什麼是階次？

01-26

本文首發於公眾號《模態空間》。

研究旋轉機械的振動雜訊，離不開階次。那什麼是階次，為什麼要關心階次，怎麼計算階次等等，您都清楚嗎？另外，我們經常說結構有多少「階」固有頻率或模態，這個「階」跟「階次」又有什麼區別呢？

本文主要內容包括：

1. 什麼是階次；

2. 為什麼要關心階次；

3. 怎麼計算階次；

4. 怎麼顯示階次；

5. 與「階」的區別；

6. 階次實例。

1.什麼是階次

作為一個處於旋轉狀態的部件，它會產生一定幅值的響應（振動或/和雜訊）。隨著轉速的變化，這個響應也會發生變化。階次是結構旋轉部件因旋轉造成的振動或/和雜訊的響應，這個階次響應與轉速和轉頻之間有對應關係。確切地說階次是轉速或轉頻的倍數，對轉速保持不變。獨立於軸的實際轉速，是參考軸轉速的倍數或者分數。而結構的振動雜訊響應通常出現在轉速的倍數或者分數處，也就是這些階次處。

當結構的旋轉部件處於運轉狀態時，旋轉本身就是一種激勵，結構對這類激勵會產生響應（振動或/和雜訊），這些響應與轉速直接相關。我們也可以這樣理解：當結構受到激勵時，產生的強迫響應頻率與外界激勵頻率是同頻率或者是激勵頻率的倍頻。因此，對於旋轉部件，在受到旋轉激勵（我暫且這樣稱呼它）時，結構會產生與旋轉頻率（簡稱轉頻）同頻率的響應或者旋轉頻率倍頻的響應，而這些響應的大小是隨頻率變化的。將這些響應與頻率和轉速結合起來，就形成了所謂的階次。如1階次為1倍轉速，K階次為K倍轉速。

因此，階次是從激勵（轉速）角度來描述的，但又獨立於參考軸的激勵轉速，對轉速保持不變。階次關係由結構特點所確定。參考軸不同，階次關係也不會同。

2. 為什麼要關心階次

對於分析旋轉機械的振動雜訊，進行階次分析非常有幫助。這是因為系統產生的響應大多數情況下都與特定的階次（當然還有共振頻率產生的響應）相關，在特定的階次上會出現相應的響應。系統的每一個部件（齒輪、軸、活塞、泵、輪胎等）對系統的振動雜訊總量級（Overall level）都有貢獻。階次分析幫助確定每一個獨立部件對總量級有多大的貢獻。

在《怎麼計算信號中的RMS》一文中，曾經對計算Overall與階次作過簡單的介紹，二者的區別如下圖所示。上圖為Overall level計算需要考慮整個帶寬內的RMS值，下圖為階次切片只需要計算階次寬度內的RMS值。因此，所有的階次之和就是所謂的Overall Level，也就是說，通過階次分析可以幫助確定每一個獨立部件對總量級的貢獻有多大。而每個部件對系統的貢獻是與特定階次相對應的，通過階次分析就可以確定這個部件對總響應的貢獻。關於Overall Level與階次的區別將在後續文章《什麼是Overall Level？》一文中詳細介紹。

另一方面，階次分析幫助工程師確定問題來源。如在發動機振動雜訊分析中，在測試之前，測試分析工程師需要確定發動機各旋轉部件與曲軸轉速之間的階次關係，如下圖所示。當實際測試時，如果發現某階次的響應特別大，就可以通過階次關係確定是發動機哪個部件產生的響應，從而針對這個部件進行減振降噪工作。

E2：動機二階激勵； Cam：凸輪軸正時齒輪； Cra：曲軸正時齒輪 WP：水泵葉片； WPB1：水泵軸承滾珠； WPB2：水泵軸承滾柱；A：發電機； AFF：發電機前風扇； ARF：發電機後風扇；AB：發電機軸承； AG：發電機線槽

因此，對於旋轉機械而言，階次分析是一個非常有用的工具。

3. 怎麼計算階次

階次本質上與每轉的事件數有關，是轉速或轉頻的倍數。首先，讓我們來看旋轉軸的階次計算。一根旋轉軸，它是一個旋轉機械的一個部件。假設這根軸的轉速為600RPM，那麼它的轉頻是多少？

旋轉頻率是10Hz表示這根軸在一秒鐘內旋轉10圈。下面是頻率和相應幅值（可以是聲壓、加速度等物理量）曲線圖。這個幅值可以是機械上任何位置測量得到的，它會隨著測量位置的變化而變化。如方向盤上的振動幅值遠小於汽缸蓋上的振動幅值。

現在這根軸轉速為3300RPM，它的旋轉頻率又是多少？

再次，這根軸的轉速是6000RPM，它的轉頻是100Hz。對於這個轉速，幅值-頻率曲線如下圖所示。

如果我們考慮以上已經測量的三個轉速，並且將它們放置在用頻率、幅值和轉速表示的三維圖中，我們將得到如下所示的圖形。

我們生成的階次數據是這根軸三個轉速點所對應的數據。現在，我們假設轉速穩定增加，從600RPM增加到6000RPM，沿著轉速上升區間按較小的轉速增量計算頻率和幅值。完整的頻率-幅值-轉速頻譜圖如下所示，這就是第1階次。

如果沿著綠色曲線作切片，得到的曲線稱為階次切片。階次跟隨轉速和相對應的幅值，如下圖所示。

現在假設系統是通過皮帶聯接的兩根軸所組成，A軸的直徑是B軸的3倍。A軸轉速從600RPM增加到6000RPM，同時通過皮帶帶動B軸旋轉。

如果A軸的轉速為600RPM，它的轉頻為10Hz，B軸通過乘以3倍的速比得到它的轉頻

10Hz×3=30HzB軸的響應幅值在30Hz和600RPM處，如下圖所示。

A軸現在的轉速是6000RPM，這時B軸的轉速將是18000RPM。18000RPM對應300Hz，在圖上繪出這一點，如下圖所示。

補上升速過程中其餘的數據點：RPM/頻率數據和相應的幅值。補充後的曲線將是第3階次。

階次數是相對於第1階次的每轉事件的比率。在上面這個例子中，A軸每轉一圈，B軸將轉3圈，這使得B軸的響應為3階次。

將第1階次所在的旋轉軸設置成參考軸，隨後確定的所有階次都將是相對於第1階次的每轉事件的比率。商業軟體會自動設置第1階次作為旋轉部件的轉速，用於跟蹤。如果這個轉速是從曲軸上讀得的，那麼曲軸將被設置成第1階次。如果這個轉速是從電機上讀得的，那麼電機的轉速將被設置成第1階次，此時，所有的階次都將相對於電機的每轉事件而言的。

因此，如果B軸用第1階次代替，那麼A軸的階次將是多少？對於B軸每轉一圈而言，A軸將完成1/3圈。因此，如果B軸是第1階次，那麼A軸將是1/3階次。

因此，在計算階次時，將實際測量的轉速設置成第1階次，其他旋轉部件的階次通過結構之間的轉速傳遞關係（傳動比）確定階次數。

另一方面，頻率表示的是每一秒鐘發生的事件數，而階次則是每轉發生的事件數。假設參考軸的轉速為R rpm，那麼階次與轉速的關係如下：

4. 怎麼顯示階次

瀑布圖、colormap（彩圖）和階次切片圖通常用於繪製階次數據。瀑布圖和colormap圖通常是沿著RPM軸按照較小的轉速增量產生自譜（也可以是其他類型函數）生成的。

沿著頻率軸的每一條曲線都是在特定轉速步長下的單張瞬時自譜。將這些自譜按著轉速先後順序堆放在一起則形成了瀑布圖，關於瀑布圖分析詳情請見《瀑布圖分析注意事項》一文。

這個圖更直觀的版本是colormap圖。Colormap是瀑布圖的平面形式，因此，沒有幅值軸，用顏色深淺表示幅值。更暗/冷的顏色表示更低的幅值，而更亮/暖的顏色表示更高的幅值。Colormap/瀑布圖中確定的關鍵因素是共振頻率和階次線。階次線是從原點出發的斜線。共振頻率是垂直頻率軸的直線，且幅值更高。

通常，用戶以dB的形式顯示數據。這將使得顏色更為鮮明，使得用戶更易於區別共振頻率和階次線，如上圖所示。

還有一種顯示方式是階次切片圖，在以上兩種圖形顯示方式中，如果要比較兩個或多個階次之間的相對大小，這是很不方便的，因而，此時需要把這些階次作切片，將切出來的階次放在同一個二維圖中進行比較，則方便得多，這就是所謂的階次切片圖，如下圖所示。

在階次切片圖中，由於橫軸多為轉速，則怎麼求某個轉速下的頻率呢，如下圖所示的峰值處的頻率是多少？

圖中峰值處對應的轉速為3090RPM，該轉速對應的轉頻為3090/60=51.5Hz，而對應的階次為8階次，因此，對應的頻率為51.5*8=412Hz。

5. 與「階」的區別

我們曾經在《什麼是固有頻率？》中講到結構會存在多階固有頻率或模態，那麼這個「階」與我們在這裡所說的「階次」有什麼區別？

首先，我們應明白「階」是結構固有屬性的一種描述方式，跟外界的激勵是沒有關係的，描述的是結構的固有頻率或模態有多少「階」或第幾「階」。並且，一般是針對結構而言的，該結構可以是旋轉結構，也可以不是旋轉結構。而階次一定是針對旋轉結構而言的，只有當結構處於旋轉激勵時，我們才談階次，此時，也經常將階次簡稱階，但不是我們之前所說的那個階。

如上面瀑布圖或colormap中斜線是我們所談的某階次，垂直頻率軸的亮線或峰值是共振頻率，對應某階固有頻率。階用來描述固有頻率或模態，階次用來描述響應與轉速或轉頻的倍數關係。

6. 階次實例

風扇：

帶有6塊葉片的風扇的轉速為6000RPM，它的主軸頻率是多少？葉片的通過階次是多少？