能幫助你培養想像力，通過演算，從而從邏輯上知道答案是這樣，和建立關於事實的想像層次完全不同。任何一個物理學的學生，都能通過maxwell方程，來從邏輯上得出光速不變的結論。但是，真正建立時空相對的想像，卻每一次都需要反省，因為它和日常經驗不符。而想像力建立以後，你可以在想像的平台上有所發展和創新，而如果你只是推導出的正確答案，那麼你必然也就只能陳述結論，而無法任何創新了。