第七課——從地面開始

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//所以我就更了……

前面的內容講了星際轉移的一些內容，而幾乎所有的航天器的發射地點都是地球。雖然「阿波羅」系列宇宙飛船的登陸器是從月球上發射的，但依舊無法改變航天器是從地面發射的事實。

就地球表面發射而言，從地面到入軌的這一段開始的路程雖然很短，但實際上是航天器耗能最大也是最危險的一段路程。因為這一段路程不僅要穿過地球大氣層，還需要進行必要的姿態控制，同時，發射質量幾十噸到幾千噸的火箭也是一個十分巨大的燃料庫，稍微出問題就是一場盛大的煙花表演。因此，這個內容也是十分重要的。

火箭在發射到入軌這一整個飛行的階段中，可以區分為兩個階段：第一個階段為火箭發動機啟動動力，推動航天器向太空飛行的階段，由於這一階段的主要動力來源是來自火箭主體，因此稱為「主動段」或「加速段」；第二個階段就是火箭發動機燃燒完畢，航天器受地球重力作用進行滑行的階段，由於這一階段的主要動力來源已經失去（或者暫時靜默），因此稱為「被動段」或「自由飛行段」。

這一點在彈道導彈上體現得尤為明顯——在不考慮末端機動的情況下，彈道導彈在主動段加速完畢之後，即進入被動段，再入大氣層，直到命中目標為止。在整個發射過程中，就僅存在這兩段。

當然我們要發射的是航天器，進入被動段之後，如果不及時啟動發動機進行加速的話，我們的航天器也是不可避免地要面臨再入大氣層而隕落的命運的。在上圖中，最後我們又有了一個加速段，就是為了最終入軌。

就整個發射流程而言，由於被動段是依靠衛星慣性前進的，因此我們是不希望在主動段結束後，衛星還在大氣層內，因為這意味著衛星還需要受到空氣阻力的作用，不利於入軌。「長征五號遙二」運載火箭的發射失利，可能就是因為在損失一台芯級發動機導致推力不足，因此在其主動段結束後，火箭整體依舊在大氣層內，最終導致衛星於太平洋滅失。

因此，我們希望主動段能在大氣層內進行，而且由於空氣阻力在高速的情況下會隨著速度增加而迅速增加，由此帶來的動能損失以及熱效應將對航天發射帶來很大的影響，因此我們同樣希望火箭能儘可能地快速衝出大氣層。

但事情也不會這麼簡單就完了的。運載火箭為了儘可能地增大運力，其結構質量往往佔比很小——這也就意味著火箭實際上是比較脆弱的，因此我們也不能讓其進行過大的機動。這也意味著直接上去，暴力轉向，是不可能的。

對於某魔法遊戲而言，能做眼鏡蛇機動的運載火箭，在實際中顯然是……

火箭在大氣層內飛行的時候，其受力如圖：

其中，v為火箭飛行的切向速度，D為火箭受到的空氣阻力，Mg為火箭受到的重力，Mn為火箭受到重力的向心分力，θ為火箭飛行方向與水平的夾角，T為火箭產生的推力，δ為推力與火箭運行方向的夾角，L為火箭受到氣流作用而產生的升力。

由此，有火箭的切向運動方程：

$frac{dv}{dt}=-frac{D}{M}-gsin heta-cfrac{dM}{dt}frac{cosdelta}{M}$ ，式中c為發動機噴氣速度。

又由於軌道是彎曲的，因此按照曲率定義，假設s為火箭運動距離，則有 $frac{1}{R}=frac{d heta}{ds}$

得到火箭向心加速度 $frac{v^{2}}{R}=v^{2}frac{d heta}{ds}=vfrac{ds}{dt}frac{d heta}{ds}=vfrac{d heta}{dt}$

由此，有火箭的徑向運動方程：

$vfrac{d heta}{dt}=frac{L}{M}-gcos heta-cfrac{dM}{dt}frac{sindelta}{M}$ ，式中c為發動機噴氣速度。

一般而言，地面起飛的火箭，其初始θ值為π/2，初始時間t=0

那麼為了轉向，我們需要令 $frac{d heta}{dt} e0$ ，此時 $delta e0$ ，也就是說，此時我們需要對發動機的推力方向進行調整。

為了進行說明，我們將切向運動方程變形：

$dv=-frac{D}{M}dt-gsin heta dt-ccosdeltafrac{dM}{M}$

由於我們需要對cosδ進行改變，而δ可以變得很小（因為發動機推力很大，微小的改變就能帶來比較明顯的偏轉）。因此cosδ可以認為是1。

將上式積分，有：

$int_{0}^{v}dv=-int_{0}^{t}frac{D}{M}dt-int_{0}^{t}gsin heta dt-int_{M_0}^{M}ccosdeltafrac{dM}{M}$

顯然可以得出：

$v=-int_{0}^{t}frac{D}{M}dt-int_{0}^{t}gsin heta dt+clnfrac{M_0}{M}$

注意到了嗎，最後一項就是我們熟悉的齊奧爾科夫斯基公式！

以上的計算是針對一級火箭的，如果是多級火箭的話，我們就相當於在一級火箭的基礎上再進行累加，從而可以得到：

$v_n=sum_{i=1}^{i=n}{c_ifrac{M_0^{(i)}}{M^{(i)}}}$ ，值得注意的是， $M_{0}^{(i)},M^{(i)}$ 隨著i的變化而變化。

那麼在整個火箭熄火的時候，末速度有：

$v$

那麼現在繼續討論前面兩項。

就第一項阻力而言，我們知道阻力D與火箭橫截面成正比，而質量M又與火箭體積成正比。

因此它們的比值就是1/長度。

那麼我們可以得出，火箭越大，其受到的阻力的影響越小。

運載火箭高度基本為幾十米到一百多米，因此這個影響是比較小的。

而且火箭在起飛的時候，速度是一個逐漸增加的過程。往往低速段在大氣層內，等到火箭的速度足夠大的時候，其往往已經飛出稠密的大氣層了，因此就這點而言，阻力的影響也是比較小的。

就第二項重力而言，我們可以模擬情景，簡單計算一下來加以闡明。

現假設一火箭，自起飛（T=0）至T+7s時垂直飛行，在T+7s至T+87s開始轉向，勻速轉至π/6，T+87s至T+160s保持速度方向不變，並於T+160s熄火（此時已飛出大氣層）。

那麼我們來進行簡單的計算，將數字代入即可。

$gint_{0}^{160}{sin heta}dt=gint_{0}^{7}{sin heta}dt+gint_{7}^{87}{sin heta}dt+gint_{87}^{160}{sin heta}dt\=gint_{0}^{7}{sinfrac{pi}{2}}dt+gint_{7}^{87}{sin heta}dt+gint_{87}^{160}{sinfrac{pi}{6}}dt\=7g+gint_{7}^{87}{sinfrac{dt}{d heta}}d heta+frac{1}{2}(160-87)g\approx(7+66.1+36.5)g=1074m/s$

一般我們認為，重力與阻力因素加起來的速度損失至少為1100m/s左右。

這也是為什麼第二課的題圖中，dv表的第一圈，地面到低地球軌道（LEO）需要9000m/s的速度增量，而不是第一宇宙速度的7900m/s。

つづく……