網格的拓撲結構和度量信息

這一篇談談網格，開門見山。

一、網格分類

現今採用的網格，主要分為以下三類。

1. 結構網格：

特徵：內部網格點具有相同的毗鄰單元。

優點：生成方法簡單，便於描述，存儲空間要求小；網格正交性和貼體性好。

缺點：複雜幾何結構生成困難，難於實現通用化和自動化。

2. 非結構網格：

特徵：內部網格點不具有相同的毗鄰單元。

優點：適合複雜幾何結構；能夠控制網格點分布密度；容易實現自適應。

缺點：在邊界層內部採用，需要大量的網格數量；數據存儲空間要求大，訪問速度慢。

3. 笛卡爾網格：

特徵：二維就是正方形，三維正方體。

優點：整體上網格生成簡單；正交性好；適合自適應。

缺點：數據存儲複雜，查詢和遍歷較為耗時；物面邊界網格處理複雜。

針對不同的網格類型，有不同的流程求解器。

以後我們只探討非結構網格求解器，因為其他類型的網格按照非結構網格的存儲方式存儲，都可以用非結構網格求解器求解。

在討論具體的非結構網格存儲格式之前，先來看兩個概念—拓撲結構和度量信息。好多人天天說網格、看網格，也沒有搞明白這兩個概念的區別。

拓撲學是幾何學的一個分支，其研究圖形在連續變化（比如任何連續的點在變化後還是連續的）後，還能夠保持不變的一些數學性質，比如連通性。長度、大小對其沒有意義，它的研究對象都是抽象的點、線等，其對應的變換叫拓撲變換。

度量信息則是歐式幾何中才會談到的，它是一些在在剛體變換後幾何圖形還能保持的性質，比如長度、角度等。

那麼對應於非結構網格，這裡的拓撲結構指的是什麼？答案是網格的點、面、體的關係；

度量信息指的是什麼？很簡單，邊的長度、法向量，面的面積、法向量，體的體積等。

二、拓撲結構

先看這張圖：

強調一下，這裡少了網格點的編號，非結構網格中每個網格點，每條邊或者面（二維是邊，三維是面），每個單元都要給定一個不同的編號；

那麼拓撲結構信息可以怎麼給呢？不妨想一想。

比如可以給定所有點的坐標，給定每條邊由哪些點組成，給定每個單元由哪些面組成。

比如可以給定所有點的坐標，給定每個邊由哪些點組成，給定每個單元由哪些點組成。

……

有很多種描述方法，那麼實際給出的拓撲信息是什麼樣子的呢？這還要從流場求解器來看。每個單元的通量計算需要把每條邊上的通量加在一起：

那麼是不是應該這樣：計算通量的時候，按照單元循環，給定每個單元由哪些邊組成，然後把所有邊的通量都算好，加到單元上？

實際上不是的，因為每條邊都屬於兩個單元，這樣必然要計算兩次，太耗時。

真正求解器里計算單元通量的時候都是這樣的：按照邊循環，然後看這條邊屬於哪兩個單元，之後把這條邊的通量合併到這兩個單元上去。

既然如此，那麼網格生成後提供給流場求解器的信息最好是這樣組織：

1. 點的編號，對應的坐標；

2. 邊的編號，組成這條邊的的點的編號；

3. 邊的編號，左右兩個單元編號；

4. 每條邊的類型，是內部邊還是不同的邊界邊（物面、遠場等）。

最重要的是點和單元相對於 邊（面）的拓撲信息。下面看看大型軟體是怎麼給這些信息的，以OpenFOAM為例，每個case的constant/polyMesh目錄下，都包含下面5個文件：

points ： 點的編號，坐標。

faces： 面的編號，對應的組成網格點編號。

owner： 面的編號，這個面屬於的那個單元編號（規定其屬於某一個單元）。

neighbour：面的編號，這個面屬於的另一個單元的編號。

boundary： 指定faces中，哪些編號對應的邊在內部或者邊界上。

由於我寫的求解器針對航空外流，所以只有物面和遠場邊界條件兩種，那麼我提供的網格拓撲信息是這樣的（二維情況）：

數組 points（3，npoints）：點的3個坐標。

數組 faces（4，nedges）：1、2索引是邊端點的編號，3、4是左右單元編號，4中用-1、-2用於指定邊界類型（邊界上的邊沒有右單元）。

數組 cells（4，ncells）：組成每個單元的節點編號，三角形和四邊形都可以處理。

3、度量信息

把上述的拓撲信息讀取之後，就可以先提前計算出一些度量信息，比如邊的長度，邊的法向（規定由左指向右，或者由owner指向neighbour），單元的體積，中心坐標等，這些信息在後面的計算中需要。

OpenFOAM中處理拓撲結構的類叫primitiveMesh，從這個類繼承出fvMesh，fvMesh用於處理獲得這些度量信息。

如果自己寫程序，比如用Fortran，可以採用module設計（類似於C++的namespace，namespace 和 class區別也不大，便於改成C++）：

module grid

變數 points，faces，cells 等

contains

subroutine readGrid ！獲得拓撲結構

subroutine vol ！計算體積

subroutine disToWall ！每個單元到壁面的最短距離，湍流模型需要

……

end module

網格部分大體就這樣， 有些細節沒有寫，寫程序的時候可能會遇到，不過都是小問題，容易找到解決辦法。

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