黑河-騰衝線（胡煥庸線）所使用的是哪一種投影？

01-26

黑河-騰衝線被描述為自黑河至騰衝的一條直線。地球是圓的，所以顯然黑河-騰衝線並不是直的，那麼它是經過黑河和騰衝的大圓嗎（暫且假定地球表面是球）？在哪一種（或多種）投影之下黑河-騰衝線在地圖上可以繪製為直線？

很有意思的問題！我覺得由淺入深，至少可以從三個角度來思考：

在不同的地圖投影下，連接黑河-騰衝的直線段，他們之間有多大差別？
在不同的地圖投影下，哪一條線是更有效地劃分了人口分布？如何定義有效性？
不考慮連接具體某兩個城市，那麼最有效劃分人口的線應該在哪裡？

下面依次回答這三個問題。

首先需要獲取人口數據。數據來源[2]，本問題下採用 2005 年的人口數據進行分析。

人口分布如下圖。採用標準 Albers 投影，參數採用[1]中所述

上圖中顏色越深表面人口密度越大。

在不同的地圖投影下，連接黑河-騰衝的直線段，他們之間有多大差別？

根據[1]，中國全圖所用的投影常見為 Albers 投影，也有用 Lambert 投影或者方位投影的。此外， @李澤峰的答案里提到的 Mercator 投影，作為目前網路地圖通用的投影，使用也非常廣泛。因此，在這裡我考慮的投影方式包括：Albers 投影，Lambert 投影，方位投影，Mercator 投影，大圓曲線。

將這幾種投影方式下的直線段都畫到一起（這裡統一畫到 Albers 投影的地圖上）結果顯示如下圖，

其中，藍色線是 Albers 投影下的直線段，粉色線是 Lambert 投影下的直線段，黑色線是方位投影下的直線段，紅色線是 Mercator 投影方式下的直線段，青色線是大圓弧。

可以看到，除了 Mercator 投影差別較大，其他幾種投影方式的結果相差甚微。差別最大的地方在內蒙古境內，局部放大如下圖，

他們之間具體有多少差別呢？簡單計算得到：

可以看到，除了 Mercator 投影之外，其他投影方式，對人口劃分比例的影響不超過 0.3 個百分點，對國土面積劃分比例的影響在 2 個百分點左右。

我認為，這種程度的差異，在討論人口分布劃分線的時候可以忽略。

在不同的地圖投影下，哪一條線是更有效地劃分了人口分布？如何定義有效性？

首先我們要明確一點：怎樣的劃分是對人口分布的最有效劃分？直觀上考慮，最好是劃分的兩部分之間人口差距越大越好，同時每一部分內部人口差距越小越好。應用這個思想，在統計上有個很實用的準則叫 Fisher 準則[4]，可以用來評價某種劃分方式的有效性。

$J=frac{(m_1-m_2)^2}{s_1^2+s_2^2}$

這裡 $m_1$ 和 $m_2$ 是兩部分的均值， $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 分別是兩部分的方差。那麼按照 Fisher 準則，我們可以計算一下不同地圖投影下的黑河-騰衝線劃分人口分布的有效性。

從 Fisher 準則指標看，Albers 投影下的黑河-騰衝線對人口劃分是最有效的。並且我們再一次看到 Mercator 投影與其他幾種投影方式有較大差距。除了 Mercator 投影外，其他不同投影方式對劃分有效性指標的影響不超過 0.6%，從這個角度看，不同的投影方式（除了 Mercator 投影外）的影響可以忽略。

不考慮連接具體某兩個城市，那麼最有效劃分人口的線應該在哪裡？

在人口分布圖上隨意划出一條線，根據上面提到的 Fisher 有效性指標，計算兩部分人口分布的差異性，遍歷所有可能的劃分形式，就可以找到最有效的劃分了。根據前面的分析，不同投影方式對結果的影響不大，為簡便起見，以下討論均基於 Albers 投影進行。

然而這樣計算效率太低，計算時間將會長得無法忍受，我們需要一些更高效的手段來進行計算。

假如說我們先按照某種方式進行劃分，將人口分布圖沿著劃線的方向進行投影，可以得到一條曲線，

如上圖，左圖劃線風向為東北-西南，右圖劃線方向為西北-東南，下方的曲線是人口分布沿著劃線方向進行投影的結果。

可以看到，左圖的曲線分布比較集中，大部分都集中在黑色分界線的右側；而右圖的曲線分布比較分散，整個軸上都有分布。

這樣在不同角度對人口分布進行投影，就得到了人口分布隨著劃分角度變化的情況，在每一個角度下計算不同位置的劃分形式，利用上一小節提到的有效性指標進行檢驗，就可以找到最有效的劃分是怎樣的了。

這種從不同角度對一個圖像進行投影的變換，數學上叫 Radon 變換[3]。醫療中 CT 掃描成像的原理就是這個 Radon 變換。在這裡我要對中國人口分布圖進行一次 CT 掃描，找到最有效的人口劃分線。

根據 Radon 變換的結果進行有效性指標的計算，結果如下圖，

橫軸表明分割線的角度，縱軸表示分割線距離圖像中心的偏移量。暖色代表 Fisher 指標大。圖中有效性指標最大的是角度48度，偏移量-451像素所對應的直線。畫在圖上就是這樣的，

圖中藍色的線就是按照 Fisher 指標的最佳劃分線，作為對比，紫色的線是原始的黑河-騰衝線。這條最佳劃分線的南端仍然在騰衝附近，而北端將經過伊春附近。這條線的兩部分，人口比例為 9.32/90.68，國土面積比例為 61.63/38.37，換句話說，在這條線的東側，約 38% 的國土面積上集中了約 91% 的人口

最後總結與幾點說明

常見的中國地圖投影包括 Albers 投影、Lambert 投影、方位投影。
在常見的地圖投影中，連接黑河-騰衝的直線段，包括連接二者的大圓弧線段，作為人口分布的劃分線，所得結果幾乎一致，相差很小。在中學地理教學中，我認為完全可以忽略這些差異。
網路地圖常用的 Mercator 投影中，連接黑河-騰衝的直線段偏離上述結論較遠。
按照 Fisher 準則判斷，Albers 投影下的直線段對人口分布的劃分更有效。
按照 Fisher 準則判斷，最佳的劃分線南端仍然在騰衝附近，北端將經過伊春附近。
本回答所採用人口數據來自於國家地球系統科學數據共享平台，並且採用的是2005年的人口統計數據，與胡煥庸先生當年採用的數據不相同。本回答僅作為腦洞大開的討論，不作為嚴肅的科學依據。
#鄭重申明# 本回答中地圖數據來源於公開數據平台，沒有包含台灣島的統計數據，此為數據統計來源的差異，與本人政治立場無關。本回答以討論學術問題為目的，謝絕借題發揮。

參考文獻：

[1] 地圖投影系列介紹（四）

[2] 國家科技基礎條件平台—國家地球系統科學數據共享平台（國家地球系統科學數據共享平台）

[3] Radon transform

[4] https://www.wikiwand.com/en/Linear_discriminant_analysis#/Fisher.27s_linear_discriminant

答案應該是Lambert正軸等角割圓錐投影下的線段，若採用經過黑河-騰衝的大圓誤差也在1%之內。

Albers投影與Lambert投影的區別目前還沒有做出，有待進一步查閱考證。

多圖預警！

如圖，即我們認為的黑河-騰衝線，即胡煥庸線。

英文維基百科（還沒有帆檣，讓牆外面同學查的）：

The Heihe–Tengchong Line (simplified Chinese: 黑河-騰衝線; traditional Chinese: 黑河-騰衝線; pinyin: Hēihé-Téngchōng xiàn), also called the Aihui-Tengchong Line, is an imaginary line that divides the area of China into two roughly equal parts. It stretches from the city of Heihe to Tengchong County, diagonally across China.

其中我不認為可以從line一詞中解讀出它是直線，只能夠確定是條線，但不影響我們的探究，當然在胡煥庸的時代，做一條curve有點難度吧。

這張圖和其他若干版本的圖都在告訴我們，這是一條直線，而且背景的中國地圖採用的是正軸等角割圓錐投影，亦即Lambert投影。

關於地圖投影學，我只能查閱相關文獻。在沒有帆檣和圖書館閉館期間，想要找到好用的材料著實比較麻煩，現將需要的內容稍微列舉如下。

將球面投影至平面一種分類方法是圓柱投影、圓錐投影和方位投影

圓柱投影中常用的即Mercator投影，就是一個矩形，優點是航海線路等角不變、時區可以很直觀地顯示，缺點是面積比例嚴重失調，赤道附近變小和極地附近變大。

圓錐投影細分為等角切圓錐投影和等角割圓錐投影，每種還有正軸、橫軸和斜軸，最常見的就是正軸等角割投影，即Lambert投影。所謂等角割投影需要選取割線和圓的兩個交點為基準，中國即取25°N和47°N，中央經線為105°E

接下來再看黑河-騰衝線

現行的各個版本，黑河-騰衝線都畫在了Lambert等角割圓錐投影的地圖上，因此我們也主要考察三種情況，即Mercator投影、Lambert投影和大圓。

來乾貨！

Mercator投影

百度地圖採用的是Mercator投影，在百度地圖上採用測量

考察處在黑河-騰衝線上的省市，可以很清楚的發現山西應當全省處於線的東南，而Mercator投影下該線已經將山西截去了很大一部分；除此之外河北西北和四川盆地的歸屬都顯示，黑河-騰衝線不是Mercator投影下的線段

過黑河騰衝的大圓

google earth採用的是球形，未加投影，在google earth上測量

線上各省市的歸屬情況基本與傳統的黑河-騰衝線一致，但是還存在很小誤差，注意黃河在晉陝交界處，山西呂梁行政區域向西有一塊凸出，侵入了陝西榆林，黑河-騰衝線是掠著這個突起的北部穿過；而在大圓弧中已經有少許偏離。

Lambert投影

現行中國地圖1：100w比例尺及更廣的地圖，採用的是Lambert投影，在中國地圖上測量

第一張圖與傳統的黑河-騰衝線已經十分接近，至少在地圖上各個省份的行政區域用肉眼已經無法找出差別，因此黑河-騰衝線是畫在Lambert投影上的線段。

第二張圖是我估計的在同一張圖中大圓弧和Lambert投影下黑河-騰衝線對比，用我的13.6寸的屏幕全部顯示，兩者最寬處也只有大約0.6mm，在手機上必須點擊圖片放大才能看出是兩條線；在Lambert投影下大圓弧並不是一個標準的圓弧，而是北部曲率略大，這與Mercator投影的實質相一致——極地變形嚴重。兩線最大距離出現在大約是「內蒙古自治區」那個「治」附近。

在這張圖上初步估算兩者的差別。在Lambert投影下圓弧近似為一個底邊為黑河-騰衝線距離，高為兩線最大距離且極小的一個畸形三角形。因為比例尺不一樣，無法用圖上的比例尺，這時可以用一個辦法估算高，這個長度大約是瓊州海峽的一半，查數據得，瓊州海峽寬度大約為20km，因此高約為10km；而黑河-騰衝的距離google earth和百度地圖給出的幾乎無異，取3750km。因此這個誤差面積為18750km2，亦即約為2萬平方公里；又知中國國土面積約為963萬平方公里，因此就面積而論，兩者的誤差在2‰數量級。這裡只是粗略估計了面積的誤差，人口的誤差限於資料有限無法準確估計，但是也應該不會超過1％。

高斯-克呂格投影

我查到的高斯克呂格投影是分為3°帶和6°帶樣子的像一瓣瓣切開的西瓜一樣的圖形，應該不是我們通常見到的一整個地圖。

綜上黑河-騰衝線是Lambert正軸等角割圓錐投影下的線段，若採用經過黑河-騰衝的大圓誤差也在1%之內。

高斯-克呂格投影是一種等角橫軸切橢圓柱投影。它是假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然後將橢圓柱面展開成平面而成的。該投影是19世紀20年代由德國數學家、天文學家、物理學家高斯最先設計，後經德國大地測量學家克呂格補充完善，故名高斯-克呂格投影，簡稱高斯投影。這種投影，將中央經線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實際長度相等，其餘經線為向極點收斂的弧線，距中央經線愈遠，變形愈大。赤道線投影后是直線，但有長度變形。除赤道外的其餘緯線，投影后為凸向赤道的曲線，並以赤道為對稱軸。經線和緯線投影后仍然保持正交。所有長度變形的線段，其長度變形比均大於1. 隨遠離中央經線，面積變形也愈大。若採用分帶投影的方法，可使投影邊緣的變形不致過大。我國各種大、中比例尺地形圖採用了不同的高斯-克呂格投影帶。其中大於1:1萬的地形圖採用3°帶；1:2.5萬至1:50萬的地形圖採用6°帶。

估計當年胡煥庸老先生也沒意識到地理坐標投影的問題。但我覺得他是在投影后的坐標系裡連接黑河騰衝兩點的。深究起來，黑河騰衝也不是理想的兩個點，還要找到他們的城市重心。。。