光束分束器(Beam Splitter) 2, 光子的狀態

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為了深入量子的世界, 我們要來談一談光子是什麼? 這裡就不去寫很多的數學式子了, 只是定性地說一說~

在量子力學中, 一個諧振子是由哈密頓量 $hat{p}^2/2m+momega^2x^2/2$ 描述的, 其中第一項是動能, 第二項是勢能, 與經典的簡諧振子一致, 只不過一次量子化後動量變成了一個算符, 在坐標表象下形式為 $-ihbar abla$ .

這樣一個不含時間的哈密頓量帶入到定態薛定諤方程 $mathcal{H}|psi angle=E|psi angle$ 中, 可得到一系列本徵解, 每個本徵解對應一個本徵能量的取值, 記本徵解為 $|n angle$ , 本徵能量為 $E_n$ , 則有: $mathcal{H}|n angle=E_n|n angle$ . 我們可以發現, 這一系列能量本徵值很有意思:

$E_n=(frac{1}{2}+n)hbaromega, nin Z$ ,

也就是說, 滿足諧振子方程狀態的能量一定是分立的, 且均勻分布, 像台階一樣有高有低, 但相鄰的台階高度差固定. 我們可以通過一些手段, 在這個模型中引入產生算符/湮滅算符: $hat{a}^dag/hat{a}$ . 這兩個算符的作用可以認為是讓狀態在台階上向上/向下走一級, 而這就是二次量子化的起源.

下面話題回到光子. 為什麼上面要講諧振子這個最基本的模型呢? 大家都知道, 電磁波存在於空間之中, 而空間必定不是無限大的, 於是對於某個存在電磁波的空間而言, 其場的分布可以根據空間邊界的條件得到, 每一個可能存在的場方程解, 稱為一個電磁波在這個空間中存在的模式, 通俗地講就是, 在這個特定空間中電磁場以什麼樣的"形狀"存在著. 當我們把某個空間中電磁波模式的能量寫出來後, 我們發現它的數學形式和諧振子一模一樣, 這就讓我們想到了電磁場量子化的方法. 所謂光子數, 就是某個電磁波模式下, 這個模式的能量 $E_n$ 中的那個整數 $n$ .

從這個過程我們能看到一些神奇的東西, 那就是 $n=0$ 時(真空)也是有非0能量的, 稱為真空態. 與其相關很著名的一個現象, Casimir效應是說, 兩個真空中相據很近的金屬板會收到將它們合攏的力, 其原因是因為, 金屬板間體積小, 電磁波模式密度小, 即真空態數目少, 而外部空間真空態密度大.

對於每一個電磁波模式而言, 我們都可以定義其對應的光子Fock態, 記為 $|n angle$ , 其中的 $n$ 表示光子的個數. 而這樣一個態是可以通過對真空態作用產生算符而得到的:

$|n angle=frac{(hat{a}^dag)^n}{sqrt{n!}}|0 angle$ ,

其中 $sqrt{n!}$ 是歸一化係數, $|0 angle$ 代表真空態, 產生算符作用到真空態上幾次, 就出現了幾個光子.

從上面這些內容可以看到, 我們可以有兩種描述光子的方式: 1. 利用態矢量 $|n angle$ ; 2. 利用算符 $hat{a}^dag$ . 這兩種描述方式分別對應了薛定諤繪景和海森堡繪景. 我們接下來對與BS性質的討論主要基於這兩種繪景的相互轉換.

最後對於電磁波模式做一些補充說明, 在量子光學中很多東西都可以作為給模式打上的tag, 比如路徑, 我們可以認為從BS兩個埠入射的兩個光子處於相互正交的兩個模式上. 不僅僅是路徑, 光子的時間先後, 頻率, 極化, 甚至是軌道角動量不同都可以看作光子處在不同的模式上, 不同模式的光子一般獨立傳播, 在沒有外加器件作用下一般不能干涉.

這次更新就先說這麼多, 下次談談BS對光子最簡單的作用, 分束, 是如何對應到量子力學中的~