如何證明空集是任意集合的子集?
設A,B是集合,說A不是B的子集,當且僅當A中至少存在一個元素不是B的元素。按照假推出真的原則,我覺得就可以推出來?不是任意集合的子集了。因為?不包含任意元素,所以假設不成立,是假的,結論為真。我知道這是錯的,不知哪裡有錯誤。。問題源自陶哲軒的實分析有一個關於如何證明?是A集合的子集的一小問,並不來源於教科書。。
瀉藥
假推出真的原則不是這樣用的,因為這裡根本就沒有推出。
首先給「A中至少存在一個元素不是B的元素」一個正確的翻譯:- 存在 x,x 屬於 A 並且 x 不屬於 B。
推出在哪裡?!在?!哪?!里?!
你的論證用的條件,按照你的說法,有推出(其實也不應該叫推出,不過這個地方問題不大),那就應該是「存在 x,如果 x 是 A 的元素,那麼 x 不是 B 的元素」。這是一個典型的錯誤翻譯。具體不想說了自己回去想是怎麼回事,簡單來說就是:全稱命題翻譯成條件句,存在命題翻譯成合取句!好像,空集是任何集合的子集,是一種規定吧。。。也許是默認式的吧,不清楚。。
百度的:空集是任意集合A的子集。按照子集的定義,這條性質是說 { } 的每個元素x都屬於A。若這條性質不為真,那 { } 中至少有一個元素不在A中。由於{ }中沒有元素,也就沒有{ }的元素不屬於A了,得到{ }的每個元素都屬於 A, 即{ }是A的子集。
————
按照你說的: A不是B的子集,當且僅當A中至少存在一個元素不是B的元素。可是空集?里,你找不出一個元素不屬於某一個集合,因為空集里本身就不存在這樣的元素。(。。我好像還沒理解你的意思)————
「知乎中有很多答案不是用反證法證明,而是用假推出真。過程如下:
?包含於集合A當且僅當任意元素x∈?且x∈A,因為條件x∈?為假,按照假推出真的原則,可以推出?包含於集合A。在此有個疑問,如果我把命題改為?不包含於集合A當且僅當存在元素x∈?且x?A,還是,條件為假,按照假推出真原則,可以推出?不包含於集合A。」
感覺不對。
⑴對於第一個論證條件是:當且僅當任意元素x∈?且x∈A(假)結論是:?包含於集合A(真)⑵對於第二個論證
條件是:當且僅當存在元素x∈?且x?A(假)結論是:?不包含於集合A(假)規則不是:已知前件為假,不能推出後件真假嗎?
假推真是什麼意思?個人覺得,⑴和⑵都是錯的。空集是任何集合的子集是規定吧!不能這樣證明吧!
————集合就像一個盒子,空集就是空盒子,當然先有空盒子,才能往裡面放東西。空集是「起點」,沒起點那好難理解,就像跑步比賽一定有個起點一樣。個人覺得,任意集合都不可能包羅萬象,把一切羅列進去,空集就是留有餘地。
個人覺得,空集和「0」都體現了某些存在的特質。雖然「0」表示沒有東西,可是它本身就是一種存在。雖然「?」表示沒有一個元素,可是本身就是一種存在。無論是哪個集合,都是一種存在,就是說無論哪個集合都隱含了?。
謝謝 @雲天明的 指正,把空集列進元素不對。有一個集合A={蘋果,梨,西瓜},空集不屬於水果的元素,列進去的確不對。但是,隱約覺得,把空集?看成是一個元素放進集合A裡面,個人覺得也可以,因為集合A的確不是「滿」的,的確是有「空」的性質。集合A的子集:?;{蘋果,?};{梨,?};{西瓜,?};{蘋果,梨,?};{梨,西瓜,?};{蘋果,西瓜,?};{蘋果,梨,西瓜,?};額,雖然怪怪的。。。可是,為什麼把空集是任意集合的子集?
以上個人覺得~不知道哪裡有錯有錯請指出,謝謝!
學渣一枚。先說好,打臉時候不準打鼻子,謝謝。元素x?A,則x??;其逆否命題:元素x∈?,則x∈A。所以?包含於A。
假推出真是這樣的:P:X屬於AQ:X屬於C
Q:A不是B的子集
對於任意集合及空集
你這個命題已經假設a b不是空集了
可以用定義:從集合a里拿走任意個元素,就是子集。拿完就是空集1.子集定義:A是B的子集,當且僅當任取x屬於A時,x屬於B。2.這個定義等價於,A是B的子集,當且僅當任取x不屬於B時,x不屬於A。3.所以,?是任意集合M的子集,因為按照定義2,任取x不屬於任意集合M時,x亦不屬於?。
分割線上面是最新回答, 我回頭看了下離散的邏輯,發現這個問題可以更簡單的證明
在書中已經證明了, 任意條件命題與其逆否命題的真值相同
我們看下子集的定義
如果x∈A→x∈B 則A是B的子集
證明空集是任意集合S的子集需要證明
條件命題 如果x∈?→x∈S
上麵條件命題的逆否命題是如果x?S→x??
x??的真值總為T, 所以逆否命題的真值為T, 所以條件命題也為T,原題得證
==============分割線==================
用反證法的思路.
另S為任意集合.x為任意某個元素
如果x∈?, 且x?S, 則證明空集是S的集合為假.
但是我們是找不到一個元素屬於?,所以x∈?總為假.
即我們反證其為假,所以其為真
即?是S的子集
你們把問題搞複雜了,空集ф是一個集合,不是元素。
規定:? 是任意集合的子集。和 0 不能做除數一個道理。詳見高數課本第一節。
約定一下E(x) : 存在;A(x):任取,
且或||非!蘊含→等價&<=&>? 包含於 A
&<=&>! ( E(x) (x 屬於 ? x ? A) )&<=&>A(x) (x ? ? || x 屬於 A)&<=&>A(x) (x 屬於 ? → x 屬於 A)你看上面那三個哪個都是真的啊
如果你非要用假推真,也就是邏輯永真式!p → (p → q)的話,那麼可以用第三個A(x) (x ? ? → (x 屬於 ? → x 屬於 A)) Ax(p)&<=&>Ax(p) → Ax(p → q) Ax(p)→Ax(p → q)推薦閱讀:
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