關於量子力學（一）

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這次本來是打算先給出幾條公理，然後逐個分析再展開討論的，這樣調理會比較清晰，可以看到量子力學的整個理論框架。不過，在此之前我們需要先做一些鋪墊，這次先寫點兒我們最熟悉的東西。

1，薛定諤波動方程：

在量子力學中，需要一個復可分希爾伯特空間 $H$ 作為狀態空間，我們可以通過一個不可交換的可分C*代數 $mathfrak{A}$ 的GNS構造得到它。相應的，循環表示 $pi :mathfrak{A} ightarrow mathfrak{L}(H)$ 即為： $hat{p} ightarrow -ihbar abla$ ； $hat{x} ightarrow x$ 。而 $omega (hat{A})=left( psi ,pi (hat{A})psi ight)$ 即為力學量的期望值。量子力學中的可觀測量用 $H$ 中的自伴運算元表示。

態在 $H$ 中的演化，由薛定諤方程： $ihbarfrac{partial }{partial t} |psi angle=hat{H}|psi angle$ 決定，相應的，描述系統演化的酉運算元群為： $U(t)=exp left( -ifrac{hat{H}}{hbar} t ight)$ 。在處理實際問題時，坐標表象是墜吼的。所以我們利用 $langle r|$ ，得到描述我們熟悉的波函數 $psi (r,t)=langle r|psi angle$ 隨時間演化的薛定諤方程： $ihbarfrac{partial }{partial t} psi (r,t)=hat{H}psi (r,t)$ 。而波動力學的主要任務，就是去求解這個方程。

2，波動力學：

下面我們的任務就是去解一個方程了，而當時發表這個方程文章的名字就叫做「Quantization as an Eigenvalue Problem」。考慮哈密頓量不含時的情況，我們要求解方程，首先要分離變數，然後，我們會得到幾個變（常）係數的常微分方程，然後用冪級數解法求解救OK了（展開成洛朗（泰勒）級數然後帶入方程求出係數遞推公式，進而得到一種特殊函數）。

值得注意的是，我們分離變數後所得到的常微分方程，並不是通常意義上的常微分方程，它會含有一個待定常數（分離變數的常數），這個常數要根據系統波函數的性質去確定。這個常數通常取分立值（比如能量 $E_n$ ），這些分立的值就是相應的力學量取值。更進一步的，我們將方程： $ihbarfrac{partial }{partial t} psi (r,t)=hat{H}psi (r,t)$ 分離變數，我們得到的是一些運算元的本徵值問題。例如，一維定態問題： $left( -frac{hbar^2}{2m} frac{d^2}{dx^2}+V(x) ight) psi (x,t)=Epsi (x,t)$ ，其中本徵值 $E$ 對應於粒子的能級。

綜上，我們要做的事情是：

（1）分離變數，得到希爾伯特空間 $L^2[a,b]$ 上自伴運算元的本徵值問題： $Lu=lambda u$ ，這個方程被稱為施圖姆劉維爾型方程，其中自伴運算元 $L=-frac{1}{omega (x)} left( frac{d}{dx}left[ p(x)frac{du}{dx} ight] +q(x)u ight)$ 。需要注意的是，這裡 $L^2[a,b]$ 上的內積是帶權的， $langle f,g angle=int_{a}^{b} ar{f}(x)g(x)omega (x)dx$ 。

（2）用冪級數解法求解方程 $Lu=lambda u$ ，得到相應的本徵值與本徵矢。

（3）本徵矢 $u_n$ 構成了希爾伯特空間 $L^2[a,b]$ 上的一組完備正交基，真正的波函數由這些純態波函數的線性疊加構成。表出係數需要利用系統的初態確定，即： $c_n=frac{langle u_n,psi(r,0) angle}{left| left| u_n ight| ight| ^2}$ 。以非簡併系統為例，最後的解為： $psi (x,t)=sum_{}^{} c_npsi _nexpleft(frac{-iE_nt}{hbar} ight)$ 。

綜上，波動力學本身就是在解一個偏微分方程，而分離變數後，求解出的分立的本徵值就是量子化的物理學量。只要給定勢能 $V$ ，哈密頓運算元 $hat{H}=frac{hat{p}^2}{2m}+V$ 也就確定了下來。如果 $V(x)=frac{1}{2}momega ^2x^2$ ，那麼解出來就是諧振子；如果 $V(r)=-frac{e^2}{r}$ ，那麼解下來就是氫原子；把原子撇到均勻磁場中去，系統的勢能 $V$ 自然會多出一項表示與磁場的相互作用，於是本徵值就會發生變化（能級分裂），這就是塞曼效應；把一個電子撇到均勻磁場中去，就能解出朗道能級。。。。。。

3，重要的例子：氫原子

（1）氫原子，這是任何一本量子力學書中都會提到的例子。其對於初學者來講最重要的作用不僅僅在於求解一個三維的定態薛定諤方程。在這個例子中，我們引入了量子力學中的角動量和自旋。

對於氫原子來說，由於 $hat{L}^2$ ， $hat{L_z}$ ， $hat{H}$ 兩兩對易，其構成一組對易可觀測量完全集。進一步的，我們可以去求解氫原子的薛定諤方程。得到相應的運算元的本徵值 $L^2=hbar l(l+1)$ ， $L_z=mhbar$ ， $E_n=-frac{me^4}{2hbar^2n^2} =-frac{e^2}{2a} frac{1}{n^2}$ ，和本徵矢。於是乎，只要給定了初態，我們就可以確定今後波函數的演化。

實驗上，能級 $E_n$ 這種東西是看不到的，我們需要用原子的光譜去確定它。實驗中發現，嗯....確實，理論結果很正確。不過，當我們用更加精密的儀器去觀測時，發現理論上給出的能級 $E_n$ 的報道出了偏差。我們發現原來的一條譜線其實不僅僅只有一條，只不過它們離得非常近而已，這也就是所謂的光譜的精細結構。既然報道上出了偏差，那就要負責任啊。從現在來看，我們少考慮方程中的一部分勢能。施特恩—蓋拉赫實驗中發現了微觀粒子的自旋屬性，於是我們需要考慮電子自旋與其軌道角動量的相互作用，把那部分能量加入方程的勢能項 $V$ 中，再把方程重新解一遍，得到的本徵值自然會有變化。當然啦，需要的話我們還可以去考慮原子核的自旋。

（2）對於氫原子來說，軌道角動量 $hat{L}$ 和自旋 $hat{S}$ 是非常重要的。它們是希爾伯特空間上的自伴運算元，它們是非常相似的物理學量，它們滿足相似的對易關係。一開始我們得到軌道角動量算符的方法是： $hat{J}=hat{r} imes hat{p}$ ，而自旋的話就必須要靠欽定。

量子力學中的酉運算元，就好比經典力學中的辛微分同胚；而酉運算元群 $U(t)$ ，就好比哈密頓相流 $left{ phi _t ight}$ 。現在考慮希爾伯特空間 $H$ 上的單參數強連續酉運算元群 $U(t)=expleft( -ihat{A}t ight)$ ， $hat{A}$ 是個自伴運算元，這就是我們熟悉的Stone定理。值得注意的是 $-ihat{A}$ 是一個反自伴運算元，現在假設你是一個學過一點兒微小的群論卻不怎麼懂量子力學的人，考慮到角動量與旋轉對稱性在經典力學中的關係，你會很自然地去考慮Lie群 $G$ 在希爾伯特空間上的酉表示，一切對你來說將變得豁然開朗。

考慮Lie群 $G$ 在希爾伯特空間上的左作用 $G imes H ightarrow H$ ， $Pi _g:H ightarrow H$ 是希爾伯特空間上的酉運算元， $g ightarrow U$ 即為 $G$ 在 $H$ 上的表示。考慮相應的Lie代數的表示 $mathfrak{g}$ ，即 $X ightarrow pi (X)$ ，其中 $pi (X)$ 是反自伴運算元，即： $pi (X)^{dagger}=-pi (X)$ 。當 $G=SO(3)$ 時，我們就可以得到角動量算符 $hat{J}_j=ihbarpi (F_j)$ ，其中 $F_j$ 為 $mathfrak{so}(3)$ 的一組基。再想想 $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 的universal cover，這倆的Lie代數同構，哎呀，美滋滋。