一文搞懂極大似然估計

換句話說，極大似然估計提供了一種給定觀察數據來評估模型參數的方法，即：「模型已定，參數未知」。

可能有小夥伴就要說了，還是有點抽象呀。我們這樣想，一當模型滿足某個分布，它的參數值我通過極大似然估計法求出來的話。比如正態分布中公式如下：

如果我通過極大似然估計，得到模型中參數和的值，那麼這個模型的均值和方差以及其它所有的信息我們是不是就知道了呢。確實是這樣的。

極大似然估計中採樣需滿足一個重要的假設，就是所有的採樣都是獨立同分布的。

下面我通過倆個例子來幫助理解一下最大似然估計

例子一

別人博客的一個例子。

假如有一個罐子，裡面有黑白兩種顏色的球，數目多少不知，兩種顏色的比例也不知。我 們想知道罐中白球和黑球的比例，但我們不能把罐中的球全部拿出來數。現在我們可以每次任意從已經搖勻的罐中拿一個球出來，記錄球的顏色，然後把拿出來的球 再放回罐中。這個過程可以重複，我們可以用記錄的球的顏色來估計罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重複記錄中，有七十次是白球，請問罐中白球所佔的比例最有可能是多少？

很多人馬上就有答案了：70%。而其後的理論支撐是什麼呢？

我們假設罐中白球的比例是p，那麼黑球的比例就是1-p。因為每抽一個球出來，在記錄顏色之後，我們把抽出的球放回了罐中並搖勻，所以每次抽出來的球的顏 色服從同一獨立分布。

這裡我們把一次抽出來球的顏色稱為一次抽樣。題目中在一百次抽樣中，七十次是白球的,三十次為黑球事件的概率是P(樣本結果|Model)。

如果第一次抽象的結果記為x1,第二次抽樣的結果記為x2....那麼樣本結果為(x1,x2.....,x100)。這樣，我們可以得到如下表達式：

P(樣本結果|Model)

　　= P(x1,x2,…,x100|Model)

　　= P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M)

　　= p^70(1-p)^30.

好的，我們已經有了觀察樣本結果出現的概率表達式了。那麼我們要求的模型的參數，也就是求的式中的p。

那麼我們怎麼來求這個p呢？

不同的p，直接導致P（樣本結果|Model）的不同。

好的，我們的p實際上是有無數多種分布的。如下：

那麼求出 p^70(1-p)^30為 7.8 * 10^(-31)

p的分布也可以是如下：

那麼問題來了，既然有無數種分布可以選擇，極大似然估計應該按照什麼原則去選取這個分布呢？

答：採取的方法是讓這個樣本結果出現的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)^30值最大，那麼我們就可以看成是p的方程，求導即可！

那麼既然事情已經發生了，為什麼不讓這個出現的結果的可能性最大呢？這也就是最大似然估計的核心。

我們想辦法讓觀察樣本出現的概率最大，轉換為數學問題就是使得：

p^70(1-p)^30最大，這太簡單了，未知數只有一個p，我們令其導數為0，即可求出p為70%，與我們一開始認為的70%是一致的。其中蘊含著我們的數學思想在裡面。

例子二

假設我們要統計全國人民的年均收入，首先假設這個收入服從服從正態分布，但是該分布的均值與方差未知。我們沒有人力與物力去統計全國每個人的收入。我們國家有10幾億人口呢？那麼豈不是沒有辦法了？

不不不，有了極大似然估計之後，我們可以採用嘛！我們比如選取一個城市，或者一個鄉鎮的人口收入，作為我們的觀察樣本結果。然後通過最大似然估計來獲取上述假設中的正態分布的參數。

有了參數的結果後，我們就可以知道該正態分布的期望和方差了。也就是我們通過了一個小樣本的採樣，反過來知道了全國人民年收入的一系列重要的數學指標量！

那麼我們就知道了極大似然估計的核心關鍵就是對於一些情況，樣本太多，無法得出分布的參數值，可以採樣小樣本後，利用極大似然估計獲取假設中分布的參數值。

希望對您理解有幫助~

參考：

從最大似然到EM演算法淺解 - zouxy09的專欄 - 博客頻道 - CSDN.NET

最大似然估計的學習 - growoldwith_you的博客 - 博客頻道 - CSDN.NET