勒貝格測度初涉（二）

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可愛的妹子像有理數一樣有很多，但是你是知道的，在實數中隨便取一個點取到有理數的概率是0.

稍微有了一點關於花式無窮的概念之後我們就可以仔細的來看一下勒貝格測度的相關內容了，這次的內容呢就是主要去解釋一下什麼是勒貝格測度，它是用來幹什麼的。

意義

我們先來看一下我們要勒貝格測度幹什麼吧。

一般我們在討論離散事件的概率的時候我們會發現我們可以很輕易的」數「出對應的事件數量是多少從而計算概率，那麼到連續事件的時候呢？比如說文章開頭時的那一句話，實數啊，有無窮多個，有理數啊也是無窮多個，嗯那麼概率就是無窮多/無窮多，欸是多少呢？

當然了，這個時候就可以搞出一個什麼概率密度函數，雖然積分一下能夠得到一個和離散情況下有點像的概率分布函數，但是仍然是考慮的 $P(X≤x_0)$ ，但是卻不能談論「等於某個值」的概率 $P(X=x_0)$ 了，或者說，根據積分來看，這個玩意它等於零。這件事情讓我在和離散情況下進行類比的時候產生了困難，因為從一開始就是一一種「直觀」的方式來引入這些概念的，現在突然又不直觀了，就讓人感到很沮喪。而且，我一直對於 $P(X=x_0)$ 這件事情耿耿於懷，雖然我知道通過怎麼樣的計算能夠得到它確實等於零，但是這並不是一個很讓人滿意的理由。就好比你問食堂師傅為什麼大排漲價了，他告訴你因為市場上的大排都漲價了，所以我們食堂也漲了——雖然是回答了你的問題，但是你依然會很鬱悶。但是如果師傅告訴你因為天蓬元帥帶著豬們起義了，地球上大批豬軍團逃亡到月亮上了，所以豬肉短缺，導致大排漲價了，你就會覺得，哦，原來如此！天蓬元帥真是太帥了！這種感覺，就是當我得知「概率就是測度」時候所感受到的——之所以等於零，是因為這個時候單點集的（Lebesgue）測度為零。如果一開始就以抽象的方式來引入，到最後說得再抽象也總是可以接受的咯，不過，這種描述方式最美妙的地方在於，離散和連續的情況是可以統一描述的——這一點才是讓我糾結的結症所在呀。

這個時候我們就開始引入什麼是測度吧。其實我們在中學時學幾何概型的時候應該都學過，幾何概型的計算方式就是兩個事件的」長度「，」面積「，」體積「或者其他的什麼亂七八糟的東西相除，當然，在三維情況下我們可以很輕易的表述一些東西，但是當事件的描述超過三個維度的時候我們就需要用一些其他的什麼積來表述，顯然這是麻煩的，所以呢我們就引入了一個叫測度的概念，他的作用就是去衡量一個集合的大小，或者說一個事件的大小。為了表述方便下文討論的內容均局限於一維條件下，也就是只討論長度。

定義

我們知道我們究竟希望測度這個東西做些什麼的時候我們就可以開始定義測度了，——不，不要誤會，我並不是要在此刻寫出一大段難懂的話，告訴大家「測度就是什麼什麼什麼什麼。」或者更謙遜一點，說「我認為，測度就是什麼什麼什麼什麼。」 ——也許這是一般人看來自然不過的工作方式，但不是數學家的。

對於這種十分基礎的定義和概念，他的嚴謹描述往往十分的晦澀難懂，但是假如我打算用我自己的理解將他翻譯過來的話勢必會面臨一些奇奇怪怪的嚴謹的問題，這個時候數學家們往往採用的是其他的方式來定義這些基礎概念。

我們先不去想測度是什麼，而是去考慮我們希望測度能做什麼。

首先我們希望的是對於一條直線，你隨便選這條直線的一些部分，也就是這個直線的一個子集，我們希望測度能夠描述這個子集的大小，也就是這些部分的長度和。

根據我們的常識，它應該滿足下述約束：

對於單點集，也就是說你只在直線上選取任意一個點，這個集合的測度理應為0
我們考慮到如果給你兩個不相交的線段，他們的長度和應該是這兩個線段之和，相應的我們考慮對於可數無窮個也應該有一樣的性質，也就是說對於至多可數無窮個不相交集合他們的測度應該為各部分測度之和。

為什麼時可數無窮呢？因為我們考慮我們剛剛所推導的方法我們考慮2個可以，3個可以先合併其中2個變成2個之後再合併，4個也是同理...也就是說我們可以採用遞歸的方法把每一次的東西都不斷變小變小，那麼對於可數無窮個擁有這個性質顯然是合理的，那麼對於不可數無窮呢？，這個就是還要再去商榷的問題啦。

且慢，先別急著增加太多的約束條件，如果這兩個條件還不夠嚴格定義的話我們再去增加也不遲啊，你或許會想這兩個條件明明很弱啊，等於什麼都沒說啊，但是很不幸，事實上這兩個條件已經足夠強了。我們可以證明，給直線的每個子集都標上數字作為測度，保證空集的測度是零，並且測度滿足可數無窮個集合的可加性，這件事情在邏輯上並無內在的矛盾，但是這樣的測度必然具有一些數學上非常古怪的性質。也就是說，這樣的測度根本不能用來作為對長度的定義！（這個古怪的性質請有興趣的讀者自行查閱資料）

在這種情況下我們就只能想辦法把我們的條件弱化一點。那麼我們需要測度至少能幹什麼呢？很顯然，我們希望對於平時人們能接觸到的各種常見的子集都能定義測度，所以單點集是需要的，線段也是需要的，而若干線段的交集或並集（這裡若干還是指至多可數個）也是需要的，對它們的交集或並集再作交集或者並集也是需要的……

我們只針對可測集來考慮上述限制，那麼什麼是可測集呢？在數學中，我們把所有線段反覆做交集或並集生成的這一大類集合稱為可測集（當然它有更嚴格的定義，不過大概就是這個意思），事實上你能想像到的幾乎都是可測集，要找到一個不可測集是沒有那麼簡單的，不過直線的所有子集不一定都是可測集就是了。

所幸的是這確實是可以做到的。在測度論中有很大的一部分篇幅是用來論述測度是怎麼對可測集得以建立的，這部分內容一般被表述為一個稱為Caratheodory』s theorem的理論。言簡意賅地說：是的，只針對可測集定義的，滿足前面那兩條假設的「合理」測度總是能夠建立得起來的。

那麼我們來用數學語言稍微總結一下：

我們通常在一個空間 $Omega$ （可以看成一個「全集」）里來考慮問題，需要測量的元素就是 $Omega$ 的子集，其中所有可測的子集構成的集合，記為 $mathcal{A}={Asubset Omega|A, ext{measurable}}$ ，這個 $mathcal{A}$ 就是測度的定義域。實際上我們還要求 $mathcal{A}$ 構成一個 $sigma-Algebra$ （概率里通常稱為 $sigma-field$ ），不過我們暫且先不管這個。然後，我們將一個測度定義為一個函數 $mu: mathcal{A} ightarrow [0,+infty]$ （注意：可以取到正無窮），並且滿足如下兩條：

對於空集 $emptyset$ 有 $mu(emptyset)=0$ ，
滿足可列可加性，也就是說，如果 $A=igcup_{i=1}^infty A_i$ ，其中 $A$ 和 $A_i$ 都是 $mu-$ 可測集，並且 $A_i$ 互不相交，那麼我們有 $mu(A)=sum_{i=1}^infty mu(A_i)$ 。注意有限可加的情況包含在這裡了。

任何這樣的一個函數都叫做一個測度，當然，我們知道 $mu$ 和 $mathcal{A}$ 是息息相關的，通常我們把 $(Omega,mathcal{A},mu)$ 放在一起，叫做一個測度空間 (measure space) （注意不要和「度量空間」 metric space 混淆了，後者測量的是兩點間的距離，這裡我們關心的是集合的大小）。

上面那一大坨東西是本篇中唯一的公示了，大概。

但是至此我們也僅僅是定義了什麼叫做測度，至於達成之前我們希望干成的事情還有一定的距離，比如說，a點到b點的測度為b-a（b>a）之類的，所以為了能夠滿足我們的需要我們需要讓它滿足另外一個性質。

如果把直線看作實數軸，那麼從數軸上a點到b點的線段（這是直線的一個子集）對應的測度應當等於b-a，例如，數軸上從2到3的這一段線段的測度應該等於1。

加上了這一點之後呢所有可測集的大小就都可以通過數學推導得來啦，但是究竟怎麼得到呢？嗯作為一個信守承諾的人，決定不再出現數學式子，所以這個問題就留給有興趣的讀者自己去查閱相關資料吧。

很神奇的一點是我們可以通過上面三點約束得到單點的測度必然是0。

不過至此我們就可以得到我們最前面的那句話的正確性了，我們考慮到單點集的測度是0，那麼很顯然有理數集的測度也是0，那麼你隨便一點取到有理數的概率當然也是0啦！

前面說了，只要能滿足頭兩條性質，我們就稱定義出來的那個東西為測度，加上第三條只是為了讓這個測度符合我們對長度的具體數值的要求。也就是說，加上第三條性質後，我們定義出的應當只是測度中的具體某一種，一般把它稱為勒貝格測度（Lebesgue measure）。

（那就總還有幾個不可測集了？是的，確實存在一些特別詭異的集合是不可測集。關於不可測集的構造和性質一直是數學上一個有趣的話題，——雖然並不重要，因為事實上在真實世界裡我們遇不到它，它們只是作為抽象的數學構造出現的。在文章的最後會給出一個關於不可測集的構造）

既然說只要滿足最上面兩條就是測度了，而只有勒貝格測度滿足第三條那麼也就是表明了其實存在其他的測度，並且這些測度是不滿足第三條性質的，也就是說，這些「測度」並不保證從0點到1點的線段的測度是1，甚至也未必保證單點集的測度是零。它們的性質可能和通常人們對長度的理解很不相同。

這是因為，儘管數學家發明測度的概念的初衷確實只是想把「長度」的概念精確化和邏輯化，（事實上也確實做到了，就是勒貝格測度），但是人們很快發現，那些更一般的測度雖然未必還符合人們對「長度」這個詞的理解，但是它們作為一種數學概念卻能在大量的學科里得到應用，甚至成為很多理論的基礎語言。一個最簡單的例子是概率論，這門古老的學科在測度論建立之後就完全被測度的語言所改寫，以至於今天一個不懂一般測度的人完全沒辦法研究概率論；另一個例子是著名的狄拉克測度（Dirac measure），這個曾經令數學家也有點頭痛的非正常測度在物理學和信號處理等領域裡扮演了非常關鍵的角色。

不可測集的構造

關於這個構造幾乎可以在任意一本實分析中找到，並且下述構造非科普性質，所以不感興趣的讀者至此就已經結束啦。

一個 $sigma-Algebra$ 可以定義為一個全空間 $Omega$ 的子集構成的集合 $mathcal{A}$ ，使其滿足 $Omegain mathcal{A}$ ，並且其中的元素在集合的補運算和可數並運算下封閉。換句話說，如果 $Ainmathcal{A}$ ，那麼必須要有補集 $A^c=Omega-Ainmathcal{A}$ ；如果 ${A}_{i=1}^infty$ 是可數個 $mathcal{A}$ 中的元素，那麼它們的並也屬於其中： $igcup_{i=1}^infty A_i inmathcal{A}$ 。

根據這個條件，我們可以證明測度的單調性，假設 $Asubset B$ 都是可測集，那麼由測度的非負性，立即得到

$mu(B) = mu(A)+mu(B-A) geq mu(A)$

注意這裡即使我們有真包含關係，也並不一定能得到嚴格的不等號，這是由於有零測集的存在，後面再說。接下來我們開始構造這個奇葩的不可測集。首先從區間 [0,1] 開始，根據前面的要求，我們有 $mu([0,1])=1$ 。現在我們在這個區間內定義一個等價關係 $sim ：asim b$ 當且僅當 $a-bin mathbb{Q}$ ， $mathbb{Q}$ 表示有理數。這個等價關係將 [0,1] 劃分成一些互不相交的等價類，現在我們從每一個等價類里選取一個元素，構成一個集合 $C$ （根據選擇公理，這樣的集合是可以構造出來的，關於選擇公理又有很多很多很有趣的東西，比如說巴拿赫塔斯基悖論，不過這個東西已經超出我們今天的討論內容了）。下面我們用反證法證明 $C$ 就是一個不可測集。

令 $mathbb{Q}』=mathbb{Q}cap[-1,1]$ 為 -1 到 1 之間的所有有理數，顯然 $mathbb{Q}』$ 是可數的。對於每一個 $qinmathbb{Q}』$ ， $q+C$ 構成 $C$ 的一個平移，假設 $C$ 是可測的，那麼 $q+C$ 也是可測的，並且 $mu(C)=mu(q+C)$ 。根據 $sigma-Algebra$ 的定義， $igcup_{qin mathbb{Q}』}(q+C)$ 也是可測的。此外，我們還有對於任意不相等的 $q_1,q_2inmathbb{Q}』$ ， $(q_1+C)cap (q_2+C)=emptyset$ 。這個很好證明，假設不是這樣，那麼我們有 $x_0in (q_1+C)cap(q_2+C)$ ，於是 $x_0=q_1+c_1=q_2+c_2$ ，其中 $c_1,c_2in C$ 。於是 $c_1-c_2 = q_2-q_1inmathbb{Q}$ 根據前面等價類的定義， $c_1 和 c_2$ 應該是屬於同一個等價類，但是我們在構造集合 C 的時候只從每個等價類里選擇了唯一的一個元素，因此必須是 $c_1=c_2$ ，又由於 $q_1 eq q_2$ ，知道 $c_1 eq c_2$ ，矛盾。故 $q_1+C 和 q_2+C$ 互不相交。

由於任意平移兩兩互不相交，由測度的可列可加性，我們有：

$muleft(igcup_{qin mathbb{Q}』}(q+C) ight) = sum_{qinmathbb{Q}』}mu(q+C) = sum_{qinmathbb{Q}』}mu(C)$

由於我們假定 $C$ 是可測的，所以 $mu(C)$ 應該是一個確定的數，如果 $mu(C)=0$ ，後面這個級數也等於 0 ；如果 $mu(C) >0$ ，那麼這個無窮項求和將得到 $infty$ 。為了方便，我們將這個值記為 L 。下面我們證明 L 既不能等於 0 也不能等於 $infty$ ，從而得到矛盾，因此 C 不可能是可測的。

首先注意到，對於任何 $x^*in[0,1]$ ，它一定屬於我們之前得到的那一堆互不相交的等價類中的一類，也就是說，存在一個 $c^*in C$ ，使得 $x^*-c^*=q^*in mathbb{Q}$ 。又由於 $x^*$ 和 $c^*$ 都是 [0,1] 區間中的數，所以它們之差被限制在 [-1,1] 區間內，因此 $q^*inmathbb{Q}cap[-1,1]=mathbb{Q}』$ 。也就是說， $x^*$ 實際上屬於我們上面構造的眾多互不相交中的平移中的某一個。由於 $x^*$ 是任取的，我們得到如下包含關係：

$[0,1]subset igcup_{qinmathbb{Q}』}(q+C)$

由測度的單調性，我們有 $1=mu([0,1])leq L$ ，因此 L 不能等於 0 。另一方面，由於 $mathcal{Q}』$ 里的每個數都是在 [-1,1] 區間內的，而 C 里的數則在 [0,1] 內，因此所有的平移，以及它們的並組成的集合中，所有的數字都不會超出 [-1,2] 區間。再一次利用測度的單調性，我們得到 $Lleqmu([-1,2])=3$ ，從而 L 也不可能等於 $infty$ 。於是我們證明了 C 是不可測的。