纏論動力學4-混沌與奇怪吸引子

前面講的定點和穩定性是研究動力學系統的關鍵點，這是針對簡單的一維動力學系統，二維、三維甚至多維動力學系統則有不一樣的特性。

一維動力學系統的定點往往是單調的點，二維動力學系統卻體現在振動。環視我們的周圍，從我們的呼吸、心跳到新陳代謝，從潮起潮落、日出日落到四季變換，從經濟的繁榮蕭條到歷史的王朝更替，無一不是振動。可以說整個宇宙就是由不同頻率的振動合奏的一曲最壯觀的交響樂。

為什麼振動無處不在？其實依然是因為定點的廣泛存在，振動無非是圍繞定點的波動。回到動力學系統中，振動在相空間中的表現形式就是一個閉合的軌道，因此，在一個二維的動力學系統中，運動形式只有兩種：

1. 平衡態（定點）

2. 周期運動（振動）

其實定點也無非是振動的一種，在相空間上，定點可以看作是閉合軌道趨於無限小。

下圖就是一個二維動力學系統在相平面上的運動軌跡，可以看到是圍繞某個區域的一個個閉合軌道組成。

於是，對動力學系統的研究就變成了研究系統的拓撲結構，這種把各種不同形式的系統歸於空間里的拓撲研究的思想，是一種超越性的思想。它標誌了數學在解釋世界的能力上的新高度。 從此，我們對世界的認識，取決於我們對幾何空間的拓撲性的歸類。 那些能夠歸於同一拓撲結構的系統，即使他們的物質組成有多不同，但具有相同的動力學本質。因此，拓撲的思維具有高屋建瓴，以一敵百的特性。

當系統的維數達到三維時，混沌（Chaos）就成為了主要特徵。混沌看似雜亂無章，毫無秩序，但系統依然具有確定性的方程，依然亂中有序。

在一維動力學系統中，穩定狀態是一個點，二維動力學系統中，穩定狀態變成了一個閉合的軌道，那麼順著推理下去，按照點---線---面的思路，沒錯！三維動力學系統中，穩定狀態就成為了一個複雜的曲面，這個曲面被稱作「吸引子」。

那麼為什麼三維非線性動力系統可以產生混沌？就是因為物體的運動軌跡被曲面所吸引，即使最終落入該曲面上，它也可以具備無數條軌道（曲面上的線是無數條），軌道變得複雜不可預測，所以混沌。

美國的氣象學家洛倫茲用他優美絕倫的洛倫茲方程搞出了我們常說的蝴蝶效應，就是用來描述混沌的，原話是指南美洲一隻蝴蝶扇動一下翅膀，就可能引起北美洲的颶風。然而這並非是洛倫茲的本意，因為蝴蝶效應指的其實是動力學流形在相空間中的形態非常像一隻翩翩起舞的蝴蝶。

從上圖可以看出，這個三維繫統有兩個吸引中心，系統圍繞這兩個吸引中心旋轉，軌道變得複雜不可琢磨，而這些軌道的集合看起來就像一隻美麗的蝴蝶。

在三維繫統中，這個吸引子曲面是由兩個定點構成的，系統時而圍繞其中一個定點旋轉，時而圍繞另外一個旋轉，但它何時從圍繞一個定點到圍繞另一個定點卻是不可預測的。

這隻美麗的蝴蝶是兩個定點構成的吸引子，在一些複雜的系統中，還會出現「奇怪吸引子」。什麼是「奇怪吸引子」，以下是百度百科的內容：

看到了嗎？這奇怪吸引子還能有自相似結構，咦！？我知道你在想什麼，是不是類似股票走勢中的中樞和級別，別急，等下章把分形和分維介紹之後，解決纏論動力學的知識點基本就齊全了。

纏論動力學系列文章：

《續寫纏論動力學1》

《續寫纏論動力學2-定點和穩定性》

《續寫纏論動力學3-分岔》