怎麼證明「命題與其逆否命題的真偽是相同的」？

01-24

數理邏輯我也忘得差不多了，依稀記得世界上有種東西叫真值表，可以用它說事情嘛。

命題不妨叫「若A則B」，形式表示就是 A→B。這個命題的逆否命題叫做「若非B則非A」，形式表示就是?B→?A，然後你就去查真值表的計算吧，一共也就四種情況：

A B A→B ?B ?A ?B→?A

T T T F F T

T F F T F F

F T T F T T

F F T T T T

看明白這個「若A則B」和「若非B則非A」兩者在真值表計算裡面完全一樣的吧，真偽相同這不就證明出來了。

只要承認這個真值表，那就是個自然計算出來的結果。

$mathrm{Proof}: (p ightarrow q) vdash ( eg q ightarrow eg p).$

$egin{array}{l l l r} extcircled{1} p ightarrow q, p, eg q vdash p, (in) \ extcircled{2} p ightarrow q, p, eg q vdash p ightarrow q (in) \ extcircled{3} p ightarrow q, p, eg q vdash q, ( ightarrow-) extcircled{1} extcircled{2} \ extcircled{4} p ightarrow q, p, eg q vdash eg q, (in) \ extcircled{5} p ightarrow q, eg q vdash eg p, ( eg ;+) extcircled{3} extcircled{4} \ extcircled{6} p ightarrow q vdash eg q ightarrow eg p ( ightarrow+) extcircled{5} end{array}$

好吧我就是無聊了……

誰能教一下我TeX怎麼對齊= =我想把公式全部左對齊，推理規則全部右對齊。

constructive logic只能保證P→Q 推出 ?P→?Q，即 $(P o Q) o ( eg Q o eg P)$

Lemma contrapositive: forall (P Q:Prop), (P-&>Q)-&>(~Q-&>~P). Proof. intros P Q H. unfold not. intro H1. intro H2. apply H1. apply H. assumption. Qed.

反過來只能證明 $( eg Q o eg P) o (P o eg eg Q)$

第一次被邀請，小激動一下…

設原命題為：若A成立，則B成立…那麼它的逆否命題為若非B成立，則非A成立。

不妨假設原命題成立。

反證之：即非B成立時有非A不成立，即A成立；再由原命題，則B成立，於非B成立矛盾！

故得證！

同理於原命題不成立時的情況。

PS：那會兒用手機回答的~比較亂，見諒~

最重要的一點，數學上的若p則q不等於生活中的若p則q.

數學上的若p則q,可以理解為p不成立或q成立，即 $eg p vee q$ 。

其逆否就是 $eg eg q vee eg p$ .

理解這一點，對照一下真值表就明了了。

需要有排中律才能證明。

就是說(p or (not p))。

不然是證明不了的。

因為可能存在既不為真也不為假的命題。

如果X=a、Y≠ a,則X≠ Y

那麼逆否命題是什麼

我倒覺得「命題與其逆否命題的真偽是相同的」這個未必就是一條真理。理由是我遇上的一道題目。

題目是這樣的：

命題甲：x+y&<&>3(找不到不等號，代替一下……)，命題乙：x&<&>1或y&<&>2，則命題甲是命題乙的——條件

按照定理逆否命題是充非必，但我們仔細考慮一下，原命題的關係是無法說明有充分關係的。

這就糾結了。我思考了良久，覺得可能是因為數學和邏輯學看世界的角度不同吧……（這算哪門子結論啊喂！）

類似的問題我可以舉一個語文的例子。比如把「狡猾的小偷很快就被警察抓住了。」這樣的被字句，如果縮句就會變成「警察抓。」（主謂句），但這明顯是邏輯不通的……