數學上點的定義？

01-23

今天看Cal3的視頻的時候發現自己竟然對點線和面之前覺得順理成章的東西產生了懷疑，覺得點是一個十分之無法理解的概念。我們用一個二維的類似圓形的東西來替代點，有一個類似矩形的東西來表示線，然而為什麼點與點之間會有線，而且直線就是我們人為定義的直嗎(/▽＼)今天就突然產生了疑惑。覺得好像整個建立的世界觀開始在搖晃(/▽＼)想要聽聽大家的理解。謝謝大家。

點、線、面在各種幾何公理上都沒有定義……

所以點可以是任何東西。只要你給出的解釋符合公理。

比如用實數來解釋幾何，我們可以用方程來表示一個點，一條線，一個面。

可以用集合來解釋幾何，我們可以用坐標的集合來表示一個點，一條線，一個面。

當然我們還可以用一個蘋果來表示一個點（其實不可以，因為蘋果是最多是可數的）……

為毛點、線、面沒有定義呢？

比如

正三角形：三邊長相等的三角形；

下一級定義

三角形：由三條線段組成的閉合圖形。

再下一級定義：

線段：兩個不同的點組成的無序對

ok，這裡的點可以說就是「底層居民」，不能再定義下去了。

我們能夠一直定義下去嗎？肯定是會有盡頭的。這個基本的「東西」，稱作公理系統的基本對象。

比如說集合論的基本對象是「集合」

幾何的基本對象是「點」、「線」、「面」

實數理論的對象是「實數」

皮亞諾算數公理的基本對象是「自然數」

群論的基本對象是「元」

等等……

基本對象都是沒有定義的，當然，你也可以不把它們稱作「點，線，面」。

公理本身是形式化的東西，沒有任何意義，任何一個定理都是一個字元串罷了。

但是我們可以賦予這些字元串真假、意義。方程是「線」，說得過去，那就是「線」的實際意義了。

這就是為什麼數學裡不會用圖形和直觀推理來進行嚴格證明

為什麼會邀請我答這個。。我試著回答一下

非常容易理解的，點是集合里的一個元素，那麼線就是該集合，我們可以認為線是點的一個無窮集合，那麼每條線都可以認為是點的一個無窮集，當我們比較兩條線的長度時候，即在比較他們之間元素的個數。也就是無窮與無窮的比較。

通俗的說，在解釋無窮的時候，有一個經典的關於旅店房間的例子，我不細說這個是常識，這個例子既解釋了無窮，也說明了無窮和無窮之間是可以比較的，比如實數的個數就大於整數的個數，但是這不直覺上的，而是經過嚴密證明的，例如，反直覺的，有理數的個數與正整數的個數就相等，因為這兩個集合可以認為是等勢的。同理，當我們建立起兩條直線的映射時，也可以比較兩個無窮點集合的大小，這就是長度的比較。但這個長度具體是多少，這個要分情況而定，比如數軸上從原點到（1,0）的距離，在不同的測度下，他的長度也不一樣，我們樸素的定義了其長度在勒貝格測度下的長度為1，則從此處可以推斷任意可數無窮集合所映射的直線的長度，以上就是長度的定義。

至於你說為什麼要用圓形的點要代替點這個東西，因為點在幾何上是不存在實形的，點只是一種數學模型。你的想法很有意思，你說為什麼要用一個類型圓的東西代替點，用一個類似矩形的東西代替線。其實這種直覺即使在非數學上也是不嚴謹的，按照你的理解傾向，圓應該是可以水平密鋪成一個矩形的，就如同點在水平上形成直線，所以，如果要對一個小學生說點這個概念的時候，可以物化點為一個具體的圖形，但絕對不是圓，你應該告訴他，點是一個小矩形，小矩形水平排列形成了線，線在平面上密鋪形成了圖形。這在直覺上更有美感。

睡不著，想著多補充幾點。問題是「點的定義」

根據幾何原本的定義。點是沒有部分的。所以題主認為的點可能是個二錐或者其他的什麼形狀是不可能的。

如果你非要這麼定義點，那麼直線定義都會變得困難。因為你要如何保證隨機的兩條非平行直線相交後的交點形狀一致？（無論點是任何形狀，交點都不會是完全一樣即使是圓，也有三種情況，其他複雜的形狀情況就更多了）

因此，在這種定義下，光是定義相同的兩條直線相交後交點的形狀問題都會變得無比困難，更別說更複雜的其他問題了。

當然，我不是說這種定義是錯的，也可能是我腦洞不夠，也許定義點為某種形狀後，直線不存在了，取而代之的是其他什麼東西，然後出現和已知完全不同的數學領域也不是沒可能。

但如果非要定義點有形狀，那意味著點可以繼續分啊，點就不是最基本的單位。以此創造出的理論也必不可能是最簡的，從這個角度來說，點無部分是不可違背的自然界公理，除非人類的認知改變了。

所以，扯了那麼多，我們至少終於得到了點必須是一個無長度，無寬度，無面積，無高度的一個基本單位。看起來什麼都沒有，但它就是存在。氣不氣（?ò ? ó?）

然後再說線。

線的定義就是把點筆直地按一條線平鋪而成的圖形。

所以，線也就必不可能是樓主說的可能是矩形之類的形狀。因為如果線是矩形，意味著線有寬度。即點有寬度，就和前面的定義違背。系統不自恰，故而線只能定義無寬度。

至於為什麼無長度的點可以構成有長度的線？

我是這麼理解的：

點的長度是低階無窮小1/X，但組成線的點的數量是高階無窮大X2。所以最後表現出有長度（這段是我胡扯的?ω?）

以上，算正式回答樓主的問題，為什麼樓主認為的點和線模型不對。

以下是幾分鐘前的原答案。。

為什麼上面的回答都說點沒有定義？

在歐幾里得的幾何原本裡面定義了23個定義 5條公設，5條公理。

這些組成了現在歐式幾何的基礎核心公理。

幾何原本裡面定義，

點是沒有部分的。

線只有長度，沒有寬度

一線的兩端是點

直線是他上面點一樣平放的線

其他的定義自行百度幾何原本。

首先說明，這些定義你不能說他對，也不能說他錯。

因為在認為這些定義和公理正確的情況下，可以推導出符合正常認知且和已知完全吻合無矛盾的結論，本身具有自洽性。那麼我們就認為這個系統是正確的。

同樣的，代數的皮亞諾公理也是人為定義了自然數，自然數加法等等，才有我們現在的加減乘除。

而採取這樣的體系就能夠得到我們認知的結果，所以我們就認為這是對的。

那麼我就是要挑戰權威，能不能找到另一個自洽系統呢？

顯然可以，在幾何裡面，有非歐式幾何。比如黎曼幾何就是在否定了歐幾里得第五條公設而創造的幾何學。

點是一個集合。

也來嘗試給一個回答。

到目前為止，數學的基礎是集合論。集合論中的集合就相當於樓主所說的點，可以指代人類可理解的任何具體事物，只要該事物不違反集合論公理。樓主的核心問題是為什麼點與點之間會有線。我們理解這其實是人類對序尤其是線性序的直觀理解，線的直覺其實是集合之間的序關係的反應。

最好的序是Cantor引入的良序, 即集合中的任意非空子集都有最小元。良序的典型代表就是自然數集上的哪種序，以及由自然數推廣而得的所謂的序數。序數的特點就是不稠密，每個序數都存在一個後繼序數，這兩個序數之間不存在第三個序數。但非零極限序數具有半稠密性，每個非零極限序數與任意的小於它的序數之間必存在中間序數。我們認為，非零極限序數的這種半稠密性，是所有稠密集的根本來源。

線的概念首先是指一種線性序，即集合中的任意兩個點都可以比較大小。線的典型代表就是實數軸，即具有序結構的實數集。除了任意兩個點可一比較大小以外，實數線還有兩個序特徵。一個是前面提到的稠密性，另一個則是更加抽象的完備性，即任意的有上界的非空子集具有上確界。如何數學直覺足夠好，不難感覺到，實數線的確界性質與良序集的最小元性質具有某種相通之處。事實的確如此。我們能夠證明，實數集的確界性質來源於自然數集的良序性。不僅如此，實數集包括有理數集的稠密性也來源於最小非零極限序數（全體自然數之集）的的半稠密性。

到此為止，精彩的故事才剛剛開始。一旦我們意識到，可以通過良序來構造線，更嚴肅的說法是線性連續統。我們就會發現，原來數學世界中的線竟然還有無窮多的不同種類，對這些線進行分類，一點也不比數學家津津樂道的對拓撲曲面的分類來得輕鬆。[1]

參考文獻：

[1]吳小寧. 論幾乎良序集的冪序[EB/OL].北京：中國科技論文在線 [2017-05-19].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201705-1212.

點沒有定義

點有含義