微小的循環標準型

01-26

陸葳蕤，你要聽

張晴川我們的主是唯一的神

——Qcu 6:4

起初，張晴川做硬碟數學家，知快速冪，懂Burnside，吊打陸葳蕤。

陸葳蕤痛定思痛，做了一道大作業，證明了一些微小的循環標準型的定理，決定退掃閑軒，繕寫呈上，以彰顯自己在ZQC面前的渺小。

——是為記。

我們都知道，在代數閉域上，我們有很吼的Jordan標準型，那麼自然的，我們想要問，在代數不閉的域上，我們有沒有類似的標準型呢？

那當然是有的，比如，讓我們來看一個線性運算元 $A$ 的循環線性空間 $V=left<x,Ax,..,A^{n-1}x ight>$ ，不難驗證 $V$ 在這組基下的矩陣形如 $egin{matrix}a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & 0&0.. \a_{n-2} & 0 & 1 & 0 & 0 &0..\a_{n-3} & 0 & 0 & 1 & 0 &0 ..\...\a_{0} & 0 &0 &0 & 0 & 0\end{matrix}$ ，其中 $-a_i$ 是 $lambda_{A}(t)$ 的 $i$ 次項係數，把這樣的矩陣稱為一個循環矩陣。這啟發我們，考慮循環矩陣來表達的標準型。對於這個標準型的存在性，我們有如下的基本定理：

循環標準型基本定理：任意域 $mathbb{F}$ 上的線性空間 $V$ 上的線性運算元 $A$ 的矩陣都可寫為循環塊的直和。

回顧之前的討論，我們只要證明，任意線性空間都能寫為循環子空間的直和就好了，在Jordan標準型中，我們要求它被寫為 $A$ 在其上冪零的子空間的直和。在對這個基本定理的證明中，我們當然要參考Jordan標準型基本定理的證明。

設 $lambda_A(t)=prodlimits_{i} lambda_i(t)^j$ ，每個 $lambda_i(t)$ 都是既約的，定義 $U_i:{x|lambda_i(A)^k x=0}$ ，容易驗證這是 $V$ 的子空間，且是 $A$ 的不變子空間，稱它為 $lambda_i(t)$ 的根子空間。

引理： $V=igoplus_{i} U_i$

證明：首先，設 $v_i=prod_{j e i} lambda_i$ ， $v_i$ 之間顯然是互素的，由Bezout定理就有 $sum_{i} j_i v_i=1$ ，設 $W_i=j_i v_i(A) V$ ，由Hamilton-Cayley定理我們知道 $W_i subset U_i$ 。

再者，因為 $sum_{i} j_i v_i=1$ ，所以 $sum_{i} W_i=V$ ，故 $sum_i U_i=V$ ，注意到 $lambda_i$ 兩兩互素，由Bezout定理不難證明 $U_i cap sum_{j e i} U_j=0$ ，故這個和是直的。Q.E.D

這個證明有一個不好，任意域上的Hamilton-Cayley定理我只會乞靈於施坦尼茨定理的證法，有沒有平凡一些的……

由這個引理，我們可以把 $A$ 的矩陣分解到根子空間上處理，藉此我們排除掉 $A$ 冪零的情況，在這種時候它的矩陣可以是Jordan標準型。（冪零矩陣的Jordan標準型在任意域上都存在）接下來我們總假設 $A$ 不冪零，並且在根子空間上處理問題。

基本定理的證明：我們考慮歸納地劃分循環子空間，假設現在已經有了一族 $m$ 個和是直和的 $U_i=left<x_i,Ax_i,..,A^{a_{i -1}} x_i ight>$ ，並且 $deg mu_{A,x_i}=a_{i}$ 。不妨設 $a_i le a_{i+1}$ 。

考慮 $v otin O=igoplus_{i} U_i$ ，取一個 $k$ 使得 $A^{k-1} v otin O,A^k v in O$ ，它如果不存在那當然是墜吼的，直接就多了一個循環子空間，否則，不難尋找到 $u$ 使得 $Au=sum_{i} alpha_i x_i,u otin O,left<u ight>igoplus O=left<v ight>igoplus O$ 。把分解式中指標最大的的 $x_i$ 換成 $u$ ，因為 $A$ 不是冪零的，故容易驗證， $left<p,Ap,..,A^{n-1} p ight>,n=deg mu_{A,p}$ 與 $igoplus_{j e i}U_j$ 的和是直和。但注意到，現在，這個直和的維數被擴大了。繼續這個過程，我們就得到了 $V$ 的一個循環子空間的劃分。Q.E.D。

完成了存在性的證明，我們自然要問，它的唯一性怎樣呢？不同於 Jordan 標準型，循環標準型一般是不唯一的，即使循環塊只有一個也不行，例如，二維空間 $V$ 上 $Ae_1=e_2,Ae_2=3e_2-2e_1$ 的 $A$ 的一個循環標準型顯然只有一個循環塊，但考慮 $(A-1)e_1$ 和 $(A-2)e_1$ ，不難驗證它們生成的循環子空間的和是直和，並且直和到 $V$ 。於是它也可以分解成兩個循環塊的直和。

是以膜川。