如何看待 Hamilton 對 HP filter 的批判？

FYI http://econweb.ucsd.edu/~jhamilto/hp.pdf

他的批判從技術上而言是有道理的，也不是新的。其實宏觀研究者也意識到了HPfilter的弊端，否則也不會有各種花式filter提出來了，也不會有一些人只用差分。但是，很多時候使用HPfilter不會顯著影響宏觀研究結果的穩健性。

因為考慮到讀者水平，也考慮到我是從宏觀而非計量的角度來作回答，不會有嚴格數學推導，重點也用粗體畫好了。所以專業人士都已經知道HPfilter的問題了，就不要浪費時間看下去。半專業人士，請你們看Cogley and Nason (1995 JEDC), Canova (1998 JME), Ravn and Uhlig (2002), Harvey and Jaeger (1993)。

宏觀研究會注重「經濟周期」，HPfilter是分離所謂「長期趨勢」和「短期周期」的一種手段。

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首先，HPfilter會無中生有創造相關性，或者改變數據的相關性。考察一個獨立同分布的標準正態過程 。在模擬中，這個過程的一階自回歸係數接近於0，p值極高，完全不顯著。下圖展現了 在經過不同下的 HPfilter之後的過程 的一階自回歸係數。圖裡沒有說，但是這些係數無一例外都是顯著的。 的取值是從100到1600，無比正常。

考慮一個一階自回歸帶標準正態雜訊的過程 ，下圖表明，經過HPfilter（為例 ）的過程 和 有著極為不同的相關係數。而且原本自回歸係數很不同的過程會給出非常近似的結果，這對於做estimation的人而言，他們看到一個平坦的likelihood，心情是崩潰的。

其次，平滑數據兩端的HPfilter不符合信息集的邏輯，平滑一端的HPfilter性質不好。HPfilter的矩陣形式這裡直接從Hamilton原文里摘，

是有三條對角線的，這意味著HPfilter在平滑數據的時候，會把將來的數據放進對現在平滑的操作中。這意味著邏輯上講，人們判斷「趨勢」的時候，採用了來自未來的信息。誠然，有一些內生決定的數據（例如消費），如果用時序上的格蘭傑因果是會被笑話的，但最淺顯的，你不能用後天的GDP預測明天的GDP。

那麼如果砍掉 一條對角線會如何？如果只用過去的數據預測未來，那麼在經濟好的時候你會預測趨勢更好，經濟差的時候趨勢更差——經濟周期，根據定義，就沒了。「mean reverting」就消失了。

再次，1600這個魔性的數字不符合計量估計。1600是當初HodrickPrescott用的，大家就紛紛用了起來。計量估計給出的「趨勢-周期」方差比遠遠小於1600。

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Hamilton在文中給出的解決方案是對滯後項回歸，取殘差部分作為周期部分。這個想法不是新的，也有很多人已經在用。更多人用的非HPfilter的解決方案是取增長率等一階差分項。

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HPfilter有很多缺點，我也不會為它洗地。然而使用HPfilter做的研究大部分還是有穩健性。因為宏觀研究在用模型擬合數據的時候，模型產生的數據也要經過HPfilter才會和真實世界對照。把HPfilter看成一個函數，如果函數的像是類似的，我們可以認為函數的原像也是類似的，而HPfilter往往可以保證這一點。因此，正常的研究結果，如果只是換一個filter，定性結論並不會改變（高階的定量結論很可能隨著用的filter而變化）。關於經濟周期的研究尤其是80-90年代時候的研究，開山之作不免有時代局限和技術瑕疵。就算我們今天覺得好的HPfilter替代方案，將來說不定又被研究者推翻了呢。

話說回來，有很多用HPfilter估計宏觀數據相關性，交叉相關性，方差以及高階項的paper，的確可能結果不太穩健，需要我們後輩再來用不同的方法檢驗。之前質疑HPfilter的文章一般都不能發的很好，Hamilton的發聲有助於宏觀研究者正視房間里的大象。