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斯特林公式證明問題？

01-24

因此 $sqrt[n]{n!}simfrac{n}{e}quad (n oinfty)$
請問為什麼不能將圖中紅色式子同時擴大 $n$ 次冪得
$sqrt[n]{n!}=frac{n}{e}implies n!=left(frac{n}{e} ight)^nquad (n oinfty)$
雖然知道

與斯特林的公式有出入但我想問的是少了個 $sqrt{2pi n}$ 。在問了數學老師後，給的回答是一個有極限的式子在擴大n次冪後就不一定會相等。請問是否正確，還有其它這樣的例子嗎？本來高二數學狂熱者，偶然之中，有幸窺視高數，略懂皮毛，希望前輩指教謝！

可以由 $ln(x)$ 的圖像我們可以估計一個upper estimate和lower estimate

$sum_{t=1}^{n-1}ln(t)<int_1^n ln(t) dt<sum_{t=1}^{n}ln(t)$

也就是 $ln((n-1)!)<nln n - n +1<ln(n!)$

所以 $e^{nln n -n + 1}<n!<ne^{nln n -n + 1}$

就有 $eleft(frac{n}{e} ight)^n<n!<neleft(frac{n}{e} ight)^n$

至於那個 $sqrt{2npi}$ 是怎麼來的我就不知道了

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Update，在proofs from the books上搜到了證明。

一、實證分析

用R語言編寫程序如下：

StirlingFun&<-function(n){factorial(n)/(sqrt(2*pi*n)*(n/exp(1))^n)}

n越大，結果越接近於1，ok！

不過n超過170會報錯，value out of range in "gammafn"。

二、證明斯特林公式前需要先證明Wallis公式

Wallis公式證明如下：

三、終於要開始證明斯特林公式了

公式如下:

四、總結

繞著這麼大的圈子，終於用上了Wallis公式，並且證明過程主要用lnx的積分和內接外切面積差比較，做了幾天終於自己親自完成了一遍。

謝邀

到這一步 $sqrt[n]{n!}sim frac{n}{e} (n oinfty)$ （這裡 $Xsim Y$ 表示 $limfrac{X}{Y}=1$ ）是沒有問題的，但是不能同時 $n$ 次冪，因為寫出準確的表達式就是

$sqrt[n]{n!}=frac{n}{e}(1+o_{n oinfty}(1))$

這裡 $o_{n oinfty}(1)$ 表示一個當 $n$ 趨於無窮而趨於 $0$ 的量（即 $lim_{n oinfty}o_{n oinfty}(1)=0$ ）。

$n!=left(frac{n}{e} ight)^n(1+o_{n oinfty}(1))^{n}$

但是你完全不能說 $lim_{n oinfty}(1+o_{n oinfty}(1))^{n}=1$ ，比如 $o_{n oinfty}(1)=frac{1}{n}$ ，那麼 $lim_{n oinfty}(1+o_{n oinfty}(1))^n=lim_{n oinfty}left(1+frac{1}{n} ight)^n=e$

事實上在這裡 $(1+o_{n oinfty}(1))^nsim sqrt{2pi n}$

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