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【雜談】Runger-Lenz-Laplace矢量雜談（氫原子篇）

01-24

專門開個帖子，寫點Runger-Lenz-Laplace矢量這個在天體運動、氫原子問題都有很大意義的守恆量。Runger-Lenz-Laplace矢量體現的是動力學 $SO(4)$ 對稱性，我昨天看到這個問題知乎用戶：如何用諾特定理給出拉普拉斯榮格楞次矢量？之前，手裡正好在用Runger-Lenz-Laplace矢量解氫原子問題，所以讓我第一眼就關注這個問題了，這個問題下WiDeCourage大神回答的很好。

今天寫第一部分：氫原子的能級，也就是昨天我乾的，用Runger-Lenz-Laplace矢量解氫原子。慢慢填坑。

首先我們考慮軌道角動量算符 $hat{l}$ 的一個重要性質

$hat{l} imes hat{A}+hat{A} imes hat{l} =2ihbarhat{A}$

其中 $hat{A}$ 是以下力學量 $hat{A}=hat{r},hat{p},hat{l},hat{r} imes hat{p},hat{p} imes hat{l}$ ;

譬如對於 $hat{A}=hat{r}$

$hat{l} imes hat{r}=-hat{r}(hat{p}cdot hat{r})-ihbarhat{r}+hat{r}^2hat{p}$

$hat{r} imes hat{l}=hat{r}(hat{p}cdot hat{r})+3ihbarhat{r}-hat{r}^2hat{p}$ ;

相加得到 $hat{l} imes hat{r}+hat{r} imes hat{l} =2ihbarhat{r}$ ；

在量子力學系統中，定義Hamiltonian算符為：

$hat{H}=dfrac{hat{p}^2}{2m}-dfrac{k}{r}$ ,其中 $k=dfrac{e^2}{4pi varepsilon_0}$ ;

定義離心率矢量算符 $hat{e}=dfrac{hat{p} imes hat{l}-hat{l} imes hat{p}}{2km}-dfrac{hat{r}}{r}$ ，

它實際上是Runger-Lenz-Laplace算符 $hat{B}=dfrac{(hat{p} imes hat{l}-hat{l} imes hat{p})}{2}-kmdfrac{hat{r}}{r}$ 的一種約化；

對應於經典Runger-Lenz-Laplace算符 $vec{B}=vec{p} imesvec{l}-kmdfrac{vec{r}}{r}$ .

可以證明 $hat{e}$ 有如下性質

$hat{e} cdot hat{l}=0$ ,即離心率算符正交於角動量算符；
$[hat{e},hat{H}]=0$ ,即離心率算符為守恆量；
$hat{e}^2=1+dfrac{2}{k^2m} hat{H}(hat{l}^2+hbar^2)$ ,對應於經典情況下 $e^2=1+dfrac{2EL^2}{mk^2}$ ;
$hat{e} imes hat{e}=-dfrac{2ihbar}{k^2m}hat{H}hat{l}$ .
$hat{l} imes hat{e}+hat{e} imes hat{l} =2ihbarhat{e}$ .

現在我們可以用它做點實事了，譬如來求氫原子的束縛態能級

定義約化算符 $hat{a}=sqrt{dfrac{k^2m}{2hat{H}}}hat{e}$ ;

對易關係寫作

$hat{l} imes hat{a}+hat{a} imes hat{l} =2ihbarhat{a}$
$hat{a} imes hat{a}=2ihbar hat{l}$

引入算符 $hat{I}=dfrac{1}{2}(hat{l}+hat{a})$ ,

及 $hat{K}=dfrac{1}{2}(hat{l}-hat{a})$ ;

顯而易見的 $hat{I}^2=hat{K}^2=dfrac{1}{4}(hat{l}^2+hat{a}^2)$ ,

以及對易關係

$[hat{I}_i,hat{K}_j]=0$ ;
$hat{I} imes hat{I}=ihbar{I}$ ;
$hat{K} imes hat{K}=ihbar{K}$

我們可以看到，這玩意就是三維情況下的居位數升階算符和降階算符！（我們在諧振子理論的代數解法當中用過！！！）我們可以利用它派生出所有三維球對稱情況下的Coulomb勢的能級

這些算符的本徵值取值為 $I,K=0,dfrac{1}{2},1,dfrac{3}{2},dots$ ;

我們反解出Hamiltonian, $hat{H}=-dfrac{k^2m}{2(4hat{I}^2+hbar^2)}$ ,

即解出 $E=-dfrac{k^2m}{2(4I(I+1)hbar^2+hbar^2)}$

若令 $n=2I+1$ (即所謂主量子數)，

我們就得到Hamiltonian的本徵值，即能級

$E=-dfrac{k^2m}{2n^2hbar^2}$

這就得到了氫原子能級的解

這就是所謂氫原子能級的代數解法！

經典力學的Runger-Lenz-Laplace矢量在量子力學中竟然大放異彩，這是我們始料未及的，這個系列的下一篇，我們將談談Runger-Lenz-Laplace矢量與Neother定理和正則變換的關係。

我有個雄心壯志，把等到我畢業的那天將自己的講義付梓：

完全背離傳統的物理學講義，記錄下最真實和另類的物理學與物理思維，

我想在第一頁寫下

「謹以此書，獻給出現在我大學生涯的S姑娘。」

儘管她就要離我而去。

下期預告：

《非相對論性路徑積分表述》

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