【數學課堂】線性代數系列 -- 線性空間

01-26

前言

本篇是量化課堂數學課的第一篇正文，之後會陸續推出線性代數、數學分析、測度論、概率統計、隨機過程等量化分析相關的數學課程。想對線性代數有概括性了解的同學可以參閱為什麼學線性代數。

導語

線性空間和向量是線性代數中最基礎的概念，任何學習理工科的人都繞不開的概念。「線性」中的「線」可以理解為實數線的「線」，只要我們用到實數的時候就涉及到了線性的概念。不誇張地講，現實中的絕大多數數理概念都是線性的，即便不是，它在局部上也會有近似線性的結構。

一般來講，線性空間的定義基於一種叫做域 (field) 的代數結構。但是在實際應用中我們並不需要對一般性的域進行討論，而只需要使用我們最熟悉的域 --- 實數 $R$ 。為了不給讀者帶來混淆，數學課堂線性代數課程都只基於實數域，而對一般性域感興趣的讀者可以自行參閱任何抽象代數的入門教材。

線性空間

下面我們定義線性空間。

定義. 一個 $R$ 上的線性空間 (vector space over $R$ ) 是一個集 $V$ ，其具有加法 $+:V×V→V+:V×V→V$ 和純量乘法 $?:R×V→V?:R×V→V$ 兩種運算，並滿足以下性質：

交換性 (commutativity)：

對於任何 $u,v∈Vu,v∈V$ 都有 $u+v=v+uu+v=v+u$ ;

結合性 (associativity)：

$(u+v)+w=u+(v+w)$ 和 $a?(b?v)=(a?b)?v$ 滿足於任何 $a,b∈和 u,v,w∈V;$

加法單位元 (additive identity)：

存在一個元素 $0_{V}∈V$ ，有 $0_{V}+v=v$ 滿足於任何 $v∈V$ ；

加法逆元素 (additive inverse)：

對於任何 $v∈V$ 都存在一個 $w∈V$ ，滿足 $v+w=0_{V}$ ，寫為 $w=?v$ ；

乘法單位元 (multiplicative identity)：

$1?v=v$ 滿足於任何 $v∈V$ ，這裡的 1 就是實數 1；

分配性 (distributivity)：

$a?(u+v)=a?u+a?v$ 和 $(a+b)?v=a?v+b?v$ 滿足於任何 $(a+b)?v=a?v+b?v$ 和 $u,v∈V$ 。

線性空間里的元素都叫做向量 (vector)。

出於書寫的簡便性，我們一般將乘法的點省略掉。比如有 $a∈R$ 和 $v∈V$ ，可以將它們的乘積寫作 $av=a?v$ 。另外需要指出，雖然在線性空間的定義中沒有減法運算，但是由於加法逆元素 $?w$ 的存在，我們可以將減法定義為 $v?w=v+(?w)$ 。

我們在實際應用中會用到的線性空間基本上都是 $n$ 維歐氏空間 ( $n$ dimensional Euclidean space)，寫為 $R^{n}$ ，這些線性空間的元素都用 $(x_{1},x_{2},…,x_{n})$ 表示，其中每一個 $x_{i}$ 都是一個實數。比如說，(3,5) 是 $R^{2}$ 中的向量，而 (1.5,0.38,8) 是 $R^{3}$ 中的向量，這裡 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 的數字也就是我們常說的 坐標 (coordinate)。

為了確認 $R^{n}$ 的確是一個線性空間，我們必須定義 $R^{n}$ 上的加法和乘法運算，並逐一檢測它的線性空間的性質。雖然這些性質檢驗起來比較簡單，但數學是一門嚴謹的學科，只有在親自證明之後才能理直氣壯地下結論。

定義和定理. 在集合 $R^{n}$ 上定義加法和純量乘法如下：對於 $(x_{1},…,x_{n})（ y_{1},…,y_{n})in R^{n}$ 和 $ain R$ ，定義 $(x_{1},…,x_{n}) +（ y_{1},…,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})$ ; $a?(x_{1},…,x_{n}):=(ax_{1},…,ax_{n}).$

那麼 $R^{n}$ 是一個線性空間。

證明. 我們逐一檢驗線性空間的性質：設 $(x_{1,}…,x_{n}),(y_{1,}…,y_{n}),(z_{1},…,z_{n})∈R^{n}$ 和 $a,bin R$ ,

交換性：

結合性：

以及

加法單位元：設 $0_{R^{n}}$ ：= $（0,...,0)$ ,那麼對於任何 $X=(x_{1},...,x_{n}) in R^{n}$ ，有，

所以 $0_{R^{n}}$ 是 $R^{n}$ 中的加法單位元。

加法逆元素：對於 $X=(x_{1},...,x_{n}) in R^{n}$ ，有 $Y=(-x_{1},...,-x_{n}) in R^{n}$ ，滿足

所以加法逆元素是存在的。

乘法單位元：很明顯，

所以1是 $R^{n}$ 的加法單位元。

分配性：留給讀者作為證明練習。

因為滿足所有線性空間的條件，因此 $R^{n}$ 的確是一個線性空間。

例子

我們日常生活的三維世界就是一個線性空間，它也是我們對線性空間所有直覺的由來。我們現在請來中國人民的好朋友，小明同學，來進行一些示範。因為小明是中國教科書上最傳奇的人物，所以他可以上天入地，如果我們發現小明做了一些超乎常理的事情（比如會飛），無需驚訝。

假設小明他站在地上，然後他向正右走了 5 米，向正前方走了 3 米，接著再向上飄了 8 米，又向左飄了 1 米，我們可以把這四個動作用 $R^{3}$ 中的向量分別表示為 $x=(5,0,0),y=(0,3,0),z=(0,0,8),w=(?1,0,0)$ 。那麼他現在的坐標是

假設他把上面的動作再都按順序重複兩次，那麼他的新坐標是

然後小明從天上掉了下來，他的高度坐標清零，新坐標是

他的下墜過程用向量表示為

總共下墜了 24 米。

因為我們平時只能看到三維的空間，所以很難想像四維以上的空間，感覺那都像科幻故事裡的事情。其實不然，高維度的空間其實是非常簡單的 --- 只要你不去想它的長相。假設小明學校有1000個學生，並且學校里流行收集紅、藍、綠、黃色的玻璃珠，那麼每個學生的四種玻璃珠的數量 $(紅,藍,綠,黃)$ 即是四維空間 $R^{n}$ 上的一個點，整個學校的學生代表1000個這樣的點。

雙胞胎小剛和小鋼兩人的玻璃珠數量一樣，分別有 5 個紅色、1 個藍色、2 個綠色並且沒有黃色，那麼他們其中一人的玻璃珠數量可以表示為向量 (5,1,2,0)，兩個人的玻璃珠總和是

如果小紅只有 100 個紅色珠子，那麼她的向量是 (100,0,0,0)。而小明是學校的「萬珠統領」，每種玻璃珠各有 2500 個，他的向量是 (2500,2500,2500,2500)。小明、小紅、小剛和小鋼四個人的珠子加在一起是

結語

線性空間是很基礎也很容易想像的數學結構，但嚴格的數學定義和論證可能讓初學者有些困惑，希望同學們努力嘗試去理解這些概念，對以後的學習會有很大幫助。

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