什麼是模態振型？

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模態分析實旨是一種坐標變換方式，是將物理空間上耦合的運動方程變換成一組單自由度系統的運動方程的過程，那麼變換後的單自由度系統與我們通常所說的單自由度相同嗎？模態分析最終目的是獲取模態參數，也就是獲得頻率、阻尼和振型信息。頻率和阻尼也稱為極點，模態振型也稱為模態向量，那到底什麼是模態振型呢，它又起什麼作用呢？

本文主要介紹以下內容：

1. 模態中的單自由系統；

2. 模態振型的定義；

3. 模態振型的性質；

4. 模態振型縮放方法。

1.模態中的單自由度系統

從計算角度上講，模態分析是將物理空間上複雜的，耦合的運動方程通過特徵值求解和模態變換方程變換到模態空間，在模態空間這組物理空間上耦合的方程變成了一組解耦的單自由度系統的運動方程，所圖1所示。我們可以將圖1中的物理模型分解成一組單自由度系統，如圖中所示的藍色1階、紅色2階和綠色3階等等。模態空間使得我們更易於用單自由度系統去描述結構系統。

圖1 模態坐標變換

從試驗模態分析角度上講，通過對測量的頻響函數進行曲線擬合，提取到各階模態參數，每階模態都是單自由度系統，如圖2所示，試驗模態分析將圖2中上面的FRF曲線分解成下面的三個單自由系統。

圖2 試驗模態分析中的三階模態

通過之前的文章《什麼是固有頻率？》，我們已經明白：1個自由度對應1階模態（包括頻率、阻尼和振型）。如圖3所示為自由-自由梁的第1階彈性模態，測量自由度為15，也就是說由這15個測量自由度繪得第1階的模態振型如圖3所示。這階模態是一個單自由度系統，但是在這個振型中卻有15個測量自由度，而不是1個測量自由度，那麼，模態中的單自由度與我們平常所說的自由度相同嗎？一個測點一個方向是一個自由度，在這個梁中它有15個測點，每個測點僅測量一個方向，因此，它有15個測量自由度。

圖3自由-自由梁第1階模態振型

首先，讓我們回顧一下自由度的定義。自由度是確定系統在空間上運動所需要的最少、獨立的坐標系的個數。在這個梁結構中，一個測點是一個自由度，共有15個自由度，但是在這階模態振型中，只要確定其中任何一個測點的振型值（也稱振型係數），那麼其他測點的振型值也就確定了（包括方向），也就是說每個測點之間都存在特定的關係，而這種特定的關係就是由這階模態振型所決定的，因此，只需要使用一個自由度就可以確定這階模態的振型，所以，一階模態稱之為一個單自由度系統。因而，模態中的單自由度系統跟我們平常所說的單自由度是相同的。一階模態稱為一個單自由度系統，這時跟測點數量沒有關係，因為，每個測點之間都有固定的關係，這個關係就是由模態振型決定的。

2. 模態振型的定義

從計算模態的角度來講，由特徵值求解得到的特徵值和特徵向量，分別對應一階模態頻率和模態向量（當然也可能存在重根）。模態振型，也稱為模態向量，模態振型向量，模態位移向量。模態振型是結構節點或測點的函數，如有限元模型節點數（注意不是模態中的節點）上萬，甚至上百萬，那麼，模態振型就是這些節點的函數。而在試驗模態中，由於測點數量遠小於有限元模型的節點數，通常測點數從數個到數百個，因此，試驗模態振型就是這些測點的位置函數。由於結構有無限多階模態，因此，每一階模態振型都不相同，也就是模態振型除了是結構位置的函數之外，還是模態階數的函數。

對計算模態而言，由於節點數成千上萬，因此，對於描述每一階模態振型來說，這些節點數量總是足夠的。但對於試驗模態而言，為了合理地描述模態振型，要求測量自由度必須足夠，不然不能唯一地描述所關心的模態振型，還可能存在空間上的混疊。

模態振型，通俗地講是每階模態振動的形態。但從數學上講，模態振型是模態空間的「基」向量。在線性代數中，基向量是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。在模態空間，這個基向量的個數就是模態的階數。

在進一步介紹模態振型之前，先讓我們介紹回顧一下二維空間上的一些特徵。在二維空間，也就是直角坐標系中，相應的基向量是（1，0）和（0，1）。二維空間，如圖4所示，空間上任一坐標都可以用這兩個基向量來表示（當然這個相當簡單）

圖4 二維空間

而在模態空間中，對應的為模態向量與模態坐標，模態向量就是模態振型，是模態空間中的基向量。而模態坐標是加權係數，是各階模態對響應的貢獻量。因此，對於線性時不變系統而言，系統任一點i的響應均可表示為各階模態值與模態坐標q的乘積，即各階模態在這個位置產生的響應的線性疊加

式中φir為第i個測點的第r階模態振型值，N表示模態階數。由M個測點的振型值所組成的列向量，就是第r階模態向量

它反映的是該階模態的振動形狀，即這階模態振型。由各階模態向量組成的矩陣稱為模態矩陣，記為

它是一個M×N的矩陣。將各階模態坐標記成

因此，各個測點的響應為

可以簡記為

通過上式，我們可以明白，結構任何一點的響應都可以用模態向量與模態坐標的乘積來表示，這也驗證了模態分析實質上是一種坐標變換方式。從這也可以驗證普通的振動測試是模態的表象，實質起作用的還是模態。或者可以說，通常我們測試的響應是處於某種運動狀態下的結構被激起來的那些模態在測量位置處的疊加。

由於頻響函數為複數，得到的模態振型值也為複數，因此，可以用幅值與相位或實部與虛部來表示模態振型值。在這，給出一個自由-自由梁第1階彈性模態振型實例。對一根自由-自由梁劃分了15個測點，通過試驗模態分析得到的第1階模態振型如圖3所示，這15個測點的模態振型值如表1所示。另一方面，雖然振型值有實部與虛部，但當振型動畫時用的是幅值與相位來顯示。幅值表示了運動幅度，而相位則表明了運動方向。

表1 梁的第1階彈性模態振型

3. 模態振型的性質

模態振型具有以下性質：

1）模態振型為相對量，可任一縮放。也就是說各個位置的振型係數是相對的，可以將各階模態振型乘以任何一個非零數，仍為同一階模態振型。有時，在動畫顯示時，都可以看到振型要破屏而出，這時，實際上是振型放大了很多倍。只有當模態向量乘以了模態坐標，這時得到的結果（也就是響應）才是絕對值。

2）用位移表示（應變模態除外）。模態測試的響應感測器類型可以是位移、速度和加速度，但最終得到的模態振型值一定是用位移表示，跟響應感測器類型沒有關係，這也是我們稱常規模態為位移模態的原因所在。

3）模態向量關於質量和剛度矩陣正交。注意正交性不是指模態向量彼此之間正交，而是指通過坐標變換到模態空間得到的模態向量是關於質量和剛度的加權正交。正交性是使系統方程解耦而進行坐標變換的基礎。如果模態向量彼此是正交的，那麼MAC矩陣就可以做正交性檢查了，但實際是MAC不是做正交檢查的，而只是檢查各階模態振型之間的相似程度。

4）模態振型是局部特徵。模態參數頻率和阻尼是結構的全局特徵，從一個測點（避開各階模態的節點）理論上就可以得到所有模態的頻率和阻尼，而想得到模態振型就必須測量許多測點，因此，模態振型是結構一種局部特性。

5）模態振型是位置的函數。從表1也可以看出，同一階模態，測點位置不同，振型係數也不相同，因此，模態振型是位置的函數。另一方面，不同階的模態，即使同一位置，振型係數也不相同。

4. 模態振型縮放方法

由於模態振型是相對量，因此，可以任一縮放，常用的縮放方法有質量歸一法、剛度歸一法、最大元素歸一化等。

質量歸一法：各階模態質量設置為1，得到模態振型。由於模態質量、模態剛度和模態阻尼都是相對量，因此，可任何設置其中一個為1。當對比試驗模態振型與計算模態振型時，通常使用質量歸一法。

剛度歸一法：各階模態剛度設置為1，得到模態振型。

模態a矩陣歸一法：模態a矩陣是一個對角陣，是模態變換過程中的一個中間矩陣（關於它的詳細介紹請閱讀模態書籍）。將模態a矩陣設為單位陣，得到模態振型。

模態向量歸一法：取模態振型中各測點的模態振型係數的平方和等於1，得到模態振型。

最大元素歸一法：將模態振型中振型係數最大的設為1，得到模態振型。

任意元素歸一法：將選擇的測點的振型係數設定為1，得到模態振型。如果剛好選擇的是振型係數最大的測點，那麼將與最大元素歸一法得到的振型相同。

--------------THE END------------------

擴展閱讀

1.什麼是固有頻率？

2.什麼是模態分析？(上)

3.什麼是模態分析？(下)

4.什麼是錘擊法？

5.什麼是激振器法？

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