從巴塞爾問題到黎曼zeta函數（1）：巴塞爾問題以及其推廣：zeta(x),x為整數（前篇）

01-24

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^2}}$

求上述無窮級數的值，即為所謂的巴塞爾問題。關於巴塞爾問題以及它的多種解法，已經有博文http://www.cnblogs.com/misaka01034/p/BaselProof.html#title03珠玉在前，這裡就不搬運了。推廣巴塞爾問題，我們有：

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^x}}=? (xinmathbb{Z})$ (1)

對於級數(1)，我們先判斷其斂散性，

由Cauchy 積分比較判別法，我們可以知道

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^x}}$ 的斂散性與積分 $int_{1}^{infty} {frac{1}{t^{x}}}dt$ 的斂散性是等價的

而

$int_{1}^{infty} {frac{1}{t^{x}}}dt=[frac{t^{-x+1}}{-x+1}]_{1}^{infty}$

顯然，當 $x>1$ 的時候，上述廣義積分收斂，當 $xleq1$ 時，上述廣義積分發散。因此無窮級數（1）在 $x>1$ 的時候收斂， $xleq1$ 時發散。（注意到，上述斂散性的討論其實在x取實數的時候也是成立的）

接下來我們來仔細考察一下，這兩種情況。

1.級數（1）發散

根據上述討論，此時， $xleq1$ 。

i) 當 $x=1$ 的時候，級數（1）變為：

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$

上述級數是發散的，但是其趨於無窮的方式是怎樣的呢？

注意到；

$frac{1}{n+1}<ln(1+frac{1}{n})<frac{1}{n}$

所以

$ln (1+frac{1}{n})<frac{1}{n}Rightarrow ln(n+1)-ln(n)<frac{1}{n}Rightarrow ln(n+1)<sum_{k=1}^{n}{frac{1}k{}}$

令 $x_n=sum_{k=1}^{n}{frac{1}{k}}-ln n$ 由上式可知， $x_n>sum_{k=1}^{n}{frac{1}{k}}-ln(n+1)>0$ ，所以數列 $left{ x_n ight}$ 有下界，

${x}_{n+1}-x_n=frac{1}{n+1}-ln(1+frac{1}{n})<0$ ，所以數列 $left{ x_n ight}$ 單調遞減，根據單調減且有下界的數列必有極限，我們知道數列 $left{ x_n ight}$ 極限存在，記為 $gamma$ ,我們稱其為Euler常數。即

$sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}} -ln n = gamma$ ,

由上面的結果，顯然有

$lim_{n ightarrow infty}{frac{sum_{k=1}^{n}{frac{1}{n}} }{ln n}} =1$

即 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}} = O(ln n)$ ,這說明 $x=1$ 時，級數（1）與自然對數函數為同階無窮大(omicron打不出來，只好用O代替了)

ii)當 $x=0$ 的時候，級數（1）變為：

$sum_{n=1}^{infty}{1}=lim_{n ightarrow infty}{n}$

當 $x=-1$ 的時候，級數（1）變為：

$sum_{n=1}^{infty}{n}=lim_{n ightarrow infty}{frac{(1+n)n}{2} }$

當 $x=-2$ 的時候，上述級數變為：

$sum_{n=1}^{infty}{n^2}=lim_{n ightarrow infty}{ frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

注意到極限號裡面的東西是我們從小學直到高中的時候就非常熟悉的求和公式，那麼，不知道各位想過沒有，當 $xle0,xinmathbb{Z}$ 時，級數(1)是否有一個一般的公式，可以讓我們直接寫出結果呢？

答案是，有，記 $S_m=sum_{k=1}^{n}{n^m},minmathbb{N}$ ，我們有：

問題1： $S_m$ 為次數為 $m+1$ 的多項式函數。

問題1的解決見下一篇文章。

2.級數（1）收斂

根據之前的討論，我們知道此時 $x>1$ ，我們記此時的級數（1）為 $zeta(x)$

當 $x=2$ 時，此即為巴塞爾問題，結果記為 $zeta(2)=frac{pi^2}{6}$

當 $x=3$ 時，Euler給出了下面一個奇怪的公式（ref1）：

$zeta(3)=frac{1}{7}pi^2left{ 1- 4sum_{k=1}^{infty}{frac{zeta(2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}} ight}$

可以用Fourier級數的方法，給出當 $x=4$ 時，有 $zeta(4)=frac{pi^4}{90}$ ，

。。。

自然而然的，我們有:

問題2： $zeta(2k)=f(2k)pi^{2k},k in mathbb{N}$

以及

問題3： $zeta(2k+1)=?, kinmathbb{N}$

問題2，我們可以用複分析的方法（請看下一篇文章）給出一個肯定的回答，至於問題3，我查到的文獻，大多只是求出了一些嚇人的公式，至於最簡單的 $zeta(3)$ 人們也只知道它是一個無理數(見ref 2)。至於它到底為幾，會不會是 $pi$ 和 $e$ 的線性組合，就不知道了。。。如果有哪位大神知道 $zeta(3)$ 等於啥，請務必告訴我( ^_^ )

參考文獻

1.Katsurada, Masanori. "Rapidly convergent series representations for zeta (2n+ 1) and their chi-analogue." ACTA ARITHMETICA-WARSZAWA- 90 (1999): 79-89.

2.Dwilewicz, Roman J., and Ján Minác. "Values of the Riemann zeta function at integers." Materials matemàtics (2009): 0001-26.

說明：

問題1,2的解決方法以及問題3的探討，請看下一篇文章（目測到下周了。。。）

以上。