如何理解p蘊含q，當且僅當p真q假時語句p→q才為假？
例如，事實為昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。一個反事實條件句為：如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就會融化。所有反事實條件句都為真，因為他們的前件為假，因此：如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就不會融化。也為真。
如何理解？？ (例子引自《事實、虛構與預測》納爾遜·古德曼)
這說明一件非常平凡的事情：
- 邏輯連接詞「如果……那麼……」本身不足以刻畫因果關係。
僅此而已。
因果關係是一個非常複雜的關係，具體的討論有很多技術上的細節，你可以參考這個回答。
總體上來說，因果關係是一個邏輯連接詞是無法刻畫的。正如我引用的回答中所說的，充分條件、必要條件、充要條件都無法刻畫因果關係。因果關係並不是一個真值函項關係，而是一個和時間相關的認知語義關係。
真值函項的解釋以及採用真值函項的原因見：數理邏輯中，為什麼「假推出真」？
在經典邏輯中：- 如果我划了火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我划了火柴，那麼火柴不會著：假
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴不會著：真
而在反事實條件情況下，直覺上你會覺得：
- 如果我划了火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我划了火柴，那麼火柴不會著：假
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴就會著：假
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴不會著：真
但是！！！同樣根據直覺，我們有這樣的論斷：
- 如果我划了火柴，並且火柴被浸濕了，那麼火柴就會著：假
- 如果我划了火柴，並且火柴被浸濕了，那麼火柴不會著：真
- 如果我沒劃火柴，並且火柴被浸濕了，那麼火柴就會著：假
- 如果我沒劃火柴，並且火柴被浸濕了，那麼火柴不會著：真
同理：
- 如果我划了火柴，並且他用火機點了這根火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我划了火柴，並且他用火機點了這根火柴，那麼火柴不會著：假
- 如果我沒劃火柴，並且他用火機點了這根火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我沒劃火柴，並且他用火機點了這根火柴，那麼火柴不會著：假
所以說……根據後兩組例子，雖然直觀上我們會說：「我劃火柴導致了火柴著，並且不劃火柴則火柴不著」，但是並不是任何情況下都是如此，所以說即便加入了可能世界語義，我們也很難直接將因果關係形式化。因為這裡已經顯示出來：我們不能將「因為我劃火柴，所以火柴著了」改寫為：在所有可能世界中，如果我劃火柴那麼火柴著了，並且如果我沒有劃火柴那麼火柴就沒有著。
╮(￣▽￣")╭贊同 彭英龍 同學的回復，而且說得非常清楚。不太同意 羅心澄 所說。數理邏輯本身就是生活語句的抽象。何來無法一一映射之說。
在離散數學的書中有這樣一個例子。教授說:
"如果你在期末考試得了滿分，那麼你的成績將會評為A".
那麼，
你得到滿分--&>你得到了A 為真
你得到滿分--&>你沒得到A 為假 （教授坑你）
你沒得到滿分 --&> 你得到A 為真 （這裡你能否得到A已經不取決於你的前提了，滿分是得A的充分條件，但不是互為充分的。"雖然我沒得到滿分，但我也得到了A"是成立的）
你沒得到滿分 --&> 你沒得到A 為真
對一樓羅心澄的部分觀點存疑。
「在經典邏輯中：- 如果我划了火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我划了火柴，那麼火柴不會著：假
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴就會著：真
- 如果我沒劃火柴，那麼火柴不會著：真」
- 如果劃火柴會導致火柴著火，那麼我劃火柴，火柴將著火：真
- 如果劃火柴會導致火柴著火，那麼我劃火柴，火柴將不會著火：假
- 如果劃火柴不會導致火柴著火，那麼我劃火柴，火柴將著火：真
- 如果劃火柴不會導致火柴著火，那麼我劃火柴，火柴將不會著火：真
以上p是對劃火柴與火柴著火的關係的一般判斷，q則是對特殊情況（「我劃火柴」）下的判斷。第三、四條合看最為奇異，但也是可以理解的，甚至日常會話中有時也用到類似的邏輯，譬如：就算太陽打西邊出來，他也不會撒謊；（以及）假如太陽打西邊出來，他就會撒謊——二者同時為真。當然，這帶有一種很奇怪的語氣，很難在邏輯上再現出來。
稍微講一下對「蘊含」的理解。
先看真值表：
咋一看這個真值表有點費解，舉個例子吧。
我們平時都會看球，你給小夥伴講，這球一定會贏，要是輸了我請客。所以命題 A 就是：輸了我請客。如果 A 為真，即球真的輸了，那麼我就要請客，這時候就有兩種情況，如果我請客了（B 為真），皆大歡喜（結果為真），如果不請客，小夥伴一定有意見（結果為假）。反之，如果 A 為假，即球贏了，我不用請客，那這時我也有兩個選擇，我還是請客了（B 為真），皆大歡喜（結果為真），如果我沒請客（B 為假），小夥伴也不會怪我（結果為真）。
這時候再看真值表：
很多邏輯關係其實都可以從生活中找到例子來理解。
多說一句，計算機中有個「蘊含門」，取值如下：
修改了答案，幫忙挑挑錯誤，謝謝啊！
概要：
第一部分（一、二、三、四、五）是針對樓主的標題「如何理解p蘊含q，當且僅當p真q假時語句p→q才為假？」
第二部分（六）是針對樓主的例子：
1、在非形式系統里：
前提：「昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。」
結論：「如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就會融化。」不能得出
「如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就不會融化。」不能得出
2、在形式系統里，「
前提：「昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。」
結論：「『那塊黃油曾被加熱到150華氏度』蘊涵『它就會融化』」
3、形式系統內符號語言蘊涵不等同於非形式系統內自然語言「如果...，那麼...」。
（1）在非形式系統里：
前提：「3+2=4」，「故宮在北京」
結論：「如果3+2=4，那麼故宮在北京」得不出
（除了神秘主義者，一般認為「3+2=4」與「故宮在北京」沒有關係！）
（2）在形式系統里：
前提：「3+2=4」，「故宮在北京」
結論：「3+2=4」蘊涵「故宮在北京」為真
（詳見下面的第六點）
長篇大論前，先上個思維導圖：
（看不清楚思維導圖也沒關係！）
一、蘊涵是形式系統內的符號語言，「如果...，那麼...」是非形式系統內的自然語言。
其實邏輯系統是分為形式系統和非形式系統，形式系統用符號語言表達，非形式系統用自然語言表達。
蘊涵是符號語言，是形式系統里的符號，「如果...，那麼...。」是自然語言，屬於非形式系統。
二、「僅當p真q假時，p蘊涵q為假」是形式系統內對蘊涵的定義
當說「p蘊涵q」時，是在形式系統內說的，而蘊涵的定義就是「僅當p真q假時，p蘊涵q為假」。
根據這個定義，我們可以列出真值表：
（1）p真，q真，「p蘊涵q」為真；
（2）p真，q假，「p蘊涵q」為假；
（3）p假，q真，「p蘊涵q」為真；
（4）p假，q假，「p蘊涵q」為真。
三、在形式系統內定義符號語言「蘊涵」為「僅當p 真q假，p蘊涵q為假」是試圖把非形式系統里的自然語言「如果...,那麼..."形式化。
為什麼形式系統內要如此定義蘊涵呢？目的是表述非形式系統中的自然語言「如果...，那麼..."。
四、但是卻沒有達到此目的，某些情況下沒有達到此目的。
（一）前提是「p蘊涵q"，「如果...，那麼...」
1. 在非形式系統中，我們說「如果p,那麼q」為真時，根據經驗和直觀判斷：
（1）前提：「如果p,那麼q」，p真
結論：q真
例子1
前提： 「如果A是工人，那麼A每月可以從工廠拿到工資」 ，「A是工人」
結論：「A每月可以從工廠拿到工資」
例子2
前提： 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「3+2=5」
結論：「故宮在北京」
（儘管 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」事實上有毛病，但這是前提，從 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「3+2=5」兩個前提中確實可以得出「故宮在北京」。）
（2）前提：「如果p,那麼q」，p假
結論：q的真假不確定
例子1
前提： 「如果A是工人，那麼A每月可以從工廠拿到錢」 ，「A不是工人」
結論：「A每月可以從工廠拿到工資」不確定
（A有可能是個股東，股東每月可以從工廠拿到錢，A有可能是失業人員，失業人員每月不可以從工廠拿到錢。總之，A不是工人，能不能每月從工廠拿到錢不確定。）
例子2
前提： 「如果3+2=6，那麼故宮在北京」， 「3+2=5」
結論：「故宮在北京」的真假不確定
（儘管事實上故宮確實在北京，但從 「如果3+2=6，那麼故宮在北京」， 「3+2=5」兩個前提中得不出「故宮在北京」或者「故宮不在北京」。）
（3）前提：「如果p,那麼q」，q假
結論：p假
例子1
前提： 「如果A是工人，那麼A每月可以從工廠拿到工資」 ，「A不可以每月從工廠拿到工資」
結論：「A不是工人」
例子2
前提： 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「故宮不在北京」
結論：「3+2不等於5」
（儘管事實上3+2=5，但從 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「故宮不在北京」兩個前提中得出「3+2不等於5」。）
（4）前提：「如果p,那麼q」，q真
結論：p的真假不確定
例子1
前提： 「如果A是工人，那麼A每月可以從工廠拿到工資」 ，「A每月從工廠拿到工資」
結論：「A是工人」不確定
（A有可能是個股東，股東每月可以從工廠拿到錢。總之A每月從工廠拿到工資，是不是工人不確定。）
例子2
前提： 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「故宮在北京」
結論：「3+2=5」的真假不確定
（儘管事實上3+2=5，但從 「如果3+2=5，那麼故宮在北京」， 「故宮在北京」兩個前提中得不出「3+2等於5」或者「3+2不等於5」。）
2. 而在形式系統中「p蘊涵q為真"，根據判斷系統內有效性的語形有效和語義有效兩方面：
（1）前提：「p蘊涵q」，p真
結論：q真
語形有效： 在真值表中，「p蘊涵q」為真，p為真，則q為真。所以q是「p蘊涵q」，p的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p蘊涵q」為真，p為真的所有解釋是p真，q真，「p蘊涵q」為真，此時q為真。所以q是「p蘊涵q」，p的語義後承。
所以從「p蘊涵q」，p真，得出q真在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（2）前提：「p蘊涵q」，p假
結論： q的真假不確定
語形有效： 在真值表中，「p蘊涵q」為真，p為假，則q為真，或q為假。所以q為真或q為假是「p蘊涵q」，p的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p蘊涵q」為真，p為假的所有解釋是「p假，q真，』p蘊涵q『為真」，「p假，q真，『p蘊涵q』為真」，此時q為真，或者q為假。所以「q為真」或者「q為假」不是「p蘊涵q」，p假的語義後承。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（3）前提：「p蘊涵q」，q假
結論：p假
語形有效： 在真值表中，「p蘊涵q」為真，q為假，則p為真。所以p 為真是「p蘊涵q」，p的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p蘊涵q」為真，「q為假"的所有解釋是「p假，q假，p蘊涵q為真」，此時p為假，也就是非p為真。所以「p為假」是「p蘊涵q」，q假的語義後承。
所以從「p蘊涵q」，q假，得出p假在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（4）前提：「p蘊涵q」，q真
結論：p的真假不確定
語形有效： 在真值表中，「p蘊涵q」為真，q為真，則p為真或p為假。所以p 為真或p為假是「p蘊涵q」，p的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p蘊涵q為真」，「q為真"的所有解釋是「p真，q真，p蘊涵q為真」和「p假，q真，p蘊涵q為真」，此時p可以是真，也可以是假。所以「p為真」或者「p為假」不是「p蘊涵q」，q真的語義後承。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
形式系統中前提是「p蘊涵q"，非形式系統中前提是「如果...，那麼...」，此時形式系統的有效性與非形式系統的有效性一致，形式系統的「蘊涵"能表述非形式系統的「如果...,那麼...」。
（二）前提是p、q
1. 在非形式系統中，前提是p、q ，根據經驗和直觀判斷：
（1）前提：p真，q真
結論：「如果p,那麼q"不確定；
例子
前提： 「3+2=5」，「故宮在北京」
結論：「如果3+2=5，那麼故宮在北京」為假
（一般認為「3+2=5」與故宮在不在北京沒有關係！）
（2）前提：p假，q假
結論：「如果p,那麼q"不確定；
例子
前提： 「3+2=5」，「故宮在北京」
結論：「如果3+2=6，那麼故宮不在北京」為假
（一般認為「3+2=6」與故宮在不在北京沒有關係！）
（3）前提：p假，q真
結論：「如果p，那麼q」不確定；
例子
前提：「3+2=5」，「故宮在北京」
結論：「如果3+2=6，那麼故宮在北京」為假
（一般認為「3+2=6」與故宮在不在北京沒有關係！）
（4）前提：p真，q假，
結論：「如果p，那麼q」不確定；
例子
前提：「3+2=5」，「故宮在北京」
結論：「如果3+2=5，那麼故宮不在北京」為假
（一般認為「3+2=5」與故宮在不在北京沒有關係！）
所以在非形式系統中：無法從p,q的真假中，得出「如果p,那麼q」的真假。
2、 在形式系統中，前提是p、q ，根據語形有效和語義有效：
（1）前提：p真，q真
結論：「p蘊涵q」真
語形有效： 在真值表中，p為真，q為真，則「p蘊涵q」為真。所以「p蘊涵q」是p、q的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p為真」，「q為真"的所有解釋是「p真，q真，p蘊涵q為真」，此時「p蘊涵q為真」，所以「p蘊涵q為真」是「p為真」，「q為真」的語義後承。
所以從p真，q真得出「p蘊涵q」在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（2）前提：p假，q假
結論：「p蘊涵q」真
語形有效： 在真值表中，p為假，q為假，則「p蘊涵q」為真。所以「p蘊涵q」是p假、q假的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p為假」，「q為假"的所有解釋是「p假，q假，p蘊涵q為真」，此時「p蘊涵q為真」，所以「p蘊涵q為真」是「p為假」，「q為假」的語義後承。
所以從p假，q假得出「p蘊涵q」在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（3）前提：p假，q真
結論：「p蘊涵q」真
語形有效： 在真值表中，p為假，q為真，則「p蘊涵q」為真。所以「p蘊涵q」是p、q的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p為假」，「q為真"的所有解釋是「p假，q真，p蘊涵q為真」，此時「p蘊涵q為真」，所以「p蘊涵q為真」是p假」，q真的語義後承。
所以從p假，q真得出「p蘊涵q」在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
（4） 前提：p真，q假
結論：「p蘊涵q」假
語形有效： 在真值表中，p為假，q為真，則「p蘊涵q」為假。所以「p蘊涵q」為假是p真、q假的語法後承。
語義有效：在真值表中，使得「p為真」，「q為假"的所有解釋是「p真，q假，p蘊涵q為假」，此時「p蘊涵q為假」，所以「p蘊涵q為假」是「p為假」，「q為真」的語義後承。
所以從p真，q假得出「p蘊涵q」在形式系統內有效。
（上圖右邊應該是「語形有效」，寫錯了！）
3、形式系統中結論帶有「p蘊涵q"，非形式系統中結論帶有「如果...，那麼...」，此時形式系統的有效性與非形式系統的有效性不一致，形式系統的「蘊涵"不能表述非形式系統的「如果...,那麼...」。
（三）在非形式系統中，僅僅知道p、q的真假情況，得不出「如果p，那麼q」的真假情況，但是在形式系統中，由於定義了蘊涵是「僅當p真，q假時，"p蘊涵q"為假」，以及形式系統內有效是語形有效和語義有效，所以通過真值表，僅僅知道p、q的真假情況，得出「p蘊涵q"的真假情況。
五、如何使自然語言「如果...，那麼..."形式化
在形式系統中把蘊涵定義為「僅當p真，q假時，"p蘊涵q"為假」，導致了在僅僅知道p、q真假情況下，就可以得出「p蘊涵q"的真假，但在非形式系統中，僅僅知道p、q真假情況，是得不出「如果p，那麼q」的真假情況。
事實上，當我們說「如果p，那麼q」的時候，我們不僅僅需要知道p，q的真假情況，還需要p、q之間的關係，p、q的真假情況是否為必然的關係（即從p的真假情況必然得出q的真假情況）。也就是說：
1、p、q之間有內容聯繫
2、p、q之間有因果聯繫
對1做工作定義了嚴格蘊涵，對2做工作定義了相關蘊涵，但依舊不能把自然語言「如果...，那麼...」形式化。由於邏輯知識有限，不詳細地說。
六、回到樓主所問的問題和例子
例如，事實為昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。一個反事實條件句為：如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就會融化。所有反事實條件句都為真，因為他們的前件為假，因此：如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就不會融化。也為真。
1、在非形式系統里：
前提：「昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。」
結論：「如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就會融化。」不能得出
「如果那塊黃油曾被加熱到150華氏度，它就不會融化。」不能得出
2、在形式系統里，
前提：「昨天我們吃過一塊從未加熱過的黃油。」
結論：「『那塊黃油曾被加熱到150華氏度』蘊涵『它就會融化』」
希望對大家理解有所幫助，其實工作熊邏輯學底子很薄，請見諒！
如果p為真時q為假，p就不蘊含q。
原因是我們定義了空集是任何集合的子集。
分三步說明。
第一步，證明 p-&>q 是 非 ( p且非q ) 的充分必要條件，這個其實就是教科書上的一個等式，在這裡重複證明一下。
1.反證法證明 「p-&>q 是 非 ( p且非q ) 的充分條件。」
若 p-&>q 成立且 ( p且非q ) 也成立，則有 ( q且非q )成立。顯然這是錯誤的。命題得證。
2.證明 「非 ( p且非q ) 是 p-&>q 的充分條件。」
若 p且非q 不成立，那麼p成立時，非q一定不成立，換言之，q一定為真，於是p是q的充分條件，p-&>q成立。故「非 ( p且非q ) 是 p-&>q 的充分條件。」
3.由1，2，可得「p-&>q 是 非 ( p且非q ) 的充分必要條件。」
第二步，證明 「p為假，q為真，命題p→q為真」
由第一步，可知
p-&>q = 非 ( p且非q )
= 非p或q （打開括弧）
= ( 非p且q ) 或 ( p且q ) 或 ( 非p且非q ) （非p或q的具體情況）
換言之，當 p且q，非p且q，非p且非q 中至少一個為真時，p-&>q就是成立的。因此，「p為假，q為真，命題p→q為真」命題得證。
第三步，理解該命題含義
從集合的角度講，非 ( p且非q ) 為真時，不存在元素屬於p而不屬於q，此時p包含於q，那麼若p為真，則q為真，就有了 p-&>q。（用歐拉圖比較好理解，兩個非空集合只有5種關係，而p與非q的交集為空時只有兩種可能，一種p是q的真子集，一種p等於q。）
然而，此時有兩個特殊情況，p為空集而q不為空，與p，q皆為空，對應 p假q 真和 p假q假。由於「空集是任何集合的子集」，所以此時 非p或q 仍然成立（此時非p就是全集，自然全集和任何集合的並集恆為真，p仍然包含於q，也就是 p-&>q 仍成立。
因此，命題「p為假，q為真，命題p→q為真」 「p為假，q為假，命題p→q為真」
在集合方面的含義就是，當p是空集時，p屬於任何集合q，無論q是不是空集（q是真還是假）。在這種情況下，p-&>q恆為真。
最後，我也是邏輯初學，對集合與p-&>q關係並不十分確定，如有錯誤，歡迎指正。
「p蘊含q，當且僅當p真q假時語句p→q才為假」有點問題吧， 應該是：p蘊含q,當且僅當p→q為永真式，即p為真時，q必不為假，不存在p真q假的情況。p蘊含q意味著p為真，q必為真，對p為假，漠不關心，q可為真，可為假。 對於例子，可以這麼理解。它是關於命題p→q的，該命題表示對p、q兩個原子命題的一種判斷，即p成立可以推出q成立，當p不成立時，q成立或不成立對改判斷沒有任何影響，該判斷都應為真。舉個例子，命題所有人都會死，表達了對人和死亡之間的關係的判斷，而鳥會死，石頭不會死（兩者都是對p的否定，使p不成立）都不會影響該判斷，因為鳥和石頭都不是人，它們對判斷沒有任何影響。
人(P)蘊含壞人(Q)。有人(P真)不是壞人(Q假)，iff 所有人都是壞人(P—&>Q)為假。
iff：當且僅當。
要證明命題為假，就舉反例。只有當你得出p成立時，q不成立，才能打p蘊含q的臉。
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