纏論動力學2-定點和穩定性

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上一節講到因為兩個變態狂，使得力學的分析從三維空間變成了六維空間。高維空間的好處有什麼呢？它使我們由關注研究物體的某一條運動軌跡，變為了同時研究物體所有可能的軌跡，所有可能的歷史，所有可能的未來。也就是說三維空間是我們的宇宙，而高維空間卻具有把握的卻是平行宇宙，那些符合物理定律的所有宇宙。這個思維意想不到的開拓了整個現代物理，從統計到量子力學。

它不僅解釋那些我們看見了的世界，還告訴我們沒有看見的世界是什麼，什麼是有可能發生的，即使我們沒有看到，只是因為在我們的世界中它沒有發生或者我們看的時間還不夠長。因此纏論的根基就建立在了高維思維上，包含了所有的可能性，可以解釋一切可能的情況，這和那些先驗性的預測是完全不是一個量級的。

這是一種超越性的思維，讓我們繞過事物的表現，直抵本質，兩種截然不同的領域，只要它們具有結構相同的微分方程，它們就是一回事。在動力學的世界，無論是太陽升起降落，還是交流電的震蕩，甚至我們的心跳與王朝的更替，只要歸於同類方程引導的周期運動，就是同質的。這就如同萬有引力定律，蘋果落地與地球繞日運動，在動力學的角度里只是初始速度不同而已，本質都是引力。

由於動力學的思維的高屋建瓴，因果關係的表述之清晰，決定了動力學終將不止步於物理，而它也的確席捲了那些我們物理不能染指的領域，如生物學，社會學，經濟學，甚至語言學，心理學，每當動力學進入一個領域，我們就可以說我們真正理解了那個領域，而之前，最多只是描述而已。

原因在於這些領域都顯得太複雜了，這複雜表現為：

一、元素太多

二、非線性

三、能量不守恆

所謂元素多，好理解，無論是生物系統，還是社會、經濟，都是又無數的小單元組成的，如細胞，人和企業。它們的數量之多，是原來的經典物理領域無法比擬的。

而非線性就較難表述。首先，什麼是線性？線性就是可加和性。物理系統往往是線性的。如在牛頓力學裡，力是可以加和的，物體受的合力是所有施加在物體的力的和，每一種力混合在一起時候都和它們單獨存在時候一致。

但線性顯然在生活或社會這樣的系統上不成立，你並不是把一堆細胞放在一起就有了生命，也不是把一堆人放在一起就有了社會，細胞組成生命或人組成社會，都是在更大尺度上形成了新的組織。而這些組織所呈現的性質，完全不能等價於組成它們的單元的性質的加和。

至於第三點能量不守恆，生物或社會系統都是典型的耗散系統，這些系統的本質特點即不停的與外界交換能量和信息，一旦這些系統能量守恆往往意味著已經死亡。

在生物學、社會學和經濟學中，無論是生命的過程，還是階級的演化，或者是股票的漲跌，在動力學中都可以被表述為相空間中的流形。動力學也給人類使用計算機大規模解決複雜問題奠定了基礎，因為只需要給計算機程序設定好該系統的「運動法則」：此刻與相鄰時刻的狀態迭代關係，然後賦予不同的參數，即可模擬出該系統的演化。

由於動力學的核心是預測系統的變化，那麼非線性動力學也是如此，一個經典的非線性動力學系統其運動法則的最標準的表述形式為：

其中x是一個向量，它具有的分量的個數就是系統的維度。那麼要預測一個系統的未來，你只需要知道它在微小時間尺度里的各維度上的動力學方程。

維度是動力學系統的最基本屬性，它決定了系統的複雜性和基本性質。一維繫統是最簡單，在一個一維的動力學系統中，最重要的基本特性就是「定點」（Fix Point）。理解這個「定點」，還是用實際案例來說明：

18世紀末，有一個叫做馬爾克斯的偉大思想家寫了《人口論》，其中提出了這樣一個困擾了人類上千年的問題：人類的人口呈指數增長，而食物的總量至多成代數增長，所以當人口的增長超過食物，人類將不可避免的陷入饑荒，疾病和戰爭。而普遍性的貧窮，是人類文明的宿命。這個理論解釋了為什麼許多古代文明陷入發展停滯的泥沼，從埃及，兩河領域到古中國。

馬爾薩斯的理論，其實詮釋的是一個叫Fix Point-定點的動力學概念。它所說的是，在一個複雜系統里，事物的增長往往不是線性的，而是存在一定的穩恆狀態，系統的變化會逐步減速並自發的把自己維持在這個狀態上。

這樣的現象幾乎在生活中一挑一大把。比如說人長高到一定程度就不長了，你在網上髮狀態，開始很多人點贊，但在一定時間後減速直至停止。

非線性動力學用定點fix point來描述這種現象。為什麼fix point 普遍存在？因為負反饋的普遍存在。當一個事物像一個方向走的太遠，就往往有一種反方向的作用力把它拉回，有點像我們所說的物極必反或陰陽相抵。

根據馬爾薩斯的理論，可以建立一個經典一維動力學模型：

在人口自然增長過程中，凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數，即單位時間內人口的增長量與人口成正比，比例係數為r，所以如果第一年是2，那麼第N+1年即使2的N次方（指數型增長），但是一旦人口接近環境的閾值，就會有人開始餓死，而這個餓死的比例隨著人口的增長而增大（負反饋）。這樣，當餓死的人等於出生的人，兩個此消彼長的要素就在某個點上平衡了，這就是所謂的定點。

微分方程為：

dN/dt=rN(1-N/K)

一個描述增長（rN），一個描述飢餓（1-N/K），而定點就是使微分（人口增長率）為0的點，當人口在這個數字上，就會不增不減。

這個定點具有一個更深刻的性質，無論你的人口一開始的設定值是多少，只要K是確定的，系統都會趨向於一個相同的值，這個值就是由K這個環境容量所決定的。

這樣的話，這個圖形可表現為下圖：

圖中不同的曲線代表著初始參數不同，箭頭代表著隨著時間的推移，人口數量N的變化趨勢，最終無論初始參數是什麼（負數沒有實際意義，也就無需考慮），最終人口都會趨向於一個固定的值（也就是接近K）。

這很好理解，隨著人口的增長，當接近環境承載的極限時，資源將變成稀有東西，負反饋出現，勢必引發大規模的饑荒或者戰爭，從而使得人口的增長趨於0.

這個現象可以解釋為什麼亞歐草原的游牧民族每隔幾百年就會對農業文明社會進行一次大掃蕩，為什麼中國每一個朝代的結束都會伴隨著大饑荒。因為每隔幾百年的發展，人口增長達到了環境承載能力附近，此時要麼發生戰爭（對戰爭勝利的一方來說，戰爭擴大疆土，相當於增加了環境的負載K的值，同時戰爭也死人，減少了人口N的值），要麼出現饑荒（減少人口N的值）。什麼合久必分，分久必合這種天意不過是動力學中的定點在起作用，懂動力學的人不會聽信某些神秘魔咒，而是列出一個漂亮的微分方程。

要想避免戰爭和饑荒，有兩個方法：

1. 想辦法提高K的值

2. 通過其他方式減少N的值

現代科學技術的快速發展，農作物和畜牧業的產量都大大增加，相當於擴大了環境的承載能力，也就是增加了K的值，所以自二戰以來，人類的人口雖然有爆髮式的增長，但K的值增長得更快，依然可以保障人口的增長。從這個意義上來說，袁隆平對中國的貢獻是最大的。

除了戰爭和饑荒之外，瘟疫和疾病也是消滅人口的一種手段，現在的人類得癌症的幾率要遠遠大於以前，這也是這個動力學系統的一個演化結果。

定點其實可以理解為宿命，我們常說「人的命天註定」，其實就是指一個人的性格基本是天生的，而為人處事的方式基本是由性格所決定，也就是說一個人從生下來後，其動力學的微分方程已經確定，無論生在豪門還是山溝溝里，最終都將達到某個定點，這就是所謂的天命！

此外，還有一個特性，就是定點的穩定性。這是描述當系統在定點周邊時的狀態，是容易接近定點還是離開它。舉個最簡單的例子，就是單擺，單擺有兩個定點，分別是最高點和最低點，最低點是穩定的定點，因為只要初始位置不在最高點，那麼最終單擺都將停在最低點。而最高點則是不穩定的定點，因為只有初試位置在最高點並且沒有任何外力的時候才能在該定點停止，只要有任何一點偏移，都會使得該單擺回到最低點這個定點。

這個穩定性，換一個詞叫「吸引力」，一個穩定性定點，就像一個黑洞，它能夠把進入其引力範圍內的所有物體都吸入到定點中，那麼它所管轄的區域稱為-Basin of Attraction，它是強韌度的代表，無論你如何干擾迫害它，只要在其管轄範圍內，最終都將歸於它。那麼找到這個Basin of Attraction就是利用動力學系統的定點來做預測的必備條件。

前面的這個人口模型，人口為0就是一個不穩定的定點，它可以永遠為0，但只要系統的人口增長了一點點，它就會趨於定點K，再也回不到定點0了，那麼定點K所管轄的Basin of Attraction就是除了0之外的所有區域。

最強的定點具有全局性，就是無論有什麼樣的初始條件，系統都將趨於這個定點，那麼這個系統就是一個高度可預測的系統。判斷一個簡單的動力學系統，抓住定點就是抓住了要害！

纏論動力學系列文章：

《續寫纏論動力學1》