怎麼理解集合序列的上確界和下確界？

01-23

講義里定義如下：
對比後面給出的實數序列的上下極限的解釋（用supremum和infimum定義），實數的能理解，對於集合的能看懂，但總覺得沒有完全明白

問題如下，

supremun 和 upper limit的區別和聯繫是什麼？是否因為研究對象不同會產生差異？

集合supremum定義中「for infinite many values of n」是不是不等於「for all n」? "for all n" 和「for infinite many values of n」哪個範圍比較大還是不可比較？

對於 $lim_{n}infA_{n}subset lim_{n}supA_{n}$ ，講義上的解釋是 ${omega:omegain A_{n} ,$ for all bur finitely many values of n} $subset$ ${omega:omegain A_{n}$ , for infinitely many values of n},對於這個解釋，可以理解為僅對有限個n不成立的陳述是對於無數個n成立的嗎？

對於集合序列的上確界和下確有沒有比較具象的大小的概念？（i.e.可不可以理解為上確界就是序列里所有集合的union所成的集合，而下確界就是intersection所得得集合）

初學高等概率論，set theory之類的基礎知識不完備，經常會遇到集合運算的常用推論或者變換不認識不熟悉的情況，對於比較抽象的概念理解起來也不是很順暢，有沒有好的教材或者參考書推薦？（有買probability essentials, 但是集合方面的基礎知識那本書並沒有涉及）

設 $A_1,A_2,A_3cdots$ 是集合序列，定義指示函數

$chi_{A}(x):=egin{cases} 1xin A\ 0 x otin Aend{cases}$

那麼

$A=limsup_{n oinfty}{A_n}:=igcap_{N=1}^{infty}igcup_{n=N}^{infty}A_n$ 當且僅當 $chi_{A}(x)=limsup_{n oinfty} chi_{A_n}(x)$

$A=liminf_{n oinfty}{A_n}:=igcup_{N=1}^{infty}igcap_{n=N}^{infty}A_n$ 當且僅當 $chi_{A}(x)=liminf _{n oinfty}chi_{A_n}(x)$

謝邀。你想問的似乎是，而 limsup 和 liminf 似乎應該翻譯成上/下極限……我先按集合 limsup/inf 答。

supremum 針對集合。upper limit 針對序列，是 supremum 的極限。這在 limsup 這個寫法中已經有所體現。
for infinite many 不等於 for all，後者範圍更大。比如對除 1 以外的所有整數成立，這是 for infinite many 但不是 for all。
是，但是不等價，另一個方向不成立。即，對無限個 n 成立，也可以同時對無限個 n 不成立。
如果上下確界是指 limsup / liminf 的話，不是。如果 A1 是空集，所有集合的 intersection 是空集，但是 liminf 不一定是空集。如果 A1 是全集，所有集合的 union 是全集，但是 limsup 不一定是全集。
問老師……