如何證明空集是任意集合的子集?

設A,B是集合,說A不是B的子集,當且僅當A中至少存在一個元素不是B的元素。按照假推出真的原則,我覺得就可以推出來?不是任意集合的子集了。因為?不包含任意元素,所以假設不成立,是假的,結論為真。我知道這是錯的,不知哪裡有錯誤。。問題源自陶哲軒的實分析有一個關於如何證明?是A集合的子集的一小問,並不來源於教科書。。


瀉藥

假推出真的原則不是這樣用的,因為這裡根本就沒有推出

首先給「A中至少存在一個元素不是B的元素」一個正確的翻譯:

  • 存在 x,x 屬於 A 並且 x 不屬於 B。

推出在哪裡?!在?!哪?!里?!

你的論證用的條件,按照你的說法,有推出(其實也不應該叫推出,不過這個地方問題不大),那就應該是「存在 x,如果 x 是 A 的元素,那麼 x 不是 B 的元素」。這是一個典型的錯誤翻譯。具體不想說了自己回去想是怎麼回事,簡單來說就是:全稱命題翻譯成條件句,存在命題翻譯成合取句!


好像,空集是任何集合的子集,是一種規定吧。。。也許是默認式的吧,不清楚。。

百度的:空集是任意集合A的子集。按照子集的定義,這條性質是說 { } 的每個元素x都屬於A。若這條性質不為真,那 { } 中至少有一個元素不在A中。由於{ }中沒有元素,也就沒有{ }的元素不屬於A了,得到{ }的每個元素都屬於 A, 即{ }是A的子集。

————

按照你說的: A不是B的子集,當且僅當A中至少存在一個元素不是B的元素。可是空集?里,你找不出一個元素不屬於某一個集合,因為空集里本身就不存在這樣的元素。(。。我好像還沒理解你的意思)

————

「知乎中有很多答案不是用反證法證明,而是用假推出真。過程如下:

?包含於集合A當且僅當任意元素x∈?且x∈A,因為條件x∈?為假,按照假推出真的原則,可以推出?包含於集合A。

在此有個疑問,如果我把命題改為?不包含於集合A當且僅當存在元素x∈?且x?A,還是,條件為假,按照假推出真原則,可以推出?不包含於集合A。」

感覺不對。

⑴對於第一個論證

條件是:當且僅當任意元素x∈?且x∈A(假)

結論是:?包含於集合A(真)

⑵對於第二個論證

條件是:當且僅當存在元素x∈?且x?A(假)

結論是:?不包含於集合A(假)

規則不是:已知前件為假,不能推出後件真假嗎?

假推真是什麼意思?

個人覺得,⑴和⑵都是錯的。空集是任何集合的子集是規定吧!不能這樣證明吧!

————

集合就像一個盒子,空集就是空盒子,當然先有空盒子,才能往裡面放東西。空集是「起點」,沒起點那好難理解,就像跑步比賽一定有個起點一樣。

個人覺得,任意集合都不可能包羅萬象,把一切羅列進去,空集就是留有餘地。

個人覺得,空集和「0」都體現了某些存在的特質。雖然「0」表示沒有東西,可是它本身就是一種存在。雖然「?」表示沒有一個元素,可是本身就是一種存在。無論是哪個集合,都是一種存在,就是說無論哪個集合都隱含了?。

謝謝 @雲天明的 指正,把空集列進元素不對。

有一個集合A={蘋果,梨,西瓜},空集不屬於水果的元素,列進去的確不對。但是,隱約覺得,把空集?看成是一個元素放進集合A裡面,個人覺得也可以,因為集合A的確不是「滿」的,的確是有「空」的性質。集合A的子集:?;{蘋果,?};{梨,?};{西瓜,?};{蘋果,梨,?};{梨,西瓜,?};{蘋果,西瓜,?};{蘋果,梨,西瓜,?};額,雖然怪怪的。。。

可是,為什麼把空集是任意集合的子集?

以上個人覺得~

不知道哪裡有錯

有錯請指出,謝謝!


學渣一枚。先說好,打臉時候不準打鼻子,謝謝。

元素x?A,則x??;其逆否命題:元素x∈?,則x∈A。所以?包含於A。


假推出真是這樣的:

P:X屬於A

Q:X屬於C

P
ightarrow Q:如果X屬於A,那麼X屬於C(等價於說A是C的子集)。

A是空集,P,Q都是假的,P推出Q是真的。

而你的搞法正確的應該是:

P:A中至少存在一個元素不是B的元素

Q:A不是B的子集

P
ightarrow Q:如果A中至少存在一個元素不是B的元素,那麼A不是B的子集

P是假的,Q真假無所謂,結論是真的,然並軟,你要證明的是Q不是P推出Q


對於任意集合A及空集phi

設P(x)為命題「xinphi」,Q(x)為命題「xin A」。

由空集定義, forall x[
eg P(x)] 恆正確

forall x [{
eg P(x)}Rightarrow {
eg P(x)vee Q(x)}Leftrightarrow {P(x)
ightarrow Q(x)} ]

phi subseteq A 對任意集合A成立


你這個命題已經假設a b不是空集了

可以用定義:從集合a里拿走任意個元素,就是子集。拿完就是空集


1.子集定義:A是B的子集,當且僅當任取x屬於A時,x屬於B。

2.這個定義等價於,A是B的子集,當且僅當任取x不屬於B時,x不屬於A。

3.所以,?是任意集合M的子集,因為按照定義2,任取x不屬於任意集合M時,x亦不屬於?。


分割線上面是最新回答, 我回頭看了下離散的邏輯,發現這個問題可以更簡單的證明

在書中已經證明了, 任意條件命題與其逆否命題的真值相同

我們看下子集的定義

如果x∈A→x∈B 則A是B的子集

證明空集是任意集合S的子集需要證明

條件命題 如果x∈?→x∈S

上麵條件命題的逆否命題是如果x?S→x??

x??的真值總為T, 所以逆否命題的真值為T, 所以條件命題也為T,原題得證

==============分割線==================

用反證法的思路.

另S為任意集合.x為任意某個元素

如果x∈?, 且x?S, 則證明空集是S的集合為假.

但是我們是找不到一個元素屬於?,所以x∈?總為假.

即我們反證其為假,所以其為真

即?是S的子集


你們把問題搞複雜了,空集ф是一個集合,不是元素。


規定:? 是任意集合的子集。和 0 不能做除數一個道理。詳見高數課本第一節。


約定一下E(x) : 存在;A(x):任取,

或||

非!

蘊含→

等價&<=&>

? 包含於 A

&<=&>

! ( E(x) (x 屬於 ? x ? A) )

&<=&>

A(x) (x ? ? || x 屬於 A)

&<=&>

A(x) (x 屬於 ? → x 屬於 A)

你看上面那三個哪個都是真的啊

如果你非要用假推真,也就是邏輯永真式

!p → (p → q)

的話,那麼可以用第三個

A(x) (x ? ? → (x 屬於 ? → x 屬於 A)) Ax(p)

&<=&>

Ax(p) → Ax(p → q) Ax(p)

Ax(p → q)


推薦閱讀:

中國傳統的議論性文章的評判標準是不是不重邏輯而更重語言和韻律?如何解釋?
寒冷、關節炎與醫學邏輯
如果用進步次數評定一個人的成績,如何獲取第一名?
經典閱讀,還是論證訓練?——對中國的西方哲學教育的反思

TAG:邏輯 | 高等數學 | 集合論 | 實分析 |