飛行器飛行動力學（四）飛機的基本性能-1

01-26

簡單的運動？

飛機在鉛錘平面內定常直線飛行，是最常見的基本運動形式。而定常運動是指飛機運動參數不隨時間改變的運動。嚴格的講，定常運動在實際飛行中是不存在的。

極致的簡單反而是極致的複雜。為什麼？因為飛機在飛行時，質量在改變，迎角在改變，空速也再改變。更加麻煩的是，這些改變的大小快慢很多時候是未知的。如民航著陸時的殺手——風切變。飛機表現出來的運動規律，實際上是複雜物理因素的綜合。

實際使用當中，我們並不需要飛行器做精準的運動。同時在性能分析中，我們更重視定性的分析。那麼就要引入另一個概念：準定常假設。

所謂準定常假設，是指在一定時間內，飛行器的運動參數變化緩慢，則可以近似的認為運動參數不變。即做準定常運動的飛行器，其運動參數是不變的。

飛機的典型直線運動有三種：直線平飛，直線上升和直線下滑。

下面主要以一種方法來進行飛機基本性能的計算：簡單推力法。

平飛性能

飛機勻速直線運動運動方程

我們對航跡坐標系x軸始終處于飛機對稱平面內的運動建立方程。

所以說啊，不對稱的飛機不僅美學上丑，數學建模上也麻煩。始終是飛機設計的非主流方向。

這裡有以下的近似發動機安裝角為0且推力線過飛機的質心。在直線飛行時，迎角 $alpha$ 是一個小量。

根據牛頓第二定律：

那麼對於飛機勻速直線水平飛行時就有：

也就是——飛機勻速平飛時滿足升力恰與重力平衡，阻力恰與推力平衡。

對於包含矢量的公式，看在眼裡要複雜一點。
如：F =ma 應該看做為 (+)(+)F = m (+)(+)a
第一個(+)表示F的局部參考系正方向與參考系正方向正負關係，第二個(+)表示F的方向與局部參考系的正方向正負關係。

是不是很簡單？我相信如果你對這裡經過足夠多的思考，一定會發現這短短一句話中卻蘊含了極其豐富的內涵。為了能夠給大家一些思路，這裡我列舉幾條：

升阻比和推重比的聯合意義在這裡體現。假如一個飛行器這時的升阻比是10，那麼只有滿足推重比大於0.1才能夠實現勻速直線水平飛行。
同一飛行高度，滿足飛機勻速飛行狀態的解有幾個？無數組，但有界。
同一飛行高度，同一飛行速度滿足飛機勻速飛行狀態的解有幾個？1個或2個。
（3）的條件下，假如推力角度可變，又會是怎樣的解？矢量推進系統的意義。
迎角和我們通常認為飛機姿態的是等價的么？不是，即飛機垂直向上飛，迎角也可能只有幾度。

平飛需用推力

那麼，為了保證飛行器具有平飛的能力，我們可以通過簡單的推導得到:

$P_{xu} =frac{mg}{K}$ ，式中 $P_{xu}$ 為所需推力，m為飛機的質量，g為重力加速度，K為升阻比

正如前文所述，飛機的質量始終在變化，我們應該如何使用呢？

一般的，我們用：

$m_{pj}$ =(m1+m2)/2，m1為起飛重量，m2為著陸重量。

平均質量常作為評價飛機名義飛行性能的質量數據。以後我們將m都是視為 $m_{pj}$

通過我們的空氣動力學基本知識可以知道：

K=Cy/Cx

又有：

Y=Cy $frac{1}{2} ho V^{2} S=mg$ ,令C= $frac{2mg}{ ho a^{2} S}$

則推導得到：

Cy= $frac{C}{M^{2} }$

這樣，對於一架給定的飛機在一定高度上飛行， $P_{xu}$ 便只是一個跟飛行速度相關的函數了。

即建立起下面這樣一個過程：

1.已知飛行速度V和H（ $ho$ ）

2.計算得到Cy

3.查極曲線得到K

4.得到飛行器的平飛需用推力 $P_{xu}$

對於這樣一個化簡到精美的式子:

$P_{xu} =frac{mg}{K}$

我們可以發現一個非常有用的結論。那就是得到了平飛最小阻力狀態，或者稱為有利狀態：

$P_{xu.min} =frac{mg}{K_{max} }$

由空氣動力學常識可以知道，當零升阻力係數等於升致阻力係數時，取得 $K_{max}$ 。

即有：

有利巡航升力係數 $C_{y.yl} =sqrt{frac{C_{x0} }{A} }$ ,或者是最小阻力速度 $V_{yl} =sqrt{frac{2mg}{ ho Ssqrt{frac{C_{x0} }{A} } } }$ 。

別忘了，式子中的A是升致阻力係數的係數哦~

從另一個角度來看待：

$P_{xu} =Q=Q_{0} +Q_{i} =frac{1}{2} ho a^{2} SC_{x0} M^{2}+frac{2(mg)^{2} }{ ho a^{2} S } frac{A}{M^{2}}$ ，令 $k_{1} =frac{1}{2} ho a^{2} S$ ， $k_{2} =frac{2(mg)^{2} }{ ho a^{2} S }$
有： $P_{xu} =k_{1} C_{x0}M^{2}+k_{2} frac{A}{M^{2}}$

我們依舊可以讀出 $P_{xu}$ 僅是一個飛行高度和速度相關的函數。不過在看似多此一舉的再次推導中，我們可以觀察到，飛行速度除了影響了M以外，還影響了A和 $C_{x0}$ ，而高度則決定a和 $ho$ 並被我們放到了 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 中。那麼又一個有意思的物理現象得到了公式解釋：

在高空低速飛行時，升致阻力在總阻力中佔主導地位；在中低空高速飛行時，零升阻力佔主導地位；在接近升限的高空飛行時，零升阻力和升致阻力大小大致相當。在零升阻力和升致阻力此消彼長的過程里，表現了 $P_{xu}$ 隨M和H的變化規律。

之前我們應用簡單推力法得到了下面這一個公式：

推力曲線圖

在繼續利用簡單推力法得到飛機進一步的基本性能時，就需要用到之前很早提到的發動機生產者給我們提供的發動機推力數據。

在選取的特徵高度下，畫出不同速度的平飛需用推力和發動機滿油門推力（又細分一些：全加力，部分加力，最大油門不加力）在同一張圖上，就可以得到推力曲線圖。

通過這一張圖，我們可以清楚地得到兩個關鍵的飛機性能：最小平飛速度（ $M_{min}$ ）和最大平飛速度（ $M_{max}$ ）。這是兩個非常關鍵的性能數據，但是這兩個速度是一個長時間的量，也就是說不是瞬時飛機能達到的平飛速度極限，而是飛機能夠穩定保持的平飛速度極限。

飛行包線

由飛機可以進行定常直線平飛的高度和速度所勾畫出的範圍，其邊界稱之為飛行速度包線。但是要注意飛行遭受到諸多的限制，如失速問題，結構強度問題，氣動加熱問題，過載限制問題，操縱性問題。所以飛行速度包線要和其他的性能包線進行取余操作，才能得到最終的飛行包線。

可以說，如果你拿到了一架飛機的飛行包線圖，它在你的面前可謂是一絲不掛了。

不知道你看到飛行包線是不是就像看到，每一架飛機在空中的飛舞就好似帶著鐐銬的的舞蹈？幸運的是，現代飛控系統的加入，可以有效的擴展飛行包線的範圍；不幸的是，拓展的範圍也是有限的。
我們，永遠都是大自然的囚徒。

#本文圖片多次引用西北工業大學商重陽老師的PPT