勢場中恆星的軌道

01-24

最近在仔細研究Benny和Tremaine所寫的星系動力學的內容，由於畢設內容是研究棒旋星系核環的形成，目前大多理論研究認為核環的形成與林德布拉共振半徑 (Lindblad resonances)和共轉半徑(Corotation resonance)息息相關，本文大部分出自於星系動力學書的第三章的內容，包括球對稱勢場，軸對稱勢場，非軸對稱勢場，以及轉動非軸對稱勢場恆星軌道的特點的相關討論和理解，內容有點冗長，但是確實是自己一點一點理解的，一部分圖也是自己為了理解親手畫的，但是還有些地方不太明白甚至理解錯誤，歡迎大家跟我討論和指正，寫下來過程中感覺自己比較有進步，可能本身理解能力比較差，還有第三章內容還沒有完全看完，有時間我會補全。

(WARING:A GREAT QUANTITY OF EQUATIONS ARE COMING!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)

（設質量為單位質量）

一、球對稱勢場

特點： $F=F(r)ar{e}_{r}$ , $phi=phi(r)$

運動方程： $frac{d^2ar{r}}{dt^2}=F(r)ar{e}_{r}$

角動量守恆： $d(ar{r} imes frac{dar{r}}{dt})=frac{dar{r}}{dt} imes frac{dar{r}}{dt}+ar{r} imes frac{d^2ar{r}}{dt^2}=F(r) ar{r} imes ar{e}_r=0$

$Rightarrow ar{r} imes frac{dar{r}}{dt}=ar{L}$ $Rightarrow$ 恆星軌道在固定平面上

設定坐標平面在軌道平面上,極坐標 $(r,varphi)$ 下

運動方程:

$frac{d^2r}{dt^2}-r*(frac{dvarphi}{dt})^2=F(r)$ (徑向加速度=勢場中受力+離心力）

$r*frac{d^2varphi}{dt^2}+2*frac{dr}{dt}*frac{dvarphi}{dt}=0$ （周向加速度=0， $F(varphi)=0$ ）

角動量守恆： $r^2 frac{dvarphi}{dt}=L$

由上述方程我們可以得到以下結論

能量守恆： $E=frac{1}{2}*(frac{dr}{dt})^2+frac{1}{2}(r*frac{dvarphi}{dt})^2+phi(r)$

運動方程有兩種軌道：

（1）非束縛軌道和束縛軌道，其中非束縛軌道 $r ightarrowinfty$

（2）束縛軌道r在r1與r2之間振蕩，r1與r2分別為近心距和遠心距

r1與r2由右式決定： $frac{1}{r^2}+frac{2[phi(r)-E]}{L^2}=0$

束縛軌道通解為 $frac{dr}{dt}=pmsqrt{2(E-phi(r))-frac{L^2}{r^2}}$

徑向周期： $T_r=2int_{r1}^{r2}frac{dr}{dt}dr=2int_{r1}^{r2}frac{dr}{sqrt{2(E-phi(r))-frac{L^2}{r^2}}}$

周向周期： $T_varphi=frac{2pi}{Deltavarphi}*T_r（Deltavarphi=2int_{r1}^{r2}dvarphi/dr*dr=2int_{r1}^{r2}frac{L}{r^2}/frac{dr}{dt}*dr=2Lint_{r1}^{r2}frac{dr}{r^2sqrt{2(E-phi(r))-frac{L^2}{r^2}}}）$

顯然當 $frac{2pi}{Deltavarphi}$ 不為有理數時時恆星軌道是非閉合的，其中最著名的的便是玫瑰花型軌道如下圖

有兩種特殊球對稱勢場使得 $frac{2pi}{Deltavarphi}$ 為整數,

（a）球諧勢場 $phi(r)=frac{1}{2}Omega^2r^2+C，F(r)=-Omega^2r，T_r=pi，T_varphi=2pi$

軌道為以勢場中心為中心的橢圓（tip：均質球的勢場， $|v_{circular}|=L/r$ ）

（b）開普勒勢場 $phi(r)=-GM/r,F(r)=-GM/r^2,T_r=T_varphi=2pi*sqrt{a^3/GM}$

束縛軌道為橢圓，勢場中心位於橢圓的焦點上

二、軸對稱勢場

在柱坐標系 $(R,varphi,z)$ 中

$phi=phi(R,z)，ar{r}=R*e_R+z*e_z，F(R,z)=-Deltaphi=-(frac{deltaphi}{delta R} *e_R+frac{deltaphi}{delta z}*e_z)$

運動方程： $d^2ar{r}/dt^2=-Delta phi (R,z)$

$Rightarrow d^2R/dt^2-R*(dvarphi/dt)^2=-delta phi/delta R , Rightarrowphi_{eff}=phi+L_z^2/2R^2$

$Rightarrow d(R^2*dvarphi/dt)/dt=0,Rightarrow d^2R/dt^2=-delta phi_{eff}/delta R$

$Rightarrow d^2z/dt^2=-delta phi/delta z,Rightarrow d^2z/dt^2=-delta phi_{eff}/delta z$ ,

z方向角動量守恆： $L_z=R^2*dvarphi/dt$

如果勢場沒有特別的形式，運動方程沒有解析解，但我們可以知道，在軸對稱勢場中的軌道相當於，徑向與z軸方向的兩個振動的耦合，且有R越大z軸角速度越小，其軌道的演化我們可以用數值積分的方法計算出來。以Plummer模型的勢場為例得到以下軌道

Plummer模型： $phi_{eff}=1/2*v_0^2*ln(R^2+z^2/q^2)+L_z^2/2R^2 (R_c=0)$

取 $q=0.9，E=1/2*v_R^2+1/2*v_z^2+phi_{eff}=-0.8，L_z=0.2，v_0=1$

兩條軌道的E相同，Lz相同，有效勢相同，但初始的vR，vz，R，z不相同

三、平面非軸對稱勢場

我們在軸對稱勢場中就已經得不到恆星軌道的解析解的形式，所以我們討論非軸對稱勢場以具體的一個勢場的例子來分析軌道的特點。

[1]無轉動二維勢場

$phi_L(x,y)=1/2*v_0^2*ln(R_c^2+x^2+y^2/q^2)$ 也即是plummer模型的變體（q<=1)

先從勢場本身的解析式分析有

(1)勢場等勢線顯然為一系列以（0，0）為中心的橢圓，軸比為q=a/b，因此，在不同半徑處，非軸對稱的影響是相似的。

(2)對於 $R=sqrt{x^2+y^2}ll R_c$ 的情況，

勢場近似為右式 $phi_L(x,y)=frac{v_0^2}{2R_c^2}(x^2+y^2/q^2)+Constant$

顯然在此勢場中，軌道為X和Y軸的兩個獨立的簡諧振動的疊加，且兩個振動的頻率近似為 $omega _x=v_0/R_c , omega_y=v_0/qR_c$ 若q不是有理數，則軌道隨著時間的延長可以到達一個長方形盒子的任意一點我們稱這種軌道為BOX ORBIT，這類軌道是非閉合的而且轉動的方向也是不固定的。當然也存在閉合的盒形軌道，也即q是有理數時軌道是閉合的。

x=cos(t+3),y=(3t+8)（閉合軌道）

x=cos(t+3),y=cos(sqrt(2)*t+8)（非閉合軌道）

(3)對於 $R=sqrt{x^2+y^2}gg R_c$ 的情況，勢場近似為 $phi_L(x,y)= 1/2*v_0^2ln(x^2+y^2/q^2),(q=1時，simeq v_0^2lnR)$ 對此勢場進行數值積分可以得到一種繞勢場中心沿著固定方向轉動的軌道（Polar Orbit）。

恆星軌道屬於哪一種不僅與其初始位置相關，而且與其初始速度也掛鉤，因此以上2，3倆點的中的Box Orbit and Polar Orbit 並不是只出現在倆種對應的情況下，如下倆圖中的軌道能量相同，初始勢能相同，初始位置和初始速度不同。且我們可以知道倆種軌道的特點

盒形軌道：可以十分的靠近中心，無特定的轉動方向

圈形軌道：無法到達中心位置，繞轉方向是固定的

此處可以利用龐加萊截面的方法得到每一條軌道的相圖，截面為：y=0,dy/dt>0。

這幅圖的能量約束為 $1/2 *v_x^2+phi_L(x,0)leq 1/2(v_x^2+v_y^2)+phi_L(x,0)=E_{y=0}$

q=0.9，Rc=0。14

分析：上圖中，每一條閉合的曲線都對應一條軌道，以上所有的軌道的能量是相同的，因此同樣的能量軌道類型取決於初始的位置和速度。其中2，3兩點為polar orbit的閉合軌道該軌道在y=0的x和v_x都是固定的，因此必定是閉合的，且由軌道在Y=0時的焦點可以知道，x2<0,x3>0,此時的速度v_x=0，v_y>0,顯然有2點為順時針軌道，3為逆時針軌道。因此圍繞周圍的2，3周圍的閉合曲線也即對應圈形軌道的順時針軌道核逆時針軌道，且有特點：無法靠近（0,0)點。而再往外的盒形軌道如4曲線，可以看出其繞轉的方向是不固定的，速度也是任意的。最外面一圈即是盒形軌道為v_y=0的截面曲線，也即只在x方向來回振動，稱為長軸閉合軌道。

（1）下面對比討論q不斷減小（棒狀勢場的非軸對稱部分逐漸增大），截面的能量相同

q=0.8,Rc=0.14

對比兩個截面圖可以得知盒形軌道在增加，圈形軌道在減少，且圈形軌道在逐漸向Y軸拉長。

（2）下面討論截面的能量對截面的影響,以下截面的能量比最開始的能量要低的多

q=0.9,Rc=0.14

對比可知，能量下降時，對應的等勢面越是靠近核中心，那麼勢場形式就越來越接近簡諧勢場，軌道會越來越接近盒形軌道，根據初始位置和速度的不同，X與Y軸兩個方向的獨立振動佔比不同，同時圈形軌道就會慢慢消失，到達Ec時，向短軸拉長的閉合的盒形軌道會退化為Y軸方向的振蕩。當能量低於Ec時，圈形軌道就會消失。

理解：在低能量時，閉合穩定軌道都是長軸閉合軌道和短軸閉合軌道，隨著能量的增加，閉合的短軸軌道開始不穩定，此時出現分叉形成穩定的成對圈形軌道。

（如何從物理本質上理解這種不穩定性呢？）

[2]二維轉動勢

設定PATTERN SPEED：即勢場的繞轉速度為 $Omega_b$ (in an inertial frame)

運用理論力學的知識我們可以得到以下結論

運動方程： $d^2r/dt^2=-Delta phi -2Omega_b×dr/dt-Omega_b imes(Omega_b imes r)$

第一項為勢場力，第二項為科氏力，第三項為離心力（其中除了t和phi以外都是矢量）

顯然能量 $E$ 和角動量 $L=r imes v_{in}$ 都是不守恆的，但我們可以找到以下積分

雅可比積分: $E_J=1/2*(dr/dt)^2+phi-1/2*|Omega_b imes r|=E-Omega_b imes L$

$phi_{eff}=phi-1/2*Omega_b^2R^2$

下面以 $phi=1/2*v_0^2ln(R_c^2+x^2+y^2/q^2)$ 為例子討論

首先我們討論類比天體力學我們找到 $delta phi_{eff}/delta x=delta phi_{eff}/delta y=0$ 滿足的點，一般能得到L1，L2，L3，L4，L5五個拉格朗日點（也有可能出現L4，L5不存在的情況），下面來討論這五個拉格朗日點附近的運動

原因：恆星在靠近拉格朗日點時，軌道會發生一些特殊的躍變。

考慮相對於拉格朗日點的運動，且將 $phi_{eff}$ 在五個點附近泰勒展開，

$xi=x-x_L,eta=y-y_L$ ,

$phi_{eff}=phi_{eff}(x_L,y_L)+1/2(delta^2phi_{eff}/delta x^2)xi^2+1/2(delta^2phi_{eff}/delta y^2)eta^2+(delta^2phi_{eff}/delta xdelta y)xieta+……$

運動方程 : $d^2xi/dt^2=2Omega_bdeta/dt-phi_{xx}xi\ d^2eta/dt^2=-2Omega_bdxi/dt-phi_{yy}eta$

利用數學方法可得到其特徵方程

$lambda^4+lambda^2(phi_{xx}+phi_{yy}+4Omega_b^2)+phi_{xx}phi_{yy}=0 \ (phi_{xx}=delta^2phi_{eff}/delta x^2=v_0^2frac{R_c^2-x^2+y^2/q^2}{(R_c^2+x^2+y^2/q^2)^2}-Omega_b^2,\ phi_{yy}=delta^2phi_{eff}/delta y^2=v_0^2frac{R_c^2+x^2-y^2/q^2}{q^2(R_c^2+x^2+y^2/q^2)^2}-Omega_b^2,\ phi_{xy}=delta^2phi_{eff}/delta xdelta y=frac{2v_0^2x*y}{q^2(R_c^2+x^2+y^2/q^2)^2})$

拉格朗日點線性穩定的前提：數學上即 $lambda=pm i alpha,pm ieta ,alphaetain R$

解釋：如果 $lambda$ 有實數解，那麼解必定帶有e的指數向，那麼軌道就會很快偏離拉格朗日點附近，則以上近似就不存在了，物理上可以認為如果給在這個點附近的運動物體一個小的擾動，那麼軌道肯定會發生偏離，而不穩定點的偏離會不斷逐漸以指數型增加，從而脫離了近似條件離開了拉格朗日點的鄰域。（物理上的理解是本人自己思考的，感覺有點不夠準確，而且對非線性的穩定性也沒有理解特別深）

通過數學證明（省略），L1與L2總是不穩定的。L3總是穩定的，而L4與L5需要滿足一定的條件才穩定。（L4與L5也是需要一定的條件才會出現的），由於勢場是關於x軸對稱，y軸也對稱（但不是軸對稱勢場，因為 $phi_{eff} e phi_{eff}(R)$ ），因此L4，L5坐標也很好得到（xL=0）

線性穩定條件下解有以下形式：

$xi=X_1cos(alpha t+psi_1)+X_2cos(eta t+psi_2),\ eta=Y_1sin(alpha t+psi_1)+Y_2sin(eta t +psi_2)$ $Y_1=frac{phi_{xx}-alpha^2}{2Omega_balpha}X_1=frac{2Omega_balpha}{phi_{yy}-alpha^2}X_1,\ Y_2=frac{phi_{xx}-eta^2}{2Omega_beta}X_2=frac{2Omega_beta}{phi_{yy}-eta^2}X_2$

因此我們可以看到在拉格朗日點附近的恆星，相當於圍繞著拉格朗日點做周期運動，且這個周期運動由頻率為 $alpha$ 和 $eta$ 的橢圓運動的疊加。且當Y1/X1>0則alpha橢圓運動方向為順著勢場轉動方向繞轉，反之逆著勢場轉動方向繞轉，對於beta橢圓運動同樣成立。

L4與L5的坐標為： $（0,pm y_L),y_L=sqrt{frac {v_0^2}{Omega_b^2}-q^2R_c^2}$

L1與L2的坐標為： $(pm sqrt{1-R_c^2},0)$ L3坐標為 $(0，0)$

L4，L5：

利用前面得到的勢場的導數帶入則可以得到下式子

$phi_{xx}(0,pm y_L)=Omega_b^2(q^2-1),phi_{yy}(0,pm y_L)=2Omega_b^2[q^2Omega_b^2R_c^2/v_0^2-1]\ phi_{xx}+phi_{yy}+4Omega_b^2=Omega_b^2(1+q^2+2q^2(Omega_bR_c/v_0)^2)$

對數勢場的等勢線圖，q=0.9，v_0=1,Omega_b=1,Rc=0.2

下面來定量分析L4、L5周圍軌道的具體形式，若取上圖中對應參數的值則可得到 L4與L5點的有以下值(q=0.9，v_0=1,Omega_b=1,Rc=0.2). $phi_{xx}=-0.19,phi_{yy}=-1.9352,\alphasimeq0.47179,etasimeq 1.28542$

於是我們可以得到Y1，Y2，X1，X2的關係 : $Y_1simeq -0.43726X_1,Y_2simeq -0.71662X_2$

取X1/X2=1的軌道

在 $R_cll 1$ （核半徑極小）的極限情況下， $Y_1simeq 0，alphasimeq 0$ , ALPHA橢圓運動變為X軸的簡諧運動且周期非常長，相當於非軸對稱導致的一種慢擺動，Beta橢圓運動則成為恆星的本輪運動。如下圖

X1/X2=1

L3附近軌道定量分析： $phi_{xx}(0,0)=v_0^2/R_c^2-Omega_b^2,\ phi_{yy}(0,0 )=v_0^2/q^2R_c^2-Omega_b^2,\ phi_{xx}+phi_{yy}+4Omega_b^2=(1+1/q^2)v_0^2/R_c^2+2Omega_b^2$

同樣取q=0.9,Omega_b=1,v_0=1,Rc=0.2

$phi_{xx}=24,phi_{yy}=29.864,\alphasimeq4.238,etasimeq 6.317$

$Y_1simeq 0.712X_1,Y_2simeq -1.259X_2$

紫色是疊加軌道，綠色是alpha橢圓運動，藍色是beta橢圓運動,X1/X2=1

考慮一個特殊情況 $Omega_b^2ll|phi_{xx}|Rightarrow alphasimeq sqrt{phi_{xx}},etasimeq sqrt{phi_{yy}},(假設phi_{yy}geq phi_{xx})$

此時有 $Y_1<<X_1,|Y_2|>>|X_2|$ ,，也即在Omega_b很小的時候，Alpha橢圓運動退化為沿著勢場主軸方向的振蕩運動，而Beta橢圓運動退化為沿著輔軸方向的振蕩運動，也即是非旋轉勢場中的盒形軌道的X和Y軸的獨立簡諧振動。

總結，由於勢場的轉動，拉格朗日點也跟隨著勢場進行轉動而因此，因此這些附近恆星總的軌道應該是對應拉格朗日點隨勢場pattern speed 為Omega_b的純圓周運動+以拉格朗日點為中心的Alpha橢圓運動和Beta橢圓運動的疊加，且倆種橢圓的運動佔比取決於起始的位置和速度。（上述沒有討論Alpha和Beta佔比不同時所需要的條件）

以上則為對勢場中的拉格朗日點附近軌道的討論。

不限於拉格朗日點附近的恆星軌道

同樣以對數勢場為粒子，取定q=0.8,Rc=0.03,v_0=1,Omega_b=1

在核心區域也即R<Rc：

根據L3點附近的討論，我們知道有一系列的alpha和beta橢圓運動，他們是穩定的閉合軌道，且根據分析，在核心區域Alpha橢圓運動為順行軌道，Beta橢圓是逆行軌道，而倆個橢圓運動的疊加形成核心區域的非閉合軌道族。如下圖所示

遠離核區：

短軸軌道序列:

類似非轉動勢場中閉合圈形軌道的出現，轉動勢場中也會出現成對的閉合圈形軌道，且這些軌道都是順行的（理解:在無轉動的情況下，會出現一個順行軌道和一個逆行軌道，如果加上轉動勢場的pattern speed 原來的速度遠遠不夠達到維持圈形軌道的要求，因此需要加上順著勢場的速度，由於剛出現的圈形軌道因此對應無轉動情況的軌道運動速度比較小，因此加上速度後兩個軌道均變為順行）經過數值計算可得下圖

其中不太扁的軌道是穩定的（x2軌道族），而在Y軸方向拉長的軌道是不穩定的（x3軌道族）。同時隨著能量的增加上述閉合軌道的偏心率越來越小，軌道越來越圓，然後偏心率還會逆轉軌道再次變成拉長Y軸方向的情況，當能量達到E2時，這類軌道會消失。

（為什麼？這裡我沒懂）（從這裡開始後面的基本沒咋看懂，，而且最近有點忙，後面看懂了理解了在來補充吧）