線性代數選講：從相似對角型談起

這是一個系列講義的第三篇文章，它的前兩篇是：

主線問題：好教材的首要標準 - 知乎專欄

在數學上，沒有任何東西是理所當然的 - 知乎專欄

「這個定理究竟有什麼價值？」——這是所有學生在學習每一條定理時首先關切的問題。

當一個人問出某樣東西「有什麼用」——我認為這是一個及其有價值的提問——時，也許某些老師會認為這個學生只不過是一個急功近利的精緻利己主義者，但我感覺能夠問出這個問題、表明這個學生試圖找到眼前這個新概念與其他東西之間的聯繫；我說的「其他東西」，既包含該學生認知範圍內已有的舊知識；也包含這個學生試圖去了解的新知識。

總而言之，一個老師在講述新知識時、面對學生「這個東西有什麼用」的提問，如果他引領得好，那他要麼可以幫助學生將這個新概念牢固地植入其舊有的知識體系中以強化其根基；要麼可以引導激發學生探索更多的新知識，為他未來的學習留下一種好奇與渴望。

儘管、在世界任何一個地方、任何一個時代，能夠把知識講明白的數學老師有很多；但讓人感到沮喪的是：有能力（或者說願意花心思）仔細為學生解釋清楚「這個概念為什麼要這樣定義？」以及「這條定理有什麼用？」的老師卻永遠屈指可數。

甚至，在某些時候，一些無法為學生解釋清楚某些重要知識究竟「有什麼用」的老師（或許是他們的能力也根本不足以解釋這些問題）還試圖援引某些哲學中所謂「無用之用」的神秘主義方法論隱藏自己教學上的無能為力——這種情形是極其令人感到遺憾的，它用最野蠻的方式直接掐滅了學生求知的原始動力、也令「教育者」這個稱號蒙羞。

而那些能夠克服這種困難，竭力向學生們解釋清楚知識的由來以及用處的老師：其授課講義也許能夠成為傳世經典；其培養出的學生獲許有望成為一代大家。

譬如，每一個學習分析學的學生都會聽老師提到Stein教授在普林斯頓大學指導數學系本科生學習分析學的四本講義—— Fourier Analysis Complex Analysis Real Analysis Functional Analysis —— 這些書就非常完美地解釋了一個好老師講課時的重要標準：把概念的起源講清楚（我們為什麼要這樣定義）、把定理的價值說明白（這個定理有什麼用）。

至少、我在大學三年級學習PDE入門課程時聽老師講Laplace & Fourier Transform時不斷提到所謂的 Kernels 和 Convolutions這種概念，雲里霧裡，在讀Stein的書時它一句「Loosely speaking, convolutions correspond to weighted averages.」讓我如夢方醒；學習微分方程數值解時聽老師講Delta Functions 感覺似懂非懂，但Stein教授在講「Good Kernels」這個概念的三個條件「為什麼要這麼定義」時的一個腳註讓我明白了Delta Functions究竟是幹什麼用的！

回到我要做的事兒上。

在我剛剛進入大學，成為一名數學系學生的時候，學習《數學分析》和《線性代數》這門課基礎課程，第一次接觸到「相似對角化」這種大運算量的矩陣操作時，我最想知道的問題是：我們費這麼大力氣把方陣進行相似對角化，那相似對角型有什麼意義？判斷方陣可否相似對角化的條件在整個課程中是怎樣的地位？

你們都知道、我在知乎上陸續開講了一系列有關線性代數的Live。

在上一講《線性代數進階：從映射到方程》中，我們談到了「線性空間、線性映射、矩陣、特徵值與特徵向量」這些重要概念的來源，本次Live，我們將從「不變子空間」與「特徵向量」開始，解釋《線性代數》這門課程中一個重要課題——相似對角形的判別——的價值。 本次Live、希望我能以「相似對角化」為例，把「這個定理究竟有什麼價值？」這個問題解釋清楚，以幫助大家更好地理解《線性代數》這門課程。

在本次Live結束後，我同樣會為參與者發放一份電子版講義，方便大家未來學習使用；並預祝這些被整理出來的講義未來可以作為一本優秀的《線性代數》教材的一部分問世。

我是何帥。國立中央大學數學系交換生，目前正在攻讀基礎數學碩士碩士；歡迎各位加入這場Live：線性代數選講：相似對角型的價值。