一類不等式的證法

01-24

摘要：本文將以一個例子來介紹不等式的幾種證明方法。

已知： $a,b,c,din R$ ，求證： $ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ 。

證法一（分析法）：

（1）當 $ac+bd leqslant 0$ 時，不等式顯然成立。

（2）當 $ac+bd>0$ 時， $ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$

$Leftrightarrow (ac+bd)^2 leqslant (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

$Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2 leqslant a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$Leftrightarrow 2abcd leqslant b^2c^2+a^2d^2$

$Leftrightarrow 0 leqslant (bc-ad)^2$

上式顯然成立，故原不等式得證。

證法二（綜合法）：

$ecause (a^2 + b^2)(c^2+d^2)$

$= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2+b^2d^2$

$= (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2)$

$= (ac+bd)^2 + (bc-ad)^2$

$geqslant (ac+bd)^2$

$herefore sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} geqslant |ac+bd| geqslant ac+bd$

證法三（比較法）：

$ecause (a^2 + b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = (bc-ad)^2geqslant0$

$herefore (a^2 + b^2)(c^2+d^2) geqslant (ac+bd)^2$

$herefore sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} geqslant |ac+bd| geqslant ac+bd$

證法四（放縮法）：

$ecause ac+bd leqslant |ac+bd|$

又 $ecause (a^2 + b^2)(c^2+d^2) geqslant (ac+bd)^2$ （證法一和證法三可知）

所以不等式成立，證法四其實和證法三不同，放縮法的要點在於去掉一個項，就會有不等式出現，即已知兩個不等式，丟棄中間項，直接得出前後項目不等，對於這個例子，其實不能體現出要點，本文之所以寫出僅僅為了完整性。

證法五（三角函數法）：

我們設 $left{egin{aligned}&a = r_1cosalpha & \ &b = r_1sinalpha & \end{aligned} ight.$ ， $left{egin{aligned}&c = r_2coseta & \ &d = r_2sin eta & \end{aligned} ight.$ ，

則有： $ac+bd = r_1r_2cosalpha coseta + r_1r_2sinalpha sineta = r_1r_2cos(alpha -eta )leqslant |r_1r_2|$ ，

而 $|r_1r_2| = sqrt{a^2+b^2}cdot sqrt{c^2+d^2} =sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ ，

從而有： $ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ 。

證法六（換元法）：

（1）當 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = 0$ 時，原不等式顯然成立。

（2）當 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) e 0$ 時，原不等式 $Leftrightarrow left | frac{ac+bd}{sqrt{a^2+b^2}cdot sqrt{c^2+d^2} } ight |leqslant 1$ ，

$Leftrightarrow left | frac{a}{sqrt{a^2+b^2} }cdot frac{c}{sqrt{c^2+d^2}} + frac{b}{sqrt{a^2+b^2} }cdot frac{d}{sqrt{c^2+d^2}} ight | leqslant 1$ ，

於是令 $frac{a}{sqrt{a^2+b^2} } = cosalpha$ ， $frac{b}{sqrt{a^2+b^2} } = sinalpha$ ， $frac{c}{sqrt{c^2+d^2} } = coseta$ ， $frac{d}{sqrt{c^2+d^2} } = sineta$ ，

$herefore left | frac{a}{sqrt{a^2+b^2} }cdot frac{c}{sqrt{c^2+d^2}} + frac{b}{sqrt{a^2+b^2} }cdot frac{d}{sqrt{c^2+d^2}} ight |$

$= |cosalpha coseta + sinalpha sineta |$

$= |cos(alpha - eta )|$

$leqslant 1$

$herefore ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ 。

證法七（構造函數法）：

構造二次函數

$f(x) = (a^2 + b^2)x^2 + 2(ac+bd)x + (c^2 + d^2)$ $= (a^2x^2 + 2acx + c^2) + (b^2x^2 + 2bdx + d^2)$

$= (ax+c)^2 + (bx + d)^2$

$geqslant 0$ 恆成立，

所以，當 $a^2 + b^2 e 0$ 時， $Delta leqslant 0$ ，

即 $[2(ac+bd)]^2-4(a^2+b^2)(c^2+d^2) leqslant 0$ ，

即 $sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} geqslant |ac+bd| geqslant ac+bd$ ，

當 $a^2+b^2 = 0$ 時，顯然成立。

證法八（向量法）：

設 $overrightarrow{m} = (a,b)$ ， $overrightarrow{n} = ( c,d)$ ，

於是 $ac+bd = overrightarrow{m} cdot overrightarrow{n} leqslant |overrightarrow{m}| cdot |overrightarrow{n} | = sqrt{a^2+b^2} cdot sqrt{c^2 + d^2}$ ，

即 $ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ 。

證法九（利用現有不等式）：

由柯西不等式可得 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) geqslant (ac+bd)^2$

所以 $ac+bd leqslant sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ 。

總結：本文通過了幾種不同的方法來證明同一個不等式，所列舉的方法也是不等式證明中常用的方法。分析法的要點是一步步將不等式變形為等價的不等式，直到達到某一個顯而易見的結果時，自然就證明了不等式的成立；綜合法的要點是從不等式的一端出發，一步步推導出右側的結果，找到不等關係；比較法是最常用的不等式證明方法，思路直截了當，是證明一切不等式的方法，其演繹過程中，常常伴隨著分析與綜合；放縮法往往比較巧妙，難以想到，其要點在於將等式的一端丟掉某些細小的項便可形成不等式；三角函數法和換元法都是利用三角函數的不等關係，即正弦餘弦函數的值小於1；構造函數法也是常用的方法，構造一個函數，通過函數的性質來判斷不等式，常常有二次函數恆成立的條件，函數單調性，函數凹凸性等；向量法利用了向量的內積小於兩個向量的模的積；最後一個方法就是利用現成的不等式，比如基本不等式、均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等，因此所掌握一些現成的不等式，就有了更多的思路。希望讀者細細體會，熟練掌握不等式的證明方法。