電子雲長這個樣子嗎

01-26

講化學元素就總不得不講到諸如s、p軌道這些東西，但電子雲的概念太抽象，我想用儘量直觀的方式來講述它。

分類

s、p、d、f這些字母代表的是這個原子軌道的角量子數，決定了這個軌道上電子的角動量。s軌道角動量爲0，p軌道爲 $sqrt{2}hslash$ ，d軌道爲 $sqrt{6}hslash$ ，f軌道爲 $sqrt{12}hslash$ ……，而每個軌道上角動量還可以取不同的方向，我們用z軸（任意選哪個方向都行）方向上的角動量來描述角動量的方向。量子力學中很多東西都是量子化的，包括角動量的投影，在z軸上的投影只能取整數值，即0、 $pm hslash$ 、 $pm 2hslash$ 、 $pm 3hslash$ ……，圖中以諸如「|+1>」的形式來標記角動量在z軸方向上的投影。

波函數不但有大小（模的平方表示在該位置探測到粒子的概率），還有相位，相位探測不到，但會影響波的疊加、波的運動，不能忽略。圖中用色相來標記相位。

規律性很強吧，越往下，「環」的層數就越多，越往中間，「環」的層數就越多。另外，我們看左下角這個軌道（f軌道|+3>），繞z軸轉一圈顏色轉了3圈，對應的是它在z軸方向上角動量是3；其它軌道也如此，z軸角動量是幾，繞z軸轉一圈，顏色就轉幾圈。z軸角動量就是這樣體現在圖中的。

這裡要說明一點，同一個電子是可以處於疊加態的，上面每一個軌道的各種形狀的任意（要保證線性無關）疊加都是可以的。「基」與「疊加態」的概念也只是相對的，當你用疊加態作基態時，原來的基態就成了疊加態，唯一需要考慮的是基態最好選某一物理量是100%確定的態。下面兩個疊加的例子會更好地詮解這一點。

我之所以喜歡這一組基，有這麼兩個原因：

物理意義明確，每個形狀都對應在z軸方向上一個確定的角動量。即使電子仍是一團雲，沒有特定的位置，但我沿z軸檢測它的角動量（也即磁場）時，上面的每個形狀都對應一個100%確定的測量結果。其它的形狀就沒有如此明確的對應關係。
輕微的旋轉不會搞混，上面這些不同形狀間的視覺區別度很大，即使是左、右正負號的區別也在於顏色是按逆時針／順時針排列，除非你把它整個上下翻過來，否則是不會看混的。

疊加

上面一直在強調z軸，那電子可以沿其它軸轉嗎？當然可以，下面我就舉兩個例子，告訴大家其它方向是如何通過上面那組基疊加出來的。

第一個例子是一個水平方向角動量確定的軌道（疊加時，色輪中相同顏色增強，相對顏色抵消）：

當你沿z軸去檢測這個橫著轉的電子的角動量時，你有各25%的幾率得到2、1、-1、-2這四種結果。但當你沿x軸向y軸轉60°這個方向（即最下圖中心孔朝向的右前方方向）檢測角動量，會100%測得1。

在這個例子中我們也看到了另一種常見的電子雲形狀，就是第二排那兩個，以它們爲基的缺點在於物理意義不明（沿任意方向都測不出一個確定的角動量，或者其它物理量），而且轉過90°就互相之間難以分清了。

下面我們再看一個更複雜的疊加：

我們疊出了一個繞右上角這個軸轉的電子雲。當你沿z軸測量，分別有25.9%、13.9%、12.2%、5.5%、26.7%、13.9%、1.9%的幾率測出3、2、1、0、-1、-2、-3。

旋轉矩陣

一旦找出了這些旋轉坐標軸後電子雲的表達式，我們就可以用線性代數的方法去描述電子雲了。最後我給一個d軌道沿y軸逆時針旋轉90°的旋轉舉陣拋磚引玉吧，有興趣的朋友可以想想看任意旋轉的矩陣是怎樣的：

$egin{Bmatrix}a_{1}^{$

這裡 $a_{i}$ 是這樣用的： $|Psi>=a_{1}|+2>+a_{2}|+1>+a_{3}|0>+a_{4}|-1>+a_{5}|-2>$ 。