概形是什麼？

01-26

代數簇是什麼
仿射概形是什麼
仿射代數簇 VS 仿射概形
概形是什麼
概形上信息量爆炸的點：Associated points
Serre GAGA

一：代數簇是什麼

我們從代數簇這個概念出發吧！代數簇就是一些多項式的公共零點集：

$f_{1}(x_{1},cdots,x_{n})=0,cdots, f_{r}(x_{1},cdots,x_{n})=0$ ， $f_{1},cdots,f_{r}in mathbb{R}[x_{1},cdots,x_{n}]$

例如 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ 就是一個圓周（如下圖），當然這裡的域 $mathbb{R}$ 可以換成任意的域 $k$ 。

我們還是考慮複數域 $mathbb{C}$ 上的代數簇吧：

一個仿射復代數簇是一些復係數多項式 ${f_{i}(x_{1},cdots,x_{n})}_{iin I}$ 的公共零點集，記為 $mathbb{V}({f_{i}})_{iin I}subset mathbb{C}^{n}$ 。

最簡單的栗子當然是 $mathbb{V}(0)=mathbb{C}^{n}$ ，再來一些栗子，有圖有真相：

如果大家學過範疇論的話，那麼就知道下一步我們應該談談什麼是代數簇之間的態射了。我們猜一下，就知道大概是「多項式映射」了，最簡單的栗子應該是：

$mathbb{C}^{n} o mathbb{C}^{m},qquad xmapsto (F_{1}(x),F_{2}(x),cdots,F_{n}(x))$ ，這裡 $F_{j}(x)in mathbb{C}[x_{1},cdots,x_{n}]$ 是一些多項式

一般地，設 $Xsubset mathbb{C}^{n},Ysubset mathbb{C}^{m}$ 是兩個復仿射代數簇，稱 $F:X o Y$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一個態射是指存在上述多項式映射 $f:mathbb{C}^{n} o mathbb{C}^{m}$ ，使得它在子集 $X$ 的限制 $f|_{X}:X o Y$ 恰為 $F$ 。

舉個栗子，設 $C=V(y-x^{2})$ 是一條拋物線，考慮映射：

$mathbb{C} o C=V(y-x^{2}) ,qquad,tmapsto (t,t^{2})$

下一個重要的概念就是坐標（函數）環了，坐標環就是代數簇上的全體「多項式函數」。我們可以猜一下 $mathbb{C}^{n}$ 的坐標環是啥，沒錯，它就是 $mathbb{C}[x_{1},cdots,x_{n}]$ 。一般地，設 $Xsubset mathbb{C}^{n}$ 是復仿射代數簇，每個多項式 $fin mathbb{C}[x_{1},cdots,x_{n}]$ 限制在 $X$ 上都誘導了一個函數 $X o mathbb{C},~xmapsto f(x)$ . 這種誘導出來的函數全體 $Hom(X,mathbb{C})$ 就是坐標環。

我們現在用代數的語言來敘述就是：

首先注意到集合 $Hom(X,mathbb{C})$ 有一個自然的 $mathbb{C}$ -代數結構，我們有一個 $mathbb{C}$ -代數之間的滿射：
$mathbb{C}[x_{1},cdots,x_{n}] woheadrightarrow Hom(X,mathbb{C})$ ，記這個核為 $I(X)$ ，則我們定義 $X$ 的坐標（函數）環為 $Gamma(X):=Hom(X,mathbb{C})simeqmathbb{C}[x_{1},cdots,x_{n}]/I(X).$

更近一步，設 $f:X o Y$ 是兩個仿射代數簇的態射，則映射

$Gamma(f):Hom(Y,mathbb{C}) o Hom(X,mathbb{C}),qquad gmapsto gcirc f$

誘導了一個 $mathbb{C}$ -代數態射。

以上的操作可以用範疇論的語言改寫為：

$Gamma:$ （仿射代數簇） $o$ （有限生成，既約 $mathbb{C}$ -代數）

可以證明，這是一個範疇等價。（可參見UIrich Prop 1.33）範疇等價大概就是說這兩個範疇世界是一樣的，這裡，我們建立了一座橋樑，把代數簇的世界和代數的世界連接起來啦。

二：仿射概形是什麼

用一句話來說，仿射概形就是 $(Spec A,mathcal{O})$ ，這裡 $A$ 是一個交換環， $mathcal{O}$ 是結構層。

當然這不是人話，當我第一次在Atiyah寫的《交換代數導引》的課後習題看到「環的素譜 $SpecA$ 」這個概念的時候，我的內心也是拒絕的

為了清晰表達上面這句話，我們需要一些準備

熟悉層論的語言，賦環空間的概念。
最好熟悉範疇論，用範疇論的觀點思考。

儘管如此，我在這裡還是大概說一下。為了說清楚 $(Spec A,mathcal{O})$ 是什麼玩意，我們需要做三件事：

它作為集合是什麼？也就是它的一個元素是什麼？
它作為拓撲空間是什麼？也就是它的一個開子集（或者閉子集）是什麼？
它的結構層是什麼？

我們先說第一件事：設 $A$ 是一個交換環（當然含單位元），則 $SpecA$ 作為集合，它的元素是環 $A$ 的素理想，所以它叫素譜。舉個栗子，取 $A=mathbb{C}[x]$ ,則 $Specmathbb{C}[x]={[x-a]~|~ain mathbb{C}}$ ,如下圖

幾何上，它差不多就是一條復直線 $mathbb{A}_{mathbb{C}}^{1}$ ,但是它有一個很奇怪的點 $[(0)]$ ,它「無處不在」，稱之為一般點。

我們應該這樣看待 $SpecA$ ：把 $SpecA$ 看成一個代數簇， $A$ 中元素看成 $SpecA$ 上的函數，一個函數 $fin A$ 在一個點 $mathfrak{p}in SpecA$ 處取值是指 $f$ 在環同態 $A o A_{mathfrak{p}} o A_{mathfrak{p}}/mathfrak{p}A_{mathfrak{p}}=kappa(mathfrak{p})$ 的像。

就對上面的栗子 $A=mathbb{C}[x]$ 來說， $Specmathbb{C}[x]={[x-a]~|~ain mathbb{C}}$ 差不多就是一條復直線 $mathbb{A}_{mathbb{C}}^{1}$ ， $A=mathbb{C}[x]$ 中元素就是一元復係數多項式，它是復直線 $mathbb{A}_{mathbb{C}}^{1}$ 上的函數，例如取 $f=x^{2}-3x+1$ ,它在點 $[(x-1)]$ 處的值就是 $f(1)$ ! 這是因為

我們有短正合列

$0 o [(x-a)] o mathbb{C}[x] o mathbb{C} o 0$ ，第三個箭頭是 $fmapsto f(a)$ .

從而

$mathbb{C}[x] o mathbb{C}[x]/[(x-1)]simeq mathbb{C}，~fmapsto f(1)$

上面看到（仿射）概述第一個奇特之處：它有一個叫一般點的點，你沒有辦法把它畫出來，它幾何無處不在。

我們再說說（仿射）概形的第二個奇特之處（冪零元）：（仿射）概形上的函數在每一個點的取值為 $0$ ，不能推知這個函數為 $0$ ，這是因為一個函數 $fin A$ 在每個點的取值為0，也就是它屬於 $A$ 的所有素理想，也就是 $f$ 屬於小根（冪零元根），也就是 $f$ 是一個冪零元。但是一般的環 $A$ 不像 $mathbb{C}[x]$ 那麼好，沒有冪零元，「大多數」的環都是有冪零元的，例如在環 $mathbb{C}[x]/(x^{2})$ 中， $x$ 就是一個冪零元（ $x^{2}=0$ ）。這可以從圖像上表達這件事：

再來一個例子（可參見Vakil 4.2節）

接下來我們來談談第二件事： $SpecA$ 上的Zariski拓撲，為此，我們只需要定義閉集是什麼，再去驗證你下的這個定義真的滿足閉集公理就可以了。那麼，閉集是什麼？如果你還是按上面那個栗子 $A=mathbb{C}[x]$ 來理解的話，那麼 $Specmathbb{C}[x]={[x-a]~|~ain mathbb{C}}$ 就是一條復直線 $mathbb{A}_{mathbb{C}}^{1}$ ，它的閉集應該是一些「函數」的公共零點集，也就是代數簇。現在我們來定義Zariski閉集，設 $Ssubset A$ （看成一族函數 ${f_{i}}_{iin I}$ ），定義 $S$ 的「公共零點集」為：

$V(S)={mathfrak{p}in SpecA~|~f(mathfrak{p})=0,forall fin S}={mathfrak{p}in SpecA~|~fin mathfrak{p},forall fin S}={mathfrak{p}in SpecA~|~Ssubset mathfrak{p}}$

第三件事： $SpecA$ 上結構層，待補充。

三：仿射代數簇 VS 仿射概形

在第一部分中，我們說仿射代數簇範疇和有限生成，既約 $mathbb{C}$ -代數範疇有一個範疇等價，在這裡我們也有一個類似的範疇等價：

函子 $Spec$ :（交換環範疇） $o$ （仿射概形範疇）和 取截面函子 $Gamma$ :（仿射概形範疇） $o$ （交換環範疇） 建立了交換環範疇與仿射概形範疇之間的範疇等價。

更進一步，有如下對應（來自李克正的《代數幾何初步》第一章）

這是一個很牛逼的範疇等價啊！這意味著，我們可以用幾何的觀點來看待代數的問題！這個範疇等價就是橋樑，把代數的世界和幾何的世界聯繫起來了！

最後，結合第一部分結尾的範疇等價，我們可以得到下圖：

換句話說，我們有如下範疇等價：

（不可約仿射代數簇）
（有限生成 $mathbb{C}$ -代數，且為整環）
（finite type over $mathbb{C}$ 的仿射整概形）

在這裡我們看到，如此抽象的仿射概形的世界和很具體的，我們看得見的仿射代數簇的世界是一樣的！（因為我們有上面 $1$ 和 $3$ 的範疇等價！）

一座小橋樑把仿射代數簇的世界和仿射概形的世界連接起來啦！

事實上，範疇 $1$ 和 $3$ 的等價，我們能給出更具體的對應方式：

（finite type over $mathbb{C}$ 的仿射整概形） $o$ （不可約仿射代數簇）

$Xmapsto X(mathbb{C})=$ $X$ 的全體閉點的集合

這只是一座小橋樑，我們後面還會討論更壯觀的大橋樑-Serre GAGA.

四：概形是什麼

做了上述的準備後，我們終於可以說概形是什麼了，維基是這樣說的：

概形en.m.wikipedia.org

用一句話來說就是：

概形是局部同構於 $(Spec A,mathcal{O})$ 的局部賦環空間，這裡 $A$ 是一個交換環， $mathcal{O}$ 是結構層。

這句話可能有點不知所云，直觀上來看：

概形是像流形那樣的幾何空間，只是流形的局部模型是 $mathbb{R}^{n}$ 或 $mathbb{C}^{n}$ ,而概形的局部模型是 $SpecA$ （看成代數簇，即一些多項式的公共零點集）罷了。

我們先用賦環空間的語言來重新敘述什麼是一個流形：

一個光滑實流形是一個局部同構於 $(mathbb{R}^{n},mathcal{O}_{mathbb{R}^{n}})$ 的賦環空間，這裡 $mathcal{O}_{mathbb{R}^{n}}$ 是 $mathbb{R}^{n}$ 上的光滑函數層。

你可以證明這和常見的光滑實流形的定義是一致的，可參見Neeman寫的Algebraic and analytic geometry的第二章。換句話說，概形和流形都是賦環空間，只是它們的局部模型不同而已。對於流形的局部模型 $(mathbb{R}^{n},mathcal{O}_{mathbb{R}^{n}})$ 的研究，就是微積分的內容，這個大家都學過；而對於概形的局部模型（即仿射概形） $(Spec A,mathcal{O})$ 的研究，就是代數簇的研究。

以下我們來談談概形和我們「看得見」的流形最不同的地方，概形的真正「奇特」之處：

我們應該把一個概形 $X$ 看成一個函子 $h_{X}$

這裡 $Hom_{(Sch)}(T,X)$ 稱為概形 $X$ 的 $T$ -值點，通常我們簡記為 $X(T):=h_{X}(T)=Hom_{(Sch)}(T,X)$ ,

米田引理告訴我們一個概形 $X$ 是被函子 $h_{X}$ 唯一決定的，換句話說，一個概形 $X$ 被它的所有 $T$ -值決定，這裡 $T$ 取遍所有概形。

取個經典的栗子，考慮概形 $X=Spec mathbb{Z}[x_{1},cdots,x_{n}]/(f_{1},cdots,f_{r})$ ，則可以證明（下面會證明）概形 $X$ 的 $SpecA$ -值點（ $A$ 是一個交換環）

$X(SpecA)$ 恰好就是方程 $f_{1}(x_{1},cdots,x_{n})=cdots=f_{r}(x_{1},cdots,x_{n})=0$ 在環 $A$ 中的解。

更具體一點，考慮概形 $Spec mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$ ，它的 $Spec mathbb{Q}$ -值就是這個方程的有理解，它的 $Spec mathbb{R}$ 就是實數解，也就是我們一開始那個圓周：

所以概形 $Spec mathbb{Z}[x,y]/(x^{2}+y^{2}-1)$ 是啥？？？它並不是一個圓周，它是很多很多的「圓周」（ $SpecA$ -值點，取遍所有的環 $A$ ）疊起來！！！上面這個圖像只是它「圖像」的一部分！！！

激動完畢，我們補充證明如下更一般的事實：

設 $R$ 是一個交換環， $A$ 是一個 $R$ -代數，考慮概形 $X=Spec R[x_{1},cdots,x_{n}]/(f_{1},cdots,f_{r})$ ，

則 $X(A):=X(SpecA)$ 恰好就是方程 $f_{1}(x_{1},cdots,x_{n})=cdots=f_{r}(x_{1},cdots,x_{n})=0$ 在環 $A$ 中的解。

證明：注意到方程 $f_{1}(x_{1},cdots,x_{n})=cdots=f_{r}(x_{1},cdots,x_{n})=0$ 在環 $A$ 中的解一一對應 $R$ -代數同態 $R[x_{1},cdots,x_{n}]/(f_{1},cdots,f_{r}) o A$ ，從而一一對應於態射 $SpecA o Spec R[x_{1},cdots,x_{n}]/(f_{1},cdots,f_{r})$ 。

我們已經知道一個概形 $X$ 被它的所有 $T$ -值決定，這裡 $T$ 取遍所有概形。那麼，我們考慮一些特別的 $T$ 來「檢測」一下這個概形是什麼玩意吧。

1 設 $k$ 是代數閉域， $X$ 是locally of finite type over $k$ 的概形，則

是一個雙射。也就是說，對於常見的概形 $X$ （locally of finite type over $k$ ）， $X（k）$ 就是它的閉點啦！！！Vakil用的單詞是「traditional points」。

2 設 $k$ 是代數閉域， $X$ 是locally of finite type over $k$ 的概形，則

$X(k[epsilon]/(epsilon^{2}))$ 對應概形 $X$ 的一個閉點以及這個閉點的一個切向量。

五：概形上信息量爆炸的點：Associated points

概形的第三個奇特之處：它有那麼一些很特別的點，叫做associated points，它們幾乎完全決定了這個概形上的函數（結構層）。換句話說，概形上的函數 $f$ 在associated points上的取值決定了這個函數。

首先我們需要知道如下基本事實：

設 $X$ 是一個概形，則概形的點和它的不可約閉集有一個一一對應：

換句話說，概形的每一個不可約閉集包含唯一一個一般點。

為了簡單起見，我們考慮仿射概形 $X=SpecA$ ，並且假設 $A$ 是Noetherian.

The associated points of $X$ are defined to be the generic points of irreducible
components of the supports of some element of $A$ .

這個定義看起來有點費解，說白了就是這樣一個操作：任取一個函數 $fin A$ ，考慮它的支集 $Supp(f)={mathfrak{p}in SpecA~|~f(mathfrak{p}) eq 0}$ （可以證明這是一個Zariski閉集），然後把 $Supp(f)$ 拆成一些不可約分支之並（Noetherian條件保證了這個不可約分支的個數是有限的），由上面的事實，我們再在每個不可約分支（一定是閉集）取出一個一般點，這些點就叫做associated point。當 $f$ 取遍 $A$ 中所有元素時候，我們就得到了所有的associated point。咋看上去，似乎associated points可能有無限個（因為 $A$ 的元素個數可以是無限的），但是可以證明， $A$ 是Noetherian的可以保證associated points只有有限個。

一般來說，Associated points分成兩類：

取 $f=1in A$ ,則 $Supp(1)=SpecA$ ,這個時候我們在上述操作下得到的一般點就是整個概形 $X=SpecA$ 的不可約分支的一般點。
其他的associated points都叫做embedded points.

Ok，終於把定義介紹完了。我們說associated points是信息量爆炸的點是基於下面的事實：

$A o prod_{associated~mathfrak{p}}A_{mathfrak{p}}$ 是單射

關於associated points，還有如下重要事實：

$fin A$ 是一個零因子當且僅當它在某個associated points上取值為 $0$ .
一個既約的（也就是沒有非零冪零元）的概形沒有embedded points.
${mathfrak{p}in SpecA~|~A_{mathfrak{p}}~ ext{nonreduced}}$ =the closure of those associated points that have nonreduced stalk.

註記：

從這裡我們可以看出，之所以associated points如此重要，是因為它涉及了概形的前面兩個奇特之處，也就是一般點和冪零元，而這兩個奇特性正是我們無法從幾何上讀出來的信息。

講了一大堆東東以後，我們還是講一個栗子吧：

考慮概形 $Speck[x,y]/(y^{2},xy)$ ，幾何圖像見下圖

事實上， $Speck[x,y]/(y^{2},xy)$ 可以看成 $Spec k[x,y]/(y^{2})$ 與 $Spec k[x,y]/(xy)$ 的之交，也就是

與 $x,y$ 軸

y軸也是實線（自行腦補填充）

之交。從圖像上很清楚，概形 $Speck[x,y]/(y^{2},xy)$ 的nonreduced的點只有原點。它的associated point只有兩個點，一個是 $x$ -軸的一般點 $[(y)]$ ,一個是nonreduced的點，也就是原點 $[(x,y)]$ 。

再來一個栗子，直接看圖吧，自行感受一下：

或許我們可以從另外一個角度來看待：我們究竟能從associated point讀出關於這個概形的多少信息？換句話說，給你兩個概形 $X$ 和 $Y$ ，並且告訴你它們的associated points是什麼，那麼我們問：

你能大概知道 $X$ 和 $Y$ 長啥樣嗎?
你能區分 $X$ 和 $Y$ 嗎？也就是說， $X$ 和 $Y$ 同構嗎？如果不同構，它們有多大的「相似度」？

關於第一個問題，待補充。

關於第二個問題，我們考慮簡單的情形：設 $X=SpecA$ 是整概形，這意味著它是既約和不可約的，所以它的associated point只有一個點：一般點 $eta$ ，它對應極小素理想，也就是零理想。那麼，這個概形 $X$ 在 $eta$ 處的stalk $mathcal{O}_{X,eta}$ （可理解為概形 $X$ 在 $eta$ 點附近的信息）是一個域，稱之為函數域，記為 $K(X)$ .則有如下事實：

設 $X$ 和 $Y$ 是finite type over some field $k$ 的整概形，如下等價（可參見UIrich Prop 9.35）：

$X$ 和 $Y$ 雙有理等價.
存在稠密開集 $Usubset X$ 和稠密開集 $Vsubset Y$ ,使得 $Usimeq V.$
$K(X)simeq K(Y)$ .（ $k$ -代數同構）

上述事實說，函數域在雙有理等價的意義下區分了不可約代數簇（finite type over some field $k$ 的整概形）。換句話說，整概形 $X$ 在associated points（也就是一般點）附近的信息，決定了它所在的雙有理等價類！

六：Serre GAGA

GAGA是一座美麗壯觀的橋樑

代數幾何與解析幾何en.m.wikipedia.org

待續。。。

參考文獻：

Karen E.Smith, Lauri Kahanpaa, Pekka Kekalainen, William Traves, An Invitation to Algebraic Geometry.
Ravi Vakil, Foundations of Algebraic Geometry.
Uirich Gortz and Torsten Wedhorn, Algebraic Geometry I. VIEWEG TEUBNER.
Bjorn Poonen, Rational points on varieties.
Amnon Neeman, Algebraic and analytic geometry.
劉青，代數幾何和算術曲線.
李克正，代數幾何初步.

最後特別感謝每一個參加代數幾何討論班的同學！是我們一起做完了Vakil半本書的習題，並不是我自己一個人。是因為你們的熱情，努力和堅持，我才有可能堅持把Vakil的書讀下來，才有可能堅持把概形理論這麼抽象的東東啃下來，才有了動力去把每一個疑問搞懂。感謝你們的寬容，讓我不再在學習數學的道路上孤獨。