光學~幾何光學

一開始接觸普通物理中幾何光學這部分內容時，我其實是拒絕的，因為它學起來和「雞肋」沒什麼區別。但是，實際上……實際上……它也是很「雞肋」的……不過，雞肋總歸不是骨頭，上面還是有「肉」可以去啃的。比如費馬原理與古典變分法；高斯光學與辛幾何……

邏輯上，量子電動力學「近似成」電動力學；電動力學「近似成」波動光學；波動光學「近似成」幾何光學；最後幾何光學再「近似成」線性光學。不過從歷史的角度看，順序基本是反過來的。想了解這個「近似」的過程可以參考一下朗道的第三卷和第四卷，它畢竟不是這次的「主角」……

第一部分：費馬原理與古典變分法

費馬原理說的是：AB兩點間光線的真是路徑，是光程為「平穩」的路徑。

具體來說就是對光程的變分為零：，

由費馬原理容易導出所謂的幾何光學三定律。即，光的直線傳播定律，反射定律，和折射定律。這些都是我們早在中學就接觸過的。

當然，費馬原理和「最速降線」，「等周問題」一樣，都是古典變分法早期發展中的重要問題。算是古典變分法中一個比較重要的例子吧。關於這方面已經說得很多了，這裡不再贅述。

第二部分：高斯光學與辛幾何

1，線性光學：

線性光學可以算是幾何光學的一種近似，在考慮的各種角度都很小的情況下，這種近似是有效的。

具體來說：，，

我們在高斯光學中所謂的「傍軸條件」正式來源於這種近似，只有在一定條件下，這種近似才是有效的。

2，高斯光學：

高斯光學中，成像元件的作用就是將物方的同心光束「變換」為像方的同心光束，成像過程中必須保證光束的「同心性」。若是光線匯聚，則成實像；若是光線的反向延長線匯聚，則成虛像。

考慮單球面成像：由幾何光學定律，結合三角函數進行化簡可以得到：

其中，為物距，為像距，為透鏡半徑。

由此可見，像方光束匯聚點依賴於根本無法保證光束的同心性。但是，在幾線性光學的近似下，，據此可得：。

若考慮等式兩端都等於零，那麼可以發現，即成像元件為平面鏡，這時候可以嚴格保證光束的同心性（沒有近似）。平面反射鏡是唯一能夠嚴格成像的幾何光學器件。

同理，在分析薄透鏡等幾何光學器件時，我分就不必再費力地去分析光束了，只要利用「物」與「像」之間的關係就可以得到很多有用的物理結果。例如著名的磨鏡者公式，

薄透鏡放在空氣中，有：，

3，還是高斯光學：

在高斯光學中，光線的傳播無非有這樣兩種情況：

（1）在同種介質中沿著直線傳播，這種情況下光線與光軸的距離發生變化，但與光軸夾角不變。

（2）在鏡面上發生折射，這種情況下光線與光軸的夾角發生變化，但與光軸的距離不變。

現在我們常試用一個二維矢量來描述光線的「狀態」。我們可以定義這樣一個二維矢量：

，其中為光線距光軸的距離，，為光線「目前」所在介質的折射率，為光線與光軸夾角。可見這個二維矢量可以描述光線的「所有信息」。

有個這個描述光線的方法，我們很自然的想把上面提到的光傳播的情況寫成矩陣的形式。這兩種情況都可以看做是對光線的「變換」。結合高斯光學知識容易得到：

（1）描述光在均勻介質中的傳播的矩陣：

（不會用知乎打矩陣啊，好桑心……）

，

（2）描述折射的矩陣：

，

4，二維辛群：

對於矢量空間，我們「賦予」它辛結構，即定義，且要求它是非退化，反對稱，當然還有雙線性的。賦予了辛結構的矢量空間就「升級」成了一個辛向量空間。接下來，我們可以定義其子空間的「辛正交補」，以及進一步討論它的幾類特殊子空間（symplectic,isotropic,coisotropic,Lagrangian），以得出很多有趣的結論……

對於辛向量空間，我們可以利用它的辛結構，對其上線性變換做某些「要求」，線性變換被稱為「辛的」若其滿足：，。

容易證明，上所有的辛線性變換構成一個群，我們稱之為的辛群記為。

對於二維歐氏空間來說，其上的辛結構就是二階行列式，其上辛線性變換保持「面積」和「定向」不變，其辛群為所有行列式為1的矩陣的集合，即。

高斯證明過這樣一個定理：每個的元素都可以寫成如下形式矩陣的乘機：

矩陣：

矩陣：

到這裡，結合我們上面關於高斯光學的討論，不難得出：高斯光學與之間存在著一個對應關係。具體來說，「同種介質中傳播」對應於「乘以矩陣」，「折射」對應於「乘以矩陣」。即，每一個光學系統都可以表示成中的一個元素；每一個中的元素都可以來描述一個光學系統。

一談到物理中的辛幾何，大多數時候我們先想到或許是「相空間上的辛結構」，「切叢到餘切叢上的勒讓德變換」之類的東西。但實際上，哈密頓是先討論完光學之後，才意識到，他討論光學的方法也可以應用到力學中去的。

我們上面討論了與高斯光學的對應關係，實際上還可以進一步討論與線性光學的對應關係，這裡就不再贅述了。

完了/(ㄒoㄒ)/~~~~~~

（圖侵刪）

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