為什麼大多數數學家選擇了Von Neumann 的自然數定義，而不是Zermelo的自然數定義？

01-23

Von Neumann 的自然數定義有何優點？

(不熟悉中文術語, 所以術語方面用了英文. 歡迎知道恰當翻譯的答主補充)

首先對比一下幾種對自然數的定義, n+1代表的是自然數n的successor(下一個數?)：

Peano:

0 = 0

1 = 0+1

2 = (0+1)+1 = 1+1

.....

Zermelo:

0 = ?

1 = {?}

2 = {{?}}

3 = {{{?}}}

....

n+1 = {n}

Von Neumann:

0 = ?

1 = {?} = {0}

2 = {?, {?}} = {0, 1}

3 = {?, {?}, {?, {?}}} = {0, 1, 2}

....

n+1 = n並集{n}

不難看出三者間並沒有原則上的不同, 因為Zermelo定義, Von Neumann定義, 和Peano定義都是可以互相「翻譯」的, 所以不同也只是存在於操作上和理解起來的方便上. 一般教學上偏向於Peano定義, 因為更符合直覺也適合教學. 不過嚴格來說Peano並沒有給自然數下定義, 他只是給出了自然數運算應該符合哪些公理而已.

那麼接下來我們比較Zermelo定義與Von Neumann定義: Von Neumann定義最明顯的一個優勢就是對於任意自然數n, n的定義里包含了n個元素. 相比之下, Zermelo的定義里任意自然數n的定義里只有1個元素, 即n-1.

Von Neumann定義的另一個優勢在於它對於ordinals(序數?)的定義, 任意自然數在這個定義下都可以被看作一個well-ordered set(良序集?) 我們可以取任意一個自然數, 都可以用set-membership來對其進行排序: 1∈2∈3∈, ..., ∈n∈n+1. 在這種定義下, 任意一個ordinal (包括infinite ordinal, ω)都可以被看作是這一個排序上的一個數字. 相比之下, Zermelo對自然數的定義無法被簡單地排序, 因此對序數的定義也要麻煩很多.

謝邀，然而本人高三黨，正在養病＋複習偶然看到了這個問題……（話說我現在只看了微積分，線代，數論，幾何和點集拓撲等等的一部分內容（已被作業逼瘋(°ー°〃)）而且現在複習過程中又忘掉了一部分，汗……）

看完ZS Chen的回答，了解了問題的內容（……），個人的一些其他方面的理解：Von Neumann定義中將數的「後繼」關係定義為集合併的運算，也就是n+1=n∪｛n｝，而數的加法運算在集合中的體現就是並集，如果想要賦予數以集合的意義，就必須（或盡量……）在數的運算與集合的運算間建立等價關係，這一點上Von Neumann的定義處理得很好。