從費馬到費曼：《降臨(Arrival)》里的物理學

01-24

0.前言

電影《降臨(Arrival)》改編自Ted Chiang的科幻短篇小說《你一生的故事(Stories of Your Life and Others)》，小說的亮點在於切入點是語言學和理論物理的部分主題，立意新穎堪稱神作。我早前就看過了小說，之前聽說要改編成電影還相當地亦可賽艇，還提前好多個月就安利給了一些小朋友，但是真正上映了之後，看完了覺得好多槽點，覺得拍得不是很好，並且連你乎你瓣有些電影黨也看得比較迷茫，更加堅定了我的看法。

電影對小說做的一些改動，有的是為了價值觀和觀影體驗的需要，比如中國軍隊的反應，七肢桶(Heptapod)的目的，叛軍的炸船，飛船的數量（原作的大飛船是停在軌道上的）。這是導演和編劇的主觀因素，沒什麼好說的。有的是表現手法的缺乏，比如七肢桶文字書法的研究，這在小說里進行了相當詳細的文字討論以說服讀者，到了電影裡面只能用十幾秒的CG畫面讓讀者不明覺厲，實在不行了上一段3分鐘的旁白，這是客觀因素，也無可厚非。最大的一處刪減，我覺得就是原作中七肢桶的世界觀/物理學，這和它們的書法方式是相互聯繫的——而電影中與之相關的對白進行到一半，不到半分鐘就切換到Shang將軍的新聞報道了。

對於沒看過原著的觀眾，一直圍繞著「非線性語言」這幾個字眼作解讀，而忽略了這一半很重要的物理內核. 觀眾理解上發生了偏差，等於導演也有責任吧，這必然會導致電影只有7分多的褒貶不一.

本文主要從理論物理學從業者的角度，結合原作以及作者寫作的意圖，利用教科書中的理論物理內容，淺析小說/電影中七肢桶(Heptapod)世界觀的物理。同一個事情，七肢桶是怎麼想的，人類是怎麼想的，這很重要。

-------------正文--------------

1.費馬·極值

在原著中，人類和七肢桶的科學交流突破是由費馬極值原理帶來的：

說到費馬，他是個業餘數學家，去世的時候牛頓才20出頭。他有一些工作和結論可一點也不業餘，當然這裡空白太小就不寫出來了，只說最重要的一個：費馬極值原理。為了簡單，我們舉光在兩種介質之間折射的例子，這也是原作中的例子：想像光線從介質A傳播到介質B，折射率分別是 $n_A,n_B$ (經驗參數), 而界面是一個平面，那麼折射的規律是(Snell定律)： $n_Asin heta_A=n_Bsin heta_B$

這是中學物理——當然了我們不能用九年義務教育的年級來區分物理規律的難度——回想一下如果由你來開拓人類文明，這個定律應該怎麼被發現？這太簡單了，不厭其煩地做一系列實驗，表一列，圖一畫，規律就出來了.

可是，你必須解釋什麼是三角函數 $sin x$ ，而不是 $sin^{pi/3}x$ ——這就要求先發明一套三角幾何學，發明一個叫做正弦函數的東西，並且解釋為什麼正弦函數會出現在角度這裡。這中間也許你還會需要波動光學的理論甚至麥克斯韋的理論.

科技樹太tm複雜了，有沒有簡單的辦法？

七肢桶早就看穿了一切（費馬極值原理）：

「正確」的路徑就是 $S=n_AL_A+n_BL_B$ 最短的那條！

讓我們用求導數來驗證一下，假設我們從 $P$ 發射光線然後在 $T$ 收到，那先固定好兩個點，然後設 $O$ 點在界面上是自由的， $PQ=x, ST=W-x$ (W是PT之間的寬度), 那麼根據定義:

$S=n_AL_A+n_BL_B=n_Asqrt{x^2+QO^2}+n_Bsqrt{(W-x)^2+SO^2}$

然後，取極值條件 $frac{partial S}{partial x}=0$ ，得 $n_Afrac{x}{sqrt{x^2+QO^2}}=n_Bfrac{W-x}{sqrt{(W-x)^2+SO^2}}$ ，當且僅當此時極值條件能滿足.重新看一下幾何關係，我們發現就回到了 $n_Asin heta_A=n_Bsin heta_B$ . 這件事應該是費馬首先發現的，所以我們稱之為費馬極值原理.

「Humm, interesting. And this is what the heptapods responded to?」
「Exactly. Moorehead gave an animated presentation of Fermat"s Principle at the Illinois looking glass, and the heptapods repeated it back. Now he"s trying to get a symbolic description.」 He grinned. 「Now is that highly neat, or what?」
——<Story of your life>

然而事情沒有這麼簡單——上文中的「正確」是打了引號的。

2.拉格朗日·變分

原著中關於這一科學交流的突破佔去了相當的篇幅:

「We guessed wrong about what"d be most useful for you to know,」 Gary said without embarrassment. 「In fact, it"s curious that Fermat"s Principle was the first breakthrough; even though it"s easy to explain, you need calculus to describe it mathematically. And not ordinary calculus; you need the calculus of variations. We thought that some simple theorem of geometry or algebra would be the breakthrough.」

牛頓和萊布尼茨系統地建立微積分是在費馬之後，費馬本身也為微積分的建立添磚蓋瓦。事實上，從剛才的例子來講，簡單的(多變數)微積分是不夠的，光束從 $P$ 傳播到 $T$ ,除了變動界面上的 $O$ 點，可以採取的路徑可以自由得多。人類需要點上數學分析(泛函)的科技樹，來理解這一過程，甚至推廣到物理的其他分支——並且，幾乎是所有分支。

「So can you build from Fermat"s Principle to other areas of physics?」
「Probably. There are lots of physical principles just like Fermat"s.」
——<Story of your life>

1788年,拉格朗日著《分析力學》, 該書的特點就是——全書沒有一張圖. 講力學怎麼能沒有圖呢。圖片肯定是要來畫受力分析運動分解，這時你要事先建立基本的坐標系解析幾何的科技樹，儘管我們人類已經這麼做了，一些簡單的多體問題仍然會使得我們的求解變得非常繁瑣, 強行作圖更加會弄巧成拙。七肢桶早就看穿了一切——經典力學的運動也有個 $S$ ，我們稱之為作用量——對於正確的「運動軌跡」， $S$ 取極小值。

下面的內容都是物理系本科生的入門必修課了，我簡單介紹一下，我們將 $S$ 改寫成沿著時間軸一個積分:

$S=int^{t_2}_{t_1}L(q_i,dot{q_i},t)mathrm{d}t$

其中 $L(q_i,dot{q_i},t)$ 是拉格朗日量(Largrangian)，裡面只包括了這個物體的廣義坐標 $q_i$ 和廣義速度 $dot{q_i}$ , $t$ 是時間。 $q_i$ 和 $dot{q_i}$ 可以只是普通的坐標和速度，也可以是別的一組滿足特定要求的參數(這就是廣義二字的由來)。

然後前期的工作就結束了——讓 $S$ 取極值就好了——我們固定住 $t_1,t_2$ 兩個時間點物體的廣義坐標, 然後隨意變動整條軌跡 $q_i(t)$ (已經不是多變數微積分了，我們變動的自由度是無窮維的), 這是一般總能找到一個極小的 $S$ .也就是說, 在給定邊界條件的情況下，令變分 $frac{delta S}{delta q_i}=0$ , 則描述中間「正確」運動軌跡的運動方程 (歐拉-拉格朗日方程)呼之欲出：

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}frac{partial L}{partial dot{q_i}}=frac{partial L}{partial q_i}$

這和前面的Snell定律是異曲同工的，

舉個例子，對於在(保守)勢中運動的經典質點, 拉格朗日量一般是動能減去勢能的形式 $L=frac{1}{2}mdot{q_i}^2-V(q_i)$ ，那麼變分後得到的運動方程，即歐拉-拉格朗日方程就是:

$frac{mathrm{d}}{mathrm{d} t}left(mdot{q_i} ight)=-frac{partial V}{partial q_i},,,,,,,Longrightarrow,,,,,,,frac{mathrm{d}p_i}{mathrm{d} t}=F$

等價於牛頓第二定律。

而在(廣義)相對論中，輕小粒子軌跡的作用量更為簡單:

$S=intmathrm{d}s$

直接對測地線長度積分就行了；如果算上電磁場，則要加上對路徑上矢勢1-形式的積分: $S=intmathrm{d}s+eA$ 。

所以繞這麼一大圈並不是沒有道理的. 事實上，不只是質點，絕大多數經典物理學的定律(除了比如阻尼之類的唯象作用)，都可由此得出，還不用圖解，比《自然哲學的數學原理》裡面通篇畫圖不知道高到哪裡去了。

(當然了，在一般的經典場論中——我們需要做一些小改進——對時間上拉格朗日量的積分，變成對時空中拉格朗日密度的積分 $S=intmathcal{L}(Q_i(x),partial_mu Q_i(x),t)mathrm{d}^4x$ .)

比如 $mathcal{L}=sqrt{-g}left(-frac{1}{4}F^2 ight)$ 對4矢勢變分，給出麥克斯韋方程組（自由的電磁場）

而 $mathcal{L}=sqrt{-g}left(frac{1}{2kappa}(mathcal{R}-2Lambda)+mathcal{L}_M ight)$ 是愛因斯坦-希爾伯特作用量，對度規變分給出愛因斯坦的引力方程.

還有一個很長的叫做標冫

為什麼 $S$ 可以具有普適性呢？一個合理的被積函數 $mathcal{L}$ ，能夠滿足美學要求，比如轉動不變性，洛倫茲不變性，廣義不變性(考慮引力)，規範不變性(考慮基本相互作用), 量子場論裡面還要考慮可重整化(考慮一般相互作用). 然後我們才能討論它的運動方程，這樣往往能夠和實驗結果對得上. 也正是

值得一提的是，正是由於希爾伯特是變分法的老司機，當年廣義相對論還沒問世，在愛因斯坦做了一個關於引力的報告之後，希爾伯特回頭立馬就搗鼓出了正確的引力場方程，比愛因斯坦直接琢磨運動方程還快。

3.費曼·量子詮釋

「What, like Louise"s principle of least closet space? When did physics become so minimalist?」
——<Story of your life>

這裡說「minimalist」當然不是完全對的，無論是間接地理解還是直接的理解。實際上小說還不厭其煩地借男主之口解釋了「最小」和「極值」的差異。不管怎樣，由於歷史原因，我們暫且混用吧。

在經典物理學中，「最小作用量原理」最開始是讓人感到驚奇的，畢竟你只要寫出作用量，然後取極值就行了，這就有點玄妙的感覺在裡面。費曼算是一個粉絲，在費曼物理講義第二卷專題演講的開頭，他是這麼說的:

實際上，「最小作用量原理」的核心在於，一定要用量子物理來解釋：

如果要令人信服地解釋這一事實，必須要用到量子力學/量子場論。實際上，費曼的一個微小的貢獻，正是量子力學的第三種表述. 你們可能聽說過量子力學中狹縫干涉的實驗——如果我們進一步插入無窮多的擋板，狹縫也開無窮多條，那麼就等於完全沒有擋板了；如果你同意不同路徑的態應該疊加在一起，那麼所有無窮多的路徑也應該疊加在一起——費曼就是這麼想的:

想像我們測量一個粒子，它先是出現在坐標 $(vec{x},t)$ , 記為態 $|vec{x},t angle$ ，然後又測量到它出現在另一個坐標 $(vec{x$ , 記為態 $|vec{x$ . 根據哥本哈根詮釋， $|langle vec{x$ 是這個過程的概率，那麼中間的軌跡是什麼，占這個概率的多少比重？這是我們關心的問題.

可以證明，中間的演化是所有軌跡的疊加，而且任何路徑單獨出現的概率都是相同的。

我們將粒子在中間的演化分成 $N$ 個時間切片，比較不嚴格地，

$[egin{aligned}langle vec{x$

如果你認得拉格朗日量的勒讓德變換，可以發現這裡 $vec{p}cdotdot{vec{x}}-H=L$ , 注意到由於平移對稱性，積分的測度中的動量部分 $mathcal{D}p$ 的積分結果和邊界條件無關。（對於任意選取的路徑的相鄰兩個時間切片中間，如果時間間隔足夠短，只有某個特定的動量能夠起主要貢獻，這個動量滿足哈密頓力學的其中一個運動方程 $0=frac{partial}{partial vec{p}}(vec{p}cdotdot{vec{x}}-H(p,x))=dot{vec{x}}-frac{partial H(p,x)}{partial vec{p}}$ . ) 。

這樣，最後我們將無關緊要的常數給藏在 $mathcal{D}x$ 裡面，然後把所有的 $x$ 改名 $x o q$ ，我們就有:

$langle vec{q$

也就是說，如果積分測度 $mathcal{D}q$ 是合法的，粒子在初末態中間的軌跡都是「等概率」地疊加在一起的，只不過分別有一個相位 $e^{iS[q]}$ ，所以它們都是複數——看起來像是一個個等長小箭頭. 而原先說的取得作用量極值的路徑 $q_{ex}(t)$ ，是當中普通的一員，只不過由於作用量取極值，和 $q_{ex}(t)$ 「相近」的路徑，都貢獻差不多的相位。而由於普朗克常數 $hbar$ 的相對量級非常小，那些「遠離」 $q_{ex}(t)$ 的路徑大部分相互抵消。

本圖及下面的兩個圖都摘自通俗易懂好忽悠的科普書 QED:The Strange Theory of Light and Matter, 理查德·費曼

如果你的數學家朋友還沒有打死你的話，你可以繼續沿用「等長小箭頭」的比喻，最後你要把所有貢獻加起來，變成一個大箭頭——也就是代表 $langle vec{x$ 的複數(振幅)。回到光折射的例子, 可以簡化一下路徑，我們只要假定下圖中每一條折線都代表對應的" $S o surface o D$ "復振幅就行了，它們都是複平面上的小箭頭:

在維基百科的Path Integral Formulation條目裡面里，甚至可以觀看小視頻。

如果我們遮擋住空間的一部分，使得一些路徑不可行——也就是去掉一些小箭頭，那麼總的振幅當然會受到或多或少的影響，取決於你去掉哪些小箭頭，我們稱之為衍射。當然了，經典物理學的尺度相對於 $hbar$ 實在太大了，舉個例子，像汽車這麼大的物體，訛人的只有站在路中央才能碰瓷。

對於 $langle vec{x$ ，它其實就是量子力學中傳播子(propagator)的核，也就是說, 隨便找一個初態的波函數，就能立馬積分得到末態的波函數:

$psi(vec{x$

傳播子在費曼圖的計算中是相當常見的，比如相對論Klein-Gordon標量粒子的傳播子是:

$egin{aligned}langle vec{x$

當我們需要計算散射過程中一個（虛）粒子從一個地方產生然後到另一個地方消失時，傳播子就要派上用場，它在費曼圖中對應一根內線。

其中約等號是說等號後面是場論計算出來的結果，下標 $F$ 是指費曼，說明是帶causality的。值得一提的是，費曼圖僅僅指一種圖形連接的拓撲結構，實際上發生相互作用(散射)的位置，同樣也是所有可能性的疊加。和前面的路徑積分一樣，任何散射的可能性都是某個「本徵態」，都可以看成複平面上的一個小箭頭——它們長度相同從方向各異——然後連結在一起組成總的振幅。

我們現在已經知道了，量子力學中質點的運動軌跡 $q(t)=(q_1(t),q_2(t),cdots,q_3(t))$ 是隨時間變化的一組數。在我為我越來越遠的扯淡打住之前，再補充一點，如果 $q_i$ 的下標是連續(多)變數，那麼我們的積分測度就由路徑變成了自由度更加龐大的場 $mathcal{D}q omathcal{D}phi$ , 比如在場論中，所謂的「路徑積分」是(K-G場為例):

$intmathcal{D}phi e^{iintmathcal{L}(phi,partial_mu{phi})mathrm{d}^dx}=intmathcal{D}phi e^{iS}$

這和前面的傳播子稍微有點不一樣，但是深入就不贅述了，總之最終我們的理論可以描述"量子場論"意義上的多體系統而不是僅僅是「量子力學」意義上的質點。應該說，Ted Chiang在這方面的考據使得這篇小說很硬科幻。

4.七肢桶·歷史的進程

其實大家還是希望弄明白一些實際的問題，比如七肢桶如何劇透未來，女主角如果不生小孩會怎樣，我們如何知道下期的彩票號碼，等等。作為科幻小說，<The Story of Your Life>肯定是要為了藝術需要做一些設定的，在盡量保證這些設定的情況下，我們可以結合目前我們對物理學的理解來做一些猜想。

1. 什麼樣的生理結構能預測未來？

「......We experienced events in an order, and perceived their relationship as cause and effect. They experienced all events at once, and perceived a purpose underlying them all. A minimizing, maximizing purpose.」——<Story of Your Life>

首先，習得一門語言就能預判自己的未來，大家肯定是不買賬。我們都知道「粒子」其實都是場的激發，所有物體在一定範圍內要服從量子場論的支配，所以所有的歷史進程都是可能的——它們都是一個個的小箭頭。所以至少，七肢桶的生理結構至少要能夠感知這些復振幅。因為歷史的進程自由度太高了，即使像AlphaGo一樣挑重要的分析，實際的路徑也是太多了，所以至少要進行量子並行運算，換句話說——按照設定，至少每個七肢桶和人類的大腦都要是量子計算機。學習七肢桶的書面語言(Heptapod B)只是為了幫助你心算出作用量 $S$ ——先設定開頭結尾邊界條件，據此並行考慮任何一條故事線，然後對過去和未來以及全空間進行積分求和——然後你就本能地算出了每一個作用量 $S$ , 這樣的 $S$ 會充當各個複數(小箭頭)的相位角，這樣的大腦能夠本能地將所有振幅加一起, 得到的總振幅。如果七肢桶的大腦發現，有相當多的歷史行程都具有相近的 $e^{iS}$ (變分取到極值了)，那麼這樣的歷史行程就要被考慮進來，因為「真實的未來」屬於這個集合的概率極高.

2.個人的奮鬥能起多大的作用？

我們知道女主角習得了七肢桶的書面語言(Heptapod B)之後，激發了預見未來的潛能——實際上，如同上面所述，只是她知道了幾乎每一種可能性的復振幅，比如復振幅的相角：

$vdots$

$S[C]$ : 和男主角結婚，生下女兒，命名Hannah, 女兒長大女兒卒.

$S[D]$ : 和男主角結婚，生下女兒，命名Anna, 女兒長大女兒卒.

$S[E]$ : 和男主角結婚，生下女兒，命名Ada, 女兒長大女兒卒.

$vdots$

她會注意到諸如 $C,D,E$ 的歷史進程有相近的 $e^{iS}$ . 而其他的歷史進程的振幅相角亂糟糟的。

如果她就是堅持要選擇丁克，甚至提前跑去結紮了輸卵管，會怎麼樣？

當然不會怎麼樣。

結果僅僅是相對於什麼都不選擇，發生了歷史進程的「衍射」而已——就像在光的前進路線上放上障礙物——如果丁克，結果就是丁克。或者可以換另一個角度想，按照原著，相對於什麼都不選擇, 女主角就是堅持要生小孩，也會發生一個互補的「衍射」結果，這跟光學裡面巴比涅原理(Babinet principle)是相似的, 只不過按照前文的物理設定(也就是原著的設定)，她有很大的概率會生一個英年早逝的女兒。

所以如何選擇命運只是一種女主角的情懷而已。

至於那些強烈想要用因果搞事情的同學，可以參考一下費曼的老師的一個理想實驗：惠勒延遲選擇實驗(Wheeler"s delay choice experiment)，當然了現在是可以做實驗來驗證的，結果是支持因果律——即使歷史進程已經開始，只要及早做決定，是可以影響結果的。

人啊即使可以預料，考慮了歷史的進程，也要靠自己的奮鬥。

除非你按照原著一樣——把自由意志辯證成歷史進程的一部分:

The heptapods are neither free nor bound as we understand those concepts; they don"t act according to their will, nor are they helpless automatons. What distinguishes the heptapods" mode of awareness is not just that their actions coincide with history"s events; it is also that their motives coincide with history"s purposes. They act to create the future, to enact chronology.
Freedom isn"t an illusion; it"s perfectly real in the context of sequential consciousness. Within the context of simultaneous consciousness, freedom is not meaningful, but neither is coercion; it"s simply a different context, no more or less valid than the other. It"s like that famous optical illusion, the drawing of either an elegant young woman, face turned away from the viewer, or a wart-nosed crone, chin tucked down on her chest. There"s no 「correct」 interpretation; both are equally valid. But you can"t see both at the same time.
Similarly, knowledge of the future was incompatible with free will. What made it possible for me to exercise freedom of choice also made it impossible for me to know the future. Conversely, now that I know the future, I would never act contrary to that future, including telling others what I know: those who know the future don"t talk about it. Those who"ve read the Book of Ages never admit to it.

參考文獻:

1.Ted Chiang, The Story of Your Life

2.Richard Feynman, 費曼物理學講義第二卷

3.Richard Feynman, QED:光和物質的奇妙理論

4.Mark Srednichi, Quantum Field Theory