微小的代數幾何remark II: Spectrum

01-24

2號和室友去看你的名字了，所以今天才更新。spectrum本意是光譜，能看到絢爛的慧星也要歸功於它了。當然代數幾何里很多有趣的東西也是源於spectrum了。

提到代數幾何，大部分人直接聯想到的是高中學的解析幾何。雖說其實是一些略顯trivial的東西，但還是提供了一種結合代數與幾何思路。事實上這個對象在代數幾何裡面也是挺常遇到的簇(variety)。解析幾何是通過多項式零點來得到的一些幾何對象的。而當我們把多項式環推廣成一般的含幺交換環(以後提環都默認是含幺環)時，要怎麼構造幾何呢。

按照之前將的觀點，此時函數我們都考慮多項式函數，我們把在一點取零的多項式全體和這點對應起來。 $mathbb{R}^n$ 的點 $A=(a_1,cdots,a_n)$ 在 $A$ 取零n元多項式自然有 $f=(x_1-a_1)f_1+cdots +(x_n-a_n)f_n$ ，我們這個記集合為 $mathfrak{m}_A=(x_1-a_1,cdots,x_n-a_n)$ 易知這是一個極大理想。接下來我們來考慮之前提到的點和「在一點取零的函數 $mathrm I(A)$ 」對應的想法，反過來，如果我們指定一些滿足性質的函數集合，我們甚至能構造出新的「點」。我們來看看 $mathrm I(A)$ 有什麼性質: $1.f(A)=0,forall g Rightarrow fg(A)=0 ;2.forall f(A) eq0,g(A) eq0Rightarrow fg(A) eq0$ ，1說明 $mathrm I(A)$ 為一個理想，2說明 $mathrm I(A)$ 為一個素理想。於是我們考慮多項式環 $mathbb{R}[x_1,cdots,x_n]$ 的所有素理想,記為 $mathbb{A}^n_mathbb{R}$ 。為了完成的定義，我們還需要給 $mathbb{A}^n_mathbb{R}$ 加上拓撲和ringed space結構。

在此之前，先觀察一些簡單情況，看看 $mathbb{A}^n_mathbb{R}$ 是如何組成的。防止混淆起見 $mathbb{A}^n_mathbb{R}$ 中的「點」都稱為元，區別於一般幾何對象說的點。 $n=2$ 時， $mathbb{R}[x,y]$ 有三種元: $(x-s,y-t),(f),(0)$ 其中 $f$ 為不可約多項式。而他們對應的幾何圖像有四種：點 $(s,t)$ ,沒有實點的虛曲線(如 $x^2+y^2+1=0$ ),曲線 $f(x,y)=0$ ,整個平面(注意當我們把 $mathbb{R}$ 換成代數閉域時就不需要考慮第二類元了，其實那些是一些相對孤立的元有時我們可以忽略這些元).

還需再強調，這裡的每一個元就是一個幾何對象，點是元，線是元，整個平面也是一個元，雖然圖像上看到這個點和線相交了，或者線和線相交了，但在 $mathbb{A}^2_mathbb{R}$ 中這是兩個不同的元。可以想像這個空間像是有三層，一層是點的元，一層的線的元，一層是面的元。雖然如此，但我們還是希望線的元和線上點的元有一定關係，於是靠引入拓撲讓他們發生聯繫。

首先我們希望這個拓撲限制在點元上不是太奇怪，所以我們希望一個點元組成的集合還是閉集。另一方面，線上的點元和線元應該有一個「相鄰關係」。如果要求線元的每個鄰域都包含線上點元，這會與點元為閉集矛盾，所以我們要求是線上一點元的每個鄰域都包含這個線元。這樣定義出來就會發現一個線元的集合不是閉集，而且它的閉包會包含這線上的點元。索性我們就讓著這恰好是一個閉集:一個線元和它上面的所有點元組成它的閉包。當然這裡的線都是代數曲線了。類似的，面元的閉包就是上面的所有線元和點元。

現在從代數角度來看這個定義，一個點 $(s,t)$ 在一條線 $f=0$ 上換成對應的素理想的表達是 $(x-s,y-t)supseteq(f)$ 。所以元 $(f)=mathfrak{p}_0$ 的閉包就是 $mathrm V(f)={mathfrak{p}in mathbb{A}^2_mathbb{R} ,mathfrak{p}supseteq(f)}$ 考慮這個為閉集基，就可以定義出所有閉集:對當然 $Ssubseteq mathbb{R}[x,y],mathrm V(S)={mathfrak{p}in mathbb{A}^2_mathbb{R} ,mathfrak{p}supseteq S}$ 。用集合 $S$ 和由其生成的理想 $langle S angle$ 定義出的閉集是一樣的，所以也可以只考慮全體理想生成的閉集就。驗證其滿足閉集的要求，取閉集的補為開集，我們就得到了Zariski拓撲。易見這個拓撲的是不滿足Hausdorff的，這也是給出了一個脫離一般理解的幾何對象不那麼平凡的拓撲了。注意到唯一面元的閉包 $mathrm V((0))= mathbb{A}^2_mathbb{R}$ ，於是這個時候 $(0)$ 叫genericpoint.

再給個例子加深一下對這個空間的理解。考慮如圖兩個閉集的交。

由於線元是兩個不同的線元，交後就沒有線元了，至於點元就剛好是兩條曲線相交的三個點。當考慮這個拓撲限制在 $mathbb{R}^2$ (限制在全體點元的空間上)，閉集就是全體代數集，即若干多項式的公共零點。類似的也可以定義 $mathbb{A}^3_mathbb{R}$ 。可以感覺到，我們把元分成一層層的好像是和維數有關的，實際上一般的spectrum維數的定義也和這有關係，這涉及Krull dimension，此處不詳談了.

現在到了一般的交換環 $R$ ，我們就可以定義spectrum了 $mathrm{Spec}R$ :元素為 $R$ 的全體素理想，在上面定義的Zariski拓撲，全體閉集為 $Ssubseteq R,mathrm V(S)={mathfrak{p}in mathrm{Spec}R ,mathfrak{p}supseteq S}$ ，可以驗證 $D(f)=mathrm{Spec}R-mathrm V(f)$ 為拓撲基。

然而事情到此還沒完，要完成affinescheme的定義，我們還需給spectrum加上ringed space的結構，也就是我們需要在上面定義一個函數層，即每個開集要對應一個函數環。所以接下來我們就需要局部化(localization)了。