盪起量子的鞦韆——從參變共振到光子的誕生

01-26

小夥伴們一定都有過盪鞦韆的經歷 : 我們輕輕推動鞦韆之後，爬上鞦韆，然後伴隨著身體和鞦韆的和諧共振，鞦韆可以長久不停歇，甚至越盪越高。

可是，這蘊含著一個什麼道理呢？

實際上，我們身體緩緩的擾動鞦韆，從能量角度上來看，我們的身體做功，將生物能轉換到身體和鞦韆的動能上；而從更加細緻的力學角度，可以等效看作我們是在改變鞦韆的參數，產生所謂的參變共振。

在這篇文章中，我們首先回憶經典的鞦韆如何盪起，在這裡，我們將外界的作用歸結到體系隨參數隨時間的改變，得到參變共振條件。

我們將會發現，在一個經典的不動的「鞦韆」上，是不可能通過參變共振蕩起的。

進一步，我們思考到一個量子「鞦韆」，在真空態(即不動的態)，居然是可以通過參變共振震蕩起來的，這深刻了我們對量子不確定性原理的理解。

再進一步，我們回憶起熟知的動力學卡西米爾效應，最終聯想到光子的起源。

盪起經典的鞦韆

對這個問題的詳盡討論，參考朗道《力學》chapter 27. 參變共振。

對於一個經典一維諧振子,其哈密頓量如下:

$[Hleft( {x,p,omega ,m} ight) = frac{{{p^2}}}{{2m}} + frac{1}{2}m{omega ^2}{x^2}]$

由於參數的任意選擇性，我們可以選擇固定 $m$ 使得 $omega$ 隨時間變換。如此，哈密頓的一個參數是變化的，此乃「參變」的含義。

其對應的數學物理方程:

$[frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}} + {omega ^2}left( t ight)x = 0]$

我們不妨考慮參變頻率具有如下形式:

$[egin{gathered} {omega ^2}left( t ight) = omega _0^2left( {1 + hcos gamma t} ight) hfill \ gamma = 2{omega _0} + varepsilon hfill \ end{gathered} ]$

進而

得到運動方程:

$[ddot x + omega _0^2left[ {1 + hcos left( {2{omega _0} + varepsilon } ight)t} ight]x = 0]$

我們尋找如下形式的解:

$[x = aleft( t ight)cos left( {{omega _0} + frac{varepsilon }{2}} ight)t + bleft( t ight)sin left( {{omega _0} + frac{varepsilon }{2}} ight)t]$

其中 $a(t)$ 和 $b(t)$ 是時間的慢變項，我們忽略了所有的快變高頻項。

在近共振情況下，我們期待 $[dot b sim varepsilon b,dot a sim varepsilon a]$

綜合以上條件並繼續忽略快變項和高階項:

$[left( {2dot a + varepsilon b + frac{{h{omega _0}}}{2}b} ight){omega _0}sin left( {{omega _0} + frac{varepsilon }{2}} ight)t + left( {2dot b - avarepsilon + frac{{h{omega _0}}}{2}a} ight){omega _0}cos left( {{omega _0} + frac{varepsilon }{2}} ight)t = 0]$

由於要起振，我們考慮正比於 $e^{st}$ 的解的形式:

$[egin{gathered} sa + frac{1}{2}left( {varepsilon + frac{{h{omega _0}}}{2}} ight)b = 0 hfill \ frac{1}{2}left( {varepsilon - frac{{h{omega _0}}}{2}} ight)a - sb = 0 hfill \ end{gathered} ]$

這方程的行列式給出有解條件:

$[{s^2} = frac{1}{4}left[ {{{left( {frac{{h{omega _0}}}{2}} ight)}^2} - {varepsilon ^2}} ight]]$

所以共振條件是 $2omega_0$ 周圍的區域

$[ - frac{{h{omega _0}}}{2} < varepsilon < frac{{h{omega _0}}}{2}]$

同時體系必須要求初始有一個初始的擾動，震動就會產生。如果初始沒有能量注入，方程是恆為0解的。

盪起量子的鞦韆

下面我們看到這個問題的量子版本。

我們考慮哈密頓量 $[H = frac{{{p^2}}}{{2m}} + frac{1}{2}m{omega ^2}{x^2}]$

其中做替換 $[egin{gathered} m o m + delta cdot m hfill \ delta ll 1,delta = varepsilon left( t ight) hfill \ end{gathered} ]$

我們立即得到哈密頓量關於 $[delta ]$ 的一階展開:

$[egin{gathered} H = frac{{{p^2}}}{{2(m + m cdot delta )}} + frac{1}{2}(m + m cdot delta ){omega ^2}{x^2} hfill \ simeq frac{{{p^2}}}{{2m}} + frac{1}{2}m{omega ^2}{x^2} - frac{{{p^2}}}{{2m}}varepsilon left( t ight) + frac{1}{2}m{omega ^2}{x^2}varepsilon left( t ight) hfill \ end{gathered} ]$

下一步，先做無量綱化處理，方便之後的數值工作:

$[egin{gathered} hat H = H/hbar omega ,hat P = frac{1}{{sqrt {mhbar omega } }}p,hat X = sqrt {frac{{momega }}{hbar }} x hfill \ hat H = frac{1}{2}left( {hat X^2 + hat P^2} ight) - frac{{{hat P^2}}}{2}varepsilon left( t ight) + frac{{{hat X^2}}}{2}varepsilon left( t ight) hfill \ end{gathered} ]$

然後做正則量子化：

$[left{ egin{gathered} a = frac{1}{{sqrt 2 }}left( {hat X + ihat P} ight) hfill \ {a^dag } = frac{1}{{sqrt 2 }}left( {hat X - ihat P} ight) hfill \ end{gathered} ight.,left{ egin{gathered} hat X = frac{1}{{sqrt 2 }}left( {{a^dag } + a} ight) hfill \ hat P = frac{i}{{sqrt 2 }}left( {{a^dag } - a} ight) hfill \ end{gathered} ight.]$

其中 $[left[ {a,{a^dag }} ight] = 1]$ ,最後計算得到哈密頓量:

$[hat H = {a^dag }a + frac{1}{2} + frac{{varepsilon left( t ight)}}{4}{left( {{a^dag } + a} ight)^2} + frac{{varepsilon left( t ight)}}{4}{left( {{a^dag } - a} ight)^2}]$

化簡得到著名的:

$[hat H = {H_0} + Hleft( t ight) = {a^dag }a + frac{1}{2} + frac{{varepsilon left( t ight)}}{4}left( {{a^dag }{a^dag } + aa} ight)]$

考慮其海森堡運動方程:

$[idot a = left[ {a,hat H} ight] = a + frac{{varepsilon left( t ight)}}{2}{a^dag }]$

得到力學量的演化方程:

$[dot{ hat{X}} = hat{P} - frac{{varepsilon left( t ight)}}{2}hat{P}]$

$[ - dot {hat P} = hat X + frac{{varepsilon left( t ight)}}{2}hat X]$

做如朗道同學做的參變分析，同樣得到參變結果，在薛定諤表象下的波函數、wigner函數的計算過於冗長，我們直接給出數值結論:

當 $[varepsilon left( t ight)]$ 的傅里葉分分量 $[varepsilon left( t ight) sim Acos left( {2{omega _0}t} ight)]$ 並展寬相對 $A$ 不大的區間:

即使初始狀態是真空態也能起振！

我們來看看數值結果。

粒子的激發數以及和不同A,w的關係，從圖中可以看到，在w是2的時候,初態是真空態也能產生有限大小的粒子數。

對相同的A加不同的w。

經典的相圖，對應量子力學是wigner function，下面我們看看A=0.1,W=2(周期~400)的wigner function在t=0,50,180,200,230,410的wigner function.

t=0，真空態的wigner function.

t=50,真空態被壓縮

t=180,真空態成為一個很複雜的態。注意到大量的負密度出現，昭示這個時候體系是一個量子態.

t=200

t=230

t=412，幾乎回到真空態。

動力學卡西米爾效應：光子的起源？

我們熟知真空卡西米爾效應：當兩個鏡子隔的足夠近，以至於其中的虛光子漲落非常明顯，兩個鏡子會產生一個吸引力。

理論研究告訴我們，還存在一個叫做動力學卡西米爾效應的傢伙:

真空中一個鏡子，在低速運動時，真空漲落出的虛光子對會成對湮滅，因此沒有什麼現象

以可以和光子速度比擬的速度(i.e. 光速)移動，真空漲落出的虛光子對來不及湮滅就分離開了，因此將虛光子對轉換為真實的光子。

然而，由於機械鏡難以以接近光的速度移動，到目前人類沒有觀察到真空動力學卡西米爾效應。但是等效的量子模擬實驗早已在超導量子電路中實現。關於超導量子電路的科普、review很多，在此我就不介紹了。

動力學卡西米爾效應和我們前面研究的盪起真空里的「鞦韆」都有一個根本的起源:量子力學的不確定性原理，其二者都是某個定義下的「真空」中，由於參變引起的，體系能量和激發數增加的過程。如此我們能否聯想到光子的起源問題？由於我完全不懂宇宙學，這些遐思還有待大家指正。

但是大家陪妹妹盪鞦韆的時候還是要推一把！她盪的可是經典的鞦韆！盪不起來是要發脾氣的！

Note by my Boss:

這個結果是有很深刻的物理的。我們在學量子力學解諧振子的時候，會碰到那個惱人的1/2，即零點能，那麼問題就來了，這個1/2可不可以導致可觀測的物理效應呢？它是不是可以通過一個簡單的規範變換被忽略不計呢？結論是不可以！這裡講的Dynamic Casimir Effect在量子光學裡面就是參量放大過程，有趣就在於，你放大的是什麼？經典物理中的參量放大，典型的例子就是蔡家麒講的這個盪鞦韆時的起立和蹲下，但是請你試想一下，如果這個鞦韆初始的時候是靜止的，無論你怎麼在鞦韆上起立蹲下，這個鞦韆必然是紋絲不動的，這是因為，此時的參量放大過程，放大的是一個零能量狀態，等於把零擴大了若干倍，你得到的還是零。但是量子的鞦韆則不一樣，他有一個1/2的零點能，此時參量放大過程所放大的正是這個1/2，從而你可以得到一個有意義的物理過程，也就是說這個放大，放大的是Amplification of Uncertainty Relation，因為諧振子的那個1/2就來自於坐標和動量的不確定關係。在我看來，正是這樣的一個物理，它體現了量子力學的不確定關係所導致的可觀測的物理效應，導致了這麼一個參量放大的文章能夠上Nature

Ref:

1、朗道《力學》

2、Observation of the Dynamical Casimir Effect in a Superconducting Circuit,http://www.nature.com/articles/nature10561，https://arxiv.org/abs/1105.4714

3、QuTip,Quantum Toolbox in Python

附錄：求解此系統的python code:

from qutip import *import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineN = 10a = destroy(N)vac = basis(N,0)t = np.linspace(0,1000,10000)def result(A,w): H0 = a.dag()*a + 1/2.0 H1 = a.dag()*a.dag()+a*a g_t="A*cos(w*t)" H = H0 H_t = [H0,[H1,g_t]] psi0 = vac; args = {"A": A, "w": w} result = mesolve(H_t,psi0,t,[],[a.dag()*a],args) return result.expect[0]fig,ax = plt.subplots(figsize=(16,9))ax.plot(t,result(0.01,2))ax.plot(t,result(0.1,2))ax.plot(t,result(0.01,2.1))ax.plot(t,result(0.1,0.1))ax.set_xlabel("Time",fontsize=20)ax.set_ylabel("Expectation values",fontsize=20)ax.legend(("A=0.01,w=2","A=0.1,w=2","A=0.01,w=2.1","A=0.1,w=0.1"),fontsize=15)fig.savefig("fig.png",dpi=300)H0 = a.dag()*a + 1/2.0H1 = a.dag()*a.dag()+a*ag_t="A*cos(w*t)"H = H0H_t = [H0,[H1,g_t]]psi0 = vac;args = {"A": 0.1, "w": 2}result_u = mesolve(H_t,psi0,t,[],[],args)def plot_wigner_2d_3d(psi): #fig, axes = plt.subplots(1, 2, subplot_kw={"projection": "3d"}, figsize=(12, 6)) fig = plt.figure(figsize=(16, 6)) ax = fig.add_subplot(1, 2, 1) plot_wigner(psi, fig=fig, ax=ax, alpha_max=6,colorbar=True); ax = fig.add_subplot(1, 2, 2, projection="3d") plot_wigner(psi, fig=fig, ax=ax, projection="3d", alpha_max=6,colorbar=True); plt.close(fig) return figplot_wigner_2d_3d(result_u.states[0])