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歐拉公式

01-24
今天下午來寫一篇輕鬆的文章放鬆一下吧，我們來看看歐拉公式O(∩_∩)O~

還記得剛上大一的時候嗎？你抱著一本力學書去上課了，當老師講到簡諧振動的時候，你會聽到這樣的一句話「簡諧振動還可以用複數法來描述，也就是用歐拉公式......」

你看著這個叫做歐拉公式の公式e^{it} =isint+cost，那時候，你知道可以用冪級數來證明這個等式的成立，你也知道用它來描述簡諧運動是多麼的方便，但是，你僅僅只是把他當做數學上的工具，「數學上證明它是對的，那我們拿來用就好了......」。可是，每當你看到它的時候心裡都會有些許的不安，總感覺這裡少了點兒什麼......

也許是出於好奇心，也許是因為閑來無事，你拿起筆想來一探究竟。你寫下簡諧運動の微分方程：x^{，你想了想，「什麼函數求導兩次等於自身乘以一個常數再加一個符號呢？」，正想你熟知的那樣，當然是三角函數xleft( t ight) =A_{o} cosleft( omega _{0}t+varphi _{0} ight) 。可是這個結論對你並沒有什麼幫助，於是你嘗試動手解一解它。

frac{d^{2} x}{dt^{2} } =-omega _{0} ^{2} x，進行積分變數替換，得：

frac{dv}{dx} v=-omega _{0}^{2} x，分離變數兩邊做積分並令積分常數為0，得：

v^{2} =-omega _{0}^{2} x^{2} ，你愣了一下，因為右邊為負而左邊為正，但你立馬想到了虛數......

v^{2} =left(iomega _{0} x ight) ^{2} ，兩邊開方，得：

frac{dx}{dt} =iomega _{0} x，分離變數兩邊做積分令積分常數為0，得：

xleft( t ight) =e^{iomega _{0} t} ，是的你解出來了，但是你仍然不知道，這到底是怎麼回事。比起中學就已經接觸到的三角函數，你解出來的這個東西實在讓人有些摸不著頭腦......

但是，你已經知道歐拉公式の存在了，所以，你嘗試從數學上一探究竟。

考慮諧振子の微分方程x^{，xleft( 0 ight) =1,vleft( 0 ight) =x^{

x_{1} left( t ight) =e^{it } ，x_{2} left( t ight) =isint+cost你將這兩個函數帶入微分方程，發現他們都滿足方程の特解，這說明了一個問題：x_{1}left( t ight) =x_{2} left( t ight) 。

但是，三角函數描述簡諧振動很直觀啊，e^{it} 是個什麼鬼啊！這時候，你慢慢打開書，看到了複平面，想起了勻速圓周運動......

一段時間後，你再次拿出先前推導這些公式の草稿紙，在角落裡寫下了：Uleft( 1 ight) simeq SOleft( 2 ight)

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