素數的倒數和是否發散？

01-26

看到了一個證明：

$extstyle sum_n frac{1}{p_n}$ 收斂性等價於 $extstyle prod_n frac{1}{1-frac{1}{p_n}}$ 等價於 $extstyle sum_n frac{1}{n}$ 收斂性。

第2、3個收斂性等價是如何得出的？

注意到

$frac{1}{1-frac{1}{p_n}}=1+frac{1}{p_n}+Oleft(frac{1}{p_n^2} ight)$

根據無窮乘積的收斂判定：對於正實數序列 $(a_n)$ ，無窮乘積 $extstyle prod_n (1+a_n)$ 收斂當且僅當級數 $extstyle sum_n a_n$ 收斂。由於 $extstyle sum_n frac{1}{p_n^2}leq sum_n frac{1}{n^2}$ 是收斂的，因此 $extstyle prod_{n}frac{1}{1-frac{1}{p_n}}$

收斂等價於 $extstyle sum_{n}frac{1}{p_n}$ 收斂。再根據算術基本定理

$sum_n frac{1}{n}=prod_{n}(1+frac{1}{p_n}+frac{1}{p_n^2}+cdots)=prod_{n}frac{1}{1-frac{1}{p_n}}$

因此 $extstyle sum_{n}frac{1}{p_n}$ 收斂等價於 $extstyle sum_nfrac{1}{n}$ 收斂。關於素數倒數和估計的是Mertens" theorems

$sum_{pleq x}frac{1}{p}=loglog x+M+Oleft(1/log x ight)$

這裡 $M=0.261dots$ 是Meissel-Mertens constant。

當然是發散的。

當 $s o1$ , 有

$sum_{p}p^{-s}sim ln frac{1}{s-1}$

證明方法如下：

考慮Riemann zeta函數

$zeta(s)=prod_{p}frac{1}{1-p^{-s}}$

則

$lnzeta(s)=sum_{p}frac{1}{p^{s}}+sum_{pin P, kgeq2}frac{1}{k p^{ks}}$

由於右邊第二項收斂：

$sum_{pin p,kgeq2}frac{1}{p^{ks}}=sum_{p}frac{1}{p^{s}(p^{s}-1)}leqsum_{p}frac{1}{p(p-1)} leqsum_{n=2}^{infty}frac{1}{n(n-1)}=1$

又zeta函數在s=1處有單極點且留數為1

所以

$lnzeta(s)simsum_{p}p^{-s}simlnfrac{1}{s-1}$

可以看出 $sum frac{1}{p}$ 的收斂性還是要比 $sumfrac{1}{n}$ 好一些的

素數的倒數和肯定是發散的啊。。。但是孿生素數的和是收斂的。。

你寫得貌似是歐拉證明時候用的歸納法吧。。。

你的收斂性判斷就是按這個推出來。。。這裡面的N就是i

其實如果只是想證明素數倒數和發散的話，用不到這種高等數學的知識和黎曼公式那麼強的定理，哈代數論上就有初等證明

我就簡答下第二個第三個為什麼一樣，其實，一樓已經說了是算術基本定理。那麼我就多加一點點

$prod_{n} frac{1}{1-frac{1}{p_n} }=prod_{n}(1+frac{1}{p_n}+frac{1}{p_n^2} +cdots )=sum_{a_1,a_2,cdots}{frac{1}{p_1^{a_1}cdots p_k^{a_k}}} =1+frac{1}{2}+cdots$

第一個等號是級數展開，第二個等號就是乘積打開後的組合，第三個就是算術基本定理。

發散的

pn大小大約為n*log（n），其中pn表示第n個素數

而1/（x*log（x））在1到無窮大上積分不收斂，所以發散！

素數的倒數和發散，Rudin的書上有這個習題。這個結論表明，素數集是正整數集的一個真正有份量的子集。

http://zh.m.wikipedia.org/zh/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%80%92%E6%95%B0%E4%B9%8B%E5%92%8C，其中第二個證明是大牛保羅愛多士給出的。