Coursera吳恩達《卷積神經網路》課程筆記（1）-- 卷積神經網路基礎

01-24

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《Convolutional Neural Networks》是Andrw Ng深度學習專項課程中的第四門課。這門課主要介紹卷積神經網路（CNN）的基本概念、模型和具體應用。該門課共有4周課時，所以我將分成4次筆記來總結，這是第一節筆記。

1. Computer Vision

機器視覺（Computer Vision）是深度學習應用的主要方向之一。一般的CV問題包括以下三類：

Image Classification
Object detection
Neural Style Transfer

下圖展示了一個神經風格轉換（Neural Style Transfer）的例子：

使用傳統神經網路處理機器視覺的一個主要問題是輸入層維度很大。例如一張64x64x3的圖片，神經網路輸入層的維度為12288。如果圖片尺寸較大，例如一張1000x1000x3的圖片，神經網路輸入層的維度將達到3百萬，使得網路權重W非常龐大。這樣會造成兩個後果，一是神經網路結構複雜，數據量相對不夠，容易出現過擬合；二是所需內存、計算量較大。解決這一問題的方法就是使用卷積神經網路（CNN）。

2. Edge Detection Example

對於CV問題，我們在之前的筆記中介紹過，神經網路由淺層到深層，分別可以檢測出圖片的邊緣特徵、局部特徵（例如眼睛、鼻子等）、整體面部輪廓。

這一小節我們將介紹如何檢測圖片的邊緣。

最常檢測的圖片邊緣有兩類：一是垂直邊緣（vertical edges），二是水平邊緣（horizontal edges）。

圖片的邊緣檢測可以通過與相應濾波器進行卷積來實現。以垂直邊緣檢測為例，原始圖片尺寸為6x6，濾波器filter尺寸為3x3，卷積後的圖片尺寸為4x4，得到結果如下：

上圖只顯示了卷積後的第一個值和最後一個值。

順便提一下， $*$ 表示卷積操作。python中，卷積用conv_forward()表示；tensorflow中，卷積用tf.nn.conv2d()表示；keras中，卷積用Conv2D()表示。

Vertical edge detection能夠檢測圖片的垂直方向邊緣。下圖對應一個垂直邊緣檢測的例子：

3. More Edge Detection

圖片邊緣有兩種漸變方式，一種是由明變暗，另一種是由暗變明。以垂直邊緣檢測為例，下圖展示了兩種方式的區別。實際應用中，這兩種漸變方式並不影響邊緣檢測結果，可以對輸出圖片取絕對值操作，得到同樣的結果。

垂直邊緣檢測和水平邊緣檢測的濾波器運算元如下所示：

下圖展示一個水平邊緣檢測的例子：

除了上面提到的這種簡單的Vertical、Horizontal濾波器之外，還有其它常用的filters，例如Sobel filter和Scharr filter。這兩種濾波器的特點是增加圖片中心區域的權重。

上圖展示的是垂直邊緣檢測運算元，水平邊緣檢測運算元只需將上圖順時針翻轉90度即可。

在深度學習中，如果我們想檢測圖片的各種邊緣特徵，而不僅限於垂直邊緣和水平邊緣，那麼filter的數值一般需要通過模型訓練得到，類似於標準神經網路中的權重W一樣由梯度下降演算法反覆迭代求得。CNN的主要目的就是計算出這些filter的數值。確定得到了這些filter後，CNN淺層網路也就實現了對圖片所有邊緣特徵的檢測。

4. Padding

按照我們上面講的圖片卷積，如果原始圖片尺寸為n x n，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為(n-f+1) x (n-f+1)，注意f一般為奇數。這樣會帶來兩個問題：

卷積運算後，輸出圖片尺寸縮小
原始圖片邊緣信息對輸出貢獻得少，輸出圖片丟失邊緣信息

為了解決圖片縮小的問題，可以使用padding方法，即把原始圖片尺寸進行擴展，擴展區域補零，用p來表示每個方向擴展的寬度。

經過padding之後，原始圖片尺寸為(n+2p) x (n+2p)，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為(n+2p-f+1) x (n+2p-f+1)。若要保證卷積前後圖片尺寸不變，則p應滿足：

$p=frac{f-1}{2}$

沒有padding操作， $p=0$ ，我們稱之為「Valid convolutions」；有padding操作， $p=frac{f-1}{2}$ ，我們稱之為「Same convolutions」。

5. Strided Convolutions

Stride表示filter在原圖片中水平方向和垂直方向每次的步進長度。之前我們默認stride=1。若stride=2，則表示filter每次步進長度為2，即隔一點移動一次。

我們用s表示stride長度，p表示padding長度，如果原始圖片尺寸為n x n，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為：

$lfloorfrac{n+2p-f}{s}+1 floor X lfloorfrac{n+2p-f}{s}+1 floor$

上式中， $lfloorcdots floor$ 表示向下取整。

值得一提的是，相關係數（cross-correlations）與卷積（convolutions）之間是有區別的。實際上，真正的卷積運算會先將filter繞其中心旋轉180度，然後再將旋轉後的filter在原始圖片上進行滑動計算。filter旋轉如下所示：

比較而言，相關係數的計算過程則不會對filter進行旋轉，而是直接在原始圖片上進行滑動計算。

其實，目前為止我們介紹的CNN卷積實際上計算的是相關係數，而不是數學意義上的卷積。但是，為了簡化計算，我們一般把CNN中的這種「相關係數」就稱作卷積運算。之所以可以這麼等效，是因為濾波器運算元一般是水平或垂直對稱的，180度旋轉影響不大；而且最終濾波器運算元需要通過CNN網路梯度下降演算法計算得到，旋轉部分可以看作是包含在CNN模型演算法中。總的來說，忽略旋轉運算可以大大提高CNN網路運算速度，而且不影響模型性能。

卷積運算服從分配律：

$(A*B)*C=A*(B*C)$

6. Convolutions Over Volume

對於3通道的RGB圖片，其對應的濾波器運算元同樣也是3通道的。例如一個圖片是6 x 6 x 3，分別表示圖片的高度（height）、寬度（weight）和通道（#channel）。

3通道圖片的卷積運算與單通道圖片的卷積運算基本一致。過程是將每個單通道（R，G，B）與對應的filter進行卷積運算求和，然後再將3通道的和相加，得到輸出圖片的一個像素值。

不同通道的濾波運算元可以不相同。例如R通道filter實現垂直邊緣檢測，G和B通道不進行邊緣檢測，全部置零，或者將R，G，B三通道filter全部設置為水平邊緣檢測。

為了進行多個卷積運算，實現更多邊緣檢測，可以增加更多的濾波器組。例如設置第一個濾波器組實現垂直邊緣檢測，第二個濾波器組實現水平邊緣檢測。這樣，不同濾波器組卷積得到不同的輸出，個數由濾波器組決定。

若輸入圖片的尺寸為n x n x $n_c$ ，filter尺寸為f x f x $n_c$ ，則卷積後的圖片尺寸為(n-f+1) x (n-f+1) x $n_c$ 。其中， $n_c$ 為圖片通道數目， $n_c$ 為濾波器組個數。

7. One Layer of a Convolutional Network

卷積神經網路的單層結構如下所示：

相比之前的卷積過程，CNN的單層結構多了激活函數ReLU和偏移量b。整個過程與標準的神經網路單層結構非常類似：

$Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b$

$A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})$

卷積運算對應著上式中的乘積運算，濾波器組數值對應著權重 $W^{[l]}$ ，所選的激活函數為ReLU。

我們來計算一下上圖中參數的數目：每個濾波器組有3x3x3=27個參數，還有1個偏移量b，則每個濾波器組有27+1=28個參數，兩個濾波器組總共包含28x2=56個參數。我們發現，選定濾波器組後，參數數目與輸入圖片尺寸無關。所以，就不存在由於圖片尺寸過大，造成參數過多的情況。例如一張1000x1000x3的圖片，標準神經網路輸入層的維度將達到3百萬，而在CNN中，參數數目只由濾波器組決定，數目相對來說要少得多，這是CNN的優勢之一。

最後，我們總結一下CNN單層結構的所有標記符號，設層數為 $l$ 。

$f^{[l]}$ = filter size
$p^{[l]}$ = padding
$s^{[l]}$ = stride
$n_c^{[l]}$ = number of filters

輸入維度為： $n_H^{[l-1]}$ x $n_W^{[l-1]}$ x $n_c^{[l-1]}$

每個濾波器組維度為： $f^{[l]}$ x $f^{[l]}$ x $n_c^{[l-1]}$

權重維度為： $f^{[l]}$ x $f^{[l]}$ x $n_c^{[l-1]}$ x $n_c^{[l]}$

偏置維度為：1 x 1 x 1 x $n_c^{[l]}$

輸出維度為： $n_H^{[l]}$ x $n_W^{[l]}$ x $n_c^{[l]}$

其中，

$n_H^{[l]}=lfloor frac{n_H^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 floor$

$n_W^{[l]}=lfloor frac{n_W^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 floor$

如果有m個樣本，進行向量化運算，相應的輸出維度為：m x $n_H^{[l]}$ x $n_W^{[l]}$ x $n_c^{[l]}$ 。

8. Simple Convolutional Network Example

下面介紹一個簡單的CNN網路模型：

該CNN模型各層結構如上圖所示。需要注意的是， $a^{[3]}$ 的維度是7 x 7 x 40，將 $a^{[3]}$ 排列成1列，維度為1960 x 1，然後連接最後一級輸出層。輸出層可以是一個神經元，即二元分類（logistic）；也可以是多個神經元，即多元分類（softmax）。最後得到預測輸出 $hat y$ 。