關於量子力學（二）

01-24

沒寫東西太多了，不打算把它們都仔細寫出來了。原本是打算從最基礎的概念一點一點開始仔細寫的，可是要花的時間太多了。於是，於是就棄坑了。寫的粗糙一點好了。

一，關於量子力學的公理：

這在知乎上已經有一個回答了，無論是通常復可分Hilbert space $H$ 中態矢的 $psi$ 表述，還是用密度算符 $ho$ 的表述，都有答主做了說明。這裡就不再贅述了（偷個懶）。

我一直覺得，任何一本量子力學教材都應該專門開闢出一節或者一章的內容專門講解量子力學的公理（而不是把他們散放到各個章節）。學完牛頓力學我們知道整個力學體系建立在牛頓三定律的基礎上，所有的分析都基於這三個定律展開。對於量子力學來說也應如此。

二，關於狄拉克符號：

考慮有限維的例子是有幫助的， $H$ 作為態矢空間，我們考慮其對偶空間 $H^*$ ，即 $H$ 上全體線性泛函， $psi^*:H o C$ 的集合。在有限維的情況下， $H$ 與 $H^*$ 維數相等，故它們是同構的。但是它們之間的同構映射依賴於人為的選取。不過由於 $H$ 上裝備了內積，我們就可以利用內積給出一個同構映射 $i:H o H^*$ 。具體來說，對於內積 $(cdot,cdot):H imes H o C$ ，先給定一個矢量 $psi in H$ 可以得到： $(psi,cdot) o C$ ，這是一個對偶矢量。故通過內積，我們可以給出同構映射 $psi o psi^*$ ，其中 $psi^*:(psi,cdot) o C$ 。

考慮無限維的情況，對一般的矢量空間來說 $H$ 與 $H^*$ 之間的映射 $i$ 僅僅是單射，並不能保證二者同構。但是 $H$ 還是一個Hilbert space。那麼我們有Riesz定理保證了同構的存在。對於無限維的情況，我們依然不用區分左右矢，可以很好地使用狄拉克符號進行內積運算。

三，關於自伴運算元：

1，有界運算元：

有界運算元相比無界運算元來說是方便的，在考慮無界運算元之前我們先來看有界運算元。

由於同構映射 $i:H o H^*$ 的存在， $H$ 與 $H^*$ 已經完全等價了。對於 $H$ 上的運算元 $A:H o H$ ，我們自然希望 $H^*$ 上有一個與之對應的運算元 $A^*$ 。這個運算元可以定義為： $(A^*psi^*)(f)=psi^*(Af)$ ，其中 $psi^*in H^*$ ， $fin H$ ，稱之為對偶運算元。於是乎改定 $H$ 上的運算元 $A$ ，就有 $H^*$ 上的運算元 $A^*$ 與之對應。使用狄拉克符號時，由於 $(A^*langle a|)|b angle= langle a|(A|b angle)$ ，所以我們可以將其直接簡記為 $langle a|A|b angle$ 。

現在，利用同構映射 $i$ ，定義 $H$ 上運算元 $A^dagger=i^{-1}circ A^*circ i$ ，也就是說，對於 $psiin H$ ，先利用同構映射將其變成 $psi^* in H^*$ ，再用對偶運算元作用得到 $A^*psi^*$ ，再利用同構映射「拉」回來得到 $i^{-1}(A^*psi^*)$ 得到的就是像 $A^{dagger}psiin H$ 。如果 $A=A^{dagger}$ ，則 $A$ 稱為自伴運算元或者厄米運算元，其滿足 $(f,Ag)=(A^{dagger}f,g)$ ，其中 $f,gin H$ ，我們也可以將該式作為自伴運算元的定義。

2，無界運算元：

對於無界運算元而言，我們需要注意定義域的問題。此時自伴運算元與厄米運算元不再相同。考慮有界自伴運算元的定義： $(f,Ag)=(A^{dagger}f,g)$ ，給定 $fin H$ ，由於 $A$ 是有界的，故 $g o (f,Ag)$ 是 $H$ 上的有界泛函。由此我們可以利用Riesz定理保證 $A^{dagger}f$ 的存在性。但是，當 $A$ 是無界運算元時，相應的泛函也是無界的，此時我們無法使用Riesz定理保證 $A^{dagger}f$ 的存在性，從而無法定義無界自伴運算元的概念。不過，由於無界運算元 $A$ 的定義域 $Dom(A)$ 是 $H$ 的稠密子空間，這允許我們將泛函 $g o (f,Ag)$ 延拓為 $H$ 上的有界泛函。相應的就可以保證 $A^{dagger}g$ 的存在性。

同樣是由於無界運算元定義域的問題，無界運算元的厄米性與自伴性也是有區別的，厄米運算元僅僅要求 $(f,Ag)=(Af,g)$ ，其中 $f,gin H$ 。而自伴運算元則要求 $A=A^{dagger}$ ，即 $A$ 和 $A^{dagger}$ 完完全全相同。對於厄米（非自伴）運算元， $A^{dagger}$ 的定義域會略大於 $A$ ，從而二者不完全相同。

四，關於量子化：

經典力學： $frac{df}{dt}={H,f}$ ； ${q_i,p_i}=delta_{ij}$ 。

量子力學： $frac{dhat{f}}{dt}=frac{i}{hbar}[hat{H},hat{f}]$ ； $[hat{q_i},hat{p_i}]=ihbardelta_{ij}$ 。

我們可以看到，描述宏觀物體運動的經典力學與描述微觀物體運動的量子力學形式上是何其的相似。所以，我們不自覺的就想要把這倆聯繫起來。我們想去定義一個從函數到運算元的映射 $Q$ ，從而完成所謂的量子化的過程。具體來說：

$Q(1)=hat{I}$ ； $Q(x)=hat{X}$ ； $Q(p)=hat{P}$ ； $Q({f,g})=frac{1}{ihbar}[Q(f),Q(g)]$ 。

然而，Groenewold證明了：這種東西是不存在的。也就是說，這兩個理論的形式雖然相似，但是直接這樣去考慮它們的聯繫是行不通的。而在量子力學的通常操作中，我們會直接給函數帶上「帽子」變成算符，當我們進行這種操作，僅僅只是象徵性的對照一下兩者罷了。I have an operator $hat{p}$ ,I have a function $p$ ......

現在，考慮量子力學中那個重要的常數 $hbar$ ，這是經典力學中沒有的。我們希望在 $hbar o 0$ 時可以完成從量子到經典的過渡，即：當 $hbar o 0$ 時，對易子過渡到泊松括弧；非對易運算元代數的乘法過渡到對易的函數代數乘法。具體來說，利用相空間上的泊松結構定義 $C^infty(M)[[hbar]]$ 上的star product $star$ ，它反映運算元的非對易性，即： $[f,g]=fstar g-gstar f=ihbar{f,g}+O(hbar^2)$ ； $fstar g=fg+O(hbar)$ 。相互等價的star product對應相同的泊松結構，進一步的等價類 $[pi_{hbar}]$ 與 $[star]$ 之間同構，對於一般的泊松流形來說，star product $star$ 依然是存在的。由此，當 $hbar o 0$ 時，可以完成量子力學到經典力學的過渡。

這裡也可以用另一種方法考慮這個過程，舉個簡單的例子：對於相空間 $N=T^*M$ ，其上辛結構為 $omega=d heta$ 。由此定義 $N$ 上平凡線叢聯絡為： $abla_X=X-frac{i}{hbar} heta(X)$ 。 $eta$ 為 $M$ 上的定向，則： $alpha=pi^*(eta)$ 。選取 $T_xM$ 上的切空間作為 polarization $P$ ，相應的Half-form Hilbert space $L^2(M,eta)$ 中的元素即為： $s=(psicircpi)otimessqrt{alpha}$ ，且 $Arrowvert s Arrowvert^2=int_M|psi|^2eta$ 。

五，關於態的演化與變換：

由於演化中物理上始終要保證概率守恆，即態矢始終要滿足歸一化的要求，故描述演化或變換的一定是酉運算元。對於態隨時間的演化或者某個連續的變換可以用酉運算元群 $U(t)=e^{iAt}$ 描述，其中 $A$ 為自伴運算元。

具體來說，考慮態隨時間的演化時： $U(t)=e^{-frac{i}{hbar}hat{H}t}$ 。考慮態的某個連續變換 $G imes H o H$ 時： $U(t)=e^{tpi(X)}$ ，其中 $U(t)$ 和 $pi(X)$ 即為相應Lie群 $G$ 和其Lie代數 $mathfrak{g}$ 在 $H$ 上的表示。

六，關於表象變換：

由於態矢空間是可分的，故其存在可數正交基。一般來說我們會利用某個自伴運算元的本徵矢作為正交基底來張成 $H$ 。給定一組基底 ${e_n}$ ，對於任意量子態 $|psi angle$ ，我們只要確定基底前的係數就可以確定 $|psi angle=egin{pmatrix} c_1 \c_2 \ cdot \ cdot end{pmatrix}$ 。這個態的表示方式依賴於所選的基底，當我們利用某一酉運算元 $U$ 改變基底時表出係數也會改變。選定某一基底表出態矢時，稱作選定了某一表象；相應的不同基底之間的變換稱為表象變換。