第九課：矩陣的範數
在所有的數學思想中，歸納和演繹永遠都是站在舞台中最光鮮的位置。我們上一節介紹了向量
的範數之後，這一節就來介紹矩陣的範數。我們可以看成向量是特殊的矩陣，矩陣是推廣了的
向量。
矩陣滿足線性空間的8條性質，所以我們可以說矩陣是線性空間。同樣的我們可以驗證向量也
滿足線性空間的要求，這是矩陣和向量的共性。我們還記得在Kronecker積那一節中，介紹了
Vector轉化的概念。m×n維矩陣可以轉化成m×n維空間的向量。因此我們在學習過程中可以將
矩陣和向量結合起來學習。
我們不要忘記，引入範數的目的是為了進行度量。就如同我們之前介紹內積的概念一樣。所有
的向量空間都可以定義內積空間，引入內積不是目的，引入內積之後，就可以引入夾角長度等
概念。這個空間就變得可以度量了。
額外說一點的是並不是只有線性空間才有範數的定義，任意空間都可以引進範數（這樣的空間
我們稱為賦范空間），使得這個空間可以被度量。如希爾伯特空間等。
矩陣範數的定義
好了，下面我們進入本節的主要內容。首先介紹一下矩陣範數的定義：
通常情況下我們對於矩陣範數的定義還有加上這一條
即相容性。
相容性
我們對於矩陣的1範數，2範數和無窮範數也有類似的定義：
下面給出相容性更明確的定義：
接下來舉幾個相容性證明的例題：
接下來我們把A的k列的絕對列和用全部列的絕對列和放大。或者放大B也可以，我們這裡選擇
放大B
我們下面來證明一下矩陣2範數是自相容範數：
證明過程中用到了Holder不等式取2的柯西不等式（ ），如果大家忘了，可以看看上一節的內容。因為這個證明和1範數的證明十分類似，所以我就寫的簡單
一點吧。
我們這裡只證明了1範數和2範數具有自相容性，對於無窮範數（矩陣中模最大的元素的值）而
言，是不具有自相容性的。我這裡就不證明了，大家可以自己隨意舉一個例子，很容易就驗證
這一點了。
在所有矩陣範數中矩陣2範數應用最多，矩陣2範數又稱之為Frobenius範數。
矩陣範數的性質
性質（1）過於顯然，其證明我就不說了，現在說一下（2）和（3）的證明思路：
下面談一下（3）：
在之前我們先複習一下酉矩陣的概念，我們知道一個矩陣乘以一個矩陣的轉置等式單位陣（
）在歐式空間里我們稱之為正交陣，在酉空間里我們就稱他為酉矩陣了，只是將上
標由T改為H而已。（可見正交總是如影隨形）有了這個知識基礎之後我們就可以上證明了：
關於這個性質我們有如下推論：
該推論表達了矩陣2範數的酉不變性。也就是說無論是左乘酉矩陣，還是右乘酉矩陣或者是兩
邊都乘酉矩陣。矩陣2範數都保持不變。
寫在最後的話：
本節內容我們介紹了矩陣範數，可是卻用很大的篇幅來相容性及其相關定理。是因為相容性這
個概念在數值分析領域的迭代方法裡面有很大應用。無論是高斯-賽德爾迭代還是雅可比迭代
都中常常用到了相容性這個概念。因為我寫的是矩陣理論，關於數值分析的內容我就不展開寫
了。我們在下一節運算元範數中還會繼續用到相容性這個概念。
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